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数学中的应用探讨
◆渠海燕
（山西省吕梁离石区江阴高级中学）
【摘要】导数进入中学数学教材，给传统的中学数学内容注入了新的生机与活力，怎样利用导数这一工具重新认识原中学课程中的有关问题并为其研究提供新的途径和方法，是当今中学数学教学中的新课题之一。纵观目前各类刊物，对导数的研究多停留在函数、解析几何等内容上，而对其他方面关注甚少。数列与不等式是高中非常重要的知识点，本文重点介绍导数在数列与不等式的应用，以开阔学生视野，拓宽解决这类问题的方法，并能起到抛砖引玉之作用。
【关键词】导数；不等式；数列
1 利用导数得出函数单调性来证明不等式
我们知道函数在某个区间上的到数值大于（或者小于）0时，则说明该函数在该区间上的单调递增（或递减）。因而在证明不等式的时候，可以根据不等式的特点，有时可以通过构造函数，用导数来证明该函数的单调性，然后再用函数的单调性达到证明不等式的目的，这就能够把证明不等值转化为证明函数的单调性。具体存在以下几种形式：
（1）直接构造函数，然后用导数来证明该函数的增减性；再利用函数在它的同一单调递增（减）区间，自变量越大，函数值越大（小），以此来证明不等式。
例1 当时，求证：
证明 设（），则。
，故f（x）在上递减，
所以，当时，，即成立。
（2）把不等式变形后再构造函数，然后利用导数证明该函数的单调性，达到证明不等式的目的。
例2 已知，求证：
证明 要证明，只需证明，即证明。
设，则，因而f（x）在上递增。
，故，即，
所以，成立。
2 利用导数求出函数的最值（或值域）后，然后证明不等式
导数的另挖一个作用就是求函数的最值。因此，在证明不等式时，应该根据不等式的特点，有时可以构造函数，利用导数求出该函数的最值，由当函数去最大（或者最小）值时不等式都成立，得到该不等式恒成立，从而可以把证明不等式的问题从而转化成为函数球最值的问题。
例3 已知，当時，求证：。
证明：，当时，，
在[-1，1]上递减，故在[-1，1]上的最大值为；函数最小值为，即f（x）在[-1，1]的值域为
所以，当时，。
即有。
3 利用导数解决不等式恒成立问题
不等式恒成立问题，一般都会涉及到求参数的范围问题，往往可以把变量经过分析以后转化为m>f（x）（或者m>f（x））恒成立，于是m大于f（x）的最大值（或者m小于f（x）的最大值），从而把不等式恒成立问题转化为函数求最值的问题。因此，利用导数求函数最值问题往往是解决不等式恒成立问题的一种重要方法。
例4 已知函数，对f（x）定义域内任意的x的值，恒成立，求a的取值范围。
解 函数f（x）的定义域，由对一切恒成立，
知道，对于一切恒成立。
设，则，由，求解得到。
所以函数h（x）在上递增，在上递减。
故h（x）的最大值为，所以，。
4 利用导数求解不等式
例5 函数，解不等式
解 由题意知，
，时，恒成立，故f（x）在R上单调递减。
又f（0）=1，所以时，，即时的解为。
当时，若
则或。
时，解得，
时，解得。
故函数f（x）在上单调递减，函数在或上单调递增。
又时，解得x=0或，且0 所以，当时，不等式的解为；
由上式可以得到，当a≥1时，不等式的解为。当时，不等式的解为。
总之，无论是证明不等式，还是解不等式，只要在解题过程中需要用到函数的单调性或者最值的地方，我们都应该利用导数工具进行求解，这种解题方法也是转化与划归思想在中学数学中的重要体现。
5 利用导数求和、解决数列中相关问题
例6 求和
分析：当x=1时，Sn为等差数列的和；当时，Sn可以看作的导数，而Tn是等比数列，可得，最后再对Tn求导可以得到Sn。
解：当x=1时，
当时，由，得到
即
导数是解决函数问题的有力工具，更为数学解题能够注入新活力。由于数列可以看作为特殊的函数，所以，应该可以联想、尝试、应用导数相关知识来解决数列问题。
参考文献：
[1] 曹群岭.以导数的“引导”教学视角——浅谈高中数学如伺“导”出实效[J].数学大世界：教师适用，2012，（12）.
[2] 吴龙福.例析导数在高中数学题目解答中的典型性应用[J].数学大世界：教师适用，2012，（11）.
◆渠海燕
（山西省吕梁离石区江阴高级中学）
【摘要】导数进入中学数学教材，给传统的中学数学内容注入了新的生机与活力，怎样利用导数这一工具重新认识原中学课程中的有关问题并为其研究提供新的途径和方法，是当今中学数学教学中的新课题之一。纵观目前各类刊物，对导数的研究多停留在函数、解析几何等内容上，而对其他方面关注甚少。数列与不等式是高中非常重要的知识点，本文重点介绍导数在数列与不等式的应用，以开阔学生视野，拓宽解决这类问题的方法，并能起到抛砖引玉之作用。
【关键词】导数；不等式；数列
1 利用导数得出函数单调性来证明不等式
我们知道函数在某个区间上的到数值大于（或者小于）0时，则说明该函数在该区间上的单调递增（或递减）。因而在证明不等式的时候，可以根据不等式的特点，有时可以通过构造函数，用导数来证明该函数的单调性，然后再用函数的单调性达到证明不等式的目的，这就能够把证明不等值转化为证明函数的单调性。具体存在以下几种形式：
（1）直接构造函数，然后用导数来证明该函数的增减性；再利用函数在它的同一单调递增（减）区间，自变量越大，函数值越大（小），以此来证明不等式。
例1 当时，求证：
证明 设（），则。
，故f（x）在上递减，
所以，当时，，即成立。
（2）把不等式变形后再构造函数，然后利用导数证明该函数的单调性，达到证明不等式的目的。
例2 已知，求证：
证明 要证明，只需证明，即证明。
设，则，因而f（x）在上递增。
，故，即，
所以，成立。
2 利用导数求出函数的最值（或值域）后，然后证明不等式
导数的另挖一个作用就是求函数的最值。因此，在证明不等式时，应该根据不等式的特点，有时可以构造函数，利用导数求出该函数的最值，由当函数去最大（或者最小）值时不等式都成立，得到该不等式恒成立，从而可以把证明不等式的问题从而转化成为函数球最值的问题。
例3 已知，当時，求证：。
证明：，当时，，
在[-1，1]上递减，故在[-1，1]上的最大值为；函数最小值为，即f（x）在[-1，1]的值域为
所以，当时，。
即有。
3 利用导数解决不等式恒成立问题
不等式恒成立问题，一般都会涉及到求参数的范围问题，往往可以把变量经过分析以后转化为m>f（x）（或者m>f（x））恒成立，于是m大于f（x）的最大值（或者m小于f（x）的最大值），从而把不等式恒成立问题转化为函数求最值的问题。因此，利用导数求函数最值问题往往是解决不等式恒成立问题的一种重要方法。
例4 已知函数，对f（x）定义域内任意的x的值，恒成立，求a的取值范围。
解 函数f（x）的定义域，由对一切恒成立，
知道，对于一切恒成立。
设，则，由，求解得到。
所以函数h（x）在上递增，在上递减。
故h（x）的最大值为，所以，。
4 利用导数求解不等式
例5 函数，解不等式
解 由题意知，
，时，恒成立，故f（x）在R上单调递减。
又f（0）=1，所以时，，即时的解为。
当时，若
则或。
时，解得，
时，解得。
故函数f（x）在上单调递减，函数在或上单调递增。
又时，解得x=0或，且0
由上式可以得到，当a≥1时，不等式的解为。当时，不等式的解为。
总之，无论是证明不等式，还是解不等式，只要在解题过程中需要用到函数的单调性或者最值的地方，我们都应该利用导数工具进行求解，这种解题方法也是转化与划归思想在中学数学中的重要体现。
5 利用导数求和、解决数列中相关问题
例6 求和
分析：当x=1时，Sn为等差数列的和；当时，Sn可以看作的导数，而Tn是等比数列，可得，最后再对Tn求导可以得到Sn。
解：当x=1时，
当时，由，得到
即
导数是解决函数问题的有力工具，更为数学解题能够注入新活力。由于数列可以看作为特殊的函数，所以，应该可以联想、尝试、应用导数相关知识来解决数列问题。
参考文献：
[1] 曹群岭.以导数的“引导”教学视角——浅谈高中数学如伺“导”出实效[J].数学大世界：教师适用，2012，（12）.
[2] 吴龙福.例析导数在高中数学题目解答中的典型性应用[J].数学大世界：教师适用，2012，（11）.