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摘要：期权定价模型理论的研究对金融衍生品这一金融创新的发展起着举足轻重的作用。定价理论的发展从最初的完备市场的定价模型，到一系列的金融危机后的弱化市场假设下的数理金融模型。很多经济学者意识到未来某一时刻的资产价格不仅与当前价格有关，与历史价格也有关。经济学家开始用分数布朗运动来代替原有的基于几何布朗运动的经典假设来描述资产价格的运动规律，并将由此建立的期权定价范式运用于市场研究、投资等各个金融领域，取得了不错的效果。
本文针对基于分数布朗运动的期权定价模型，结合韩国股指期权KOSPI200的实盘数据进行数据拟合。通过构建数据分析的系统架构，对交易数据进行采集分析，编写数据处理的MATLAB模块组，我们得到了较好的拟合结果。同时我们建议该模型市场环境参数的选取方法及计算方式，可以作为我国中金所即将上架的沪深300股指期权定价模型的范式。分数布朗运动的期权定价模型对于机构投资者把握市场趋势具有较强的指导意义。
关键字：期权，分数布朗运动，KOSPI200，数据拟合
一、基于分数布朗运动的期权定价模型
金融学在资本市场的研究领域，核心问题就是金融资产的定价。期权可为其基础资产对冲风险，因而期权是有价值的。期权的价值与其基础资产价格的不确定性成正比，即基础资产的风险越大，期权的价值就越大，其价格也就越高。正是从这个意义上讲，风险是有价的，其价值就是为规避风险所要付出的成本。期权价值即期权权利金价值，期权价格是期权权利金的货币表现，它是期权购买者付给期权出卖者用以换取期权所赋予权利的代价。
期权定价模型的最初的理念是建立在人们对市场特征认识的基础上。最为广泛性的理论认为，对于充分有效的资本市场，证券的价格服从随机游走过程，而其价格演变遵循几何布朗运动，也就是价格变化是相互独立的，与历史无关。布莱克（Black）和斯科尔斯（scholes）以及莫顿（Merton）在此基础上，假设预期收益率和波动率为常数，得到了著名的Black-Scholes-Merton公式，该模型可应用于欧式期权定价。后来，考克斯（J. Cox），罗斯（Steven Ross），鲁兵斯坦（Mark Rubinstein）等人提出了二项式期权定价模型[i]。考克斯和罗斯的无套利定价理论[ii]，及发展出来的鞅方法是数理金融的重要分支。后来由于金融衍生工具引发的危机，如1994年11月的奥兰杰县破产案，巴林银行的破产，以及08年金融危机下对冲基金的垮台等，使得金融学家们开始审慎地考虑理论描述的市场。
数理金融的发展是从弱化模型假设开始的。很多学者在市场不完备的情况下，对期权定价理论做了很多修正，如Merton的支付红利的期权定价公式[iii]，Leland考虑了交易成本后的定价模型[iv]。20世纪60年代，Mandelbrot发现股票市场存在长期相关性[v]，其收益率分布呈“尖峰厚尾”的分布，许多学者开始用不同的运动过程来代替原来资产价格的几何布朗运动假设。20世纪中后期，科技领域出现了一股研究分形运动的热潮，分数布朗运动是对具有分形特征的自然现象的高阶逼真，而金融市场的价格波动也具备分形的特征，如自相似性，无特征长度，以及精细结构，在一定的参数条件下，几何布朗运动只是分数布郎运动的特例。基于分数布朗运动的定价模型也应运而生，并取得了良好的发展。
（一）模型假设
1） 交易期间，股指不分红，即q=0，且μ和σ为常数；
2）买卖股指期权需按标的物价格支付比例交易费用，其中v是交易的份额，v>0是买进，v<0是卖出，k是每单位估价支付的交易费；
3）投资期望回报率等于无风险利率，且无风险利率r是一个已知的常数；
4）市场是风险中性的，即市场波动能够及时趋于稳定，不存在无风险套利机会；
5）证券交易是连续的，价格变动也是连续的；
6）投资策略每隔dt时间重新调整，dt是有限、固定的小量；
（二） 微分方程及其解
结合欧式看涨期权（Call option）和看跌期权（Put option）的边界条件，P=max（K-St，0），C=max（St-K，0），可得其公允价值：
其中，
二、kospi200指数期权的实证研究
选取了合适的定价模型后，接下来我们需要通过模型来对数据进行运算和拟合。本文选择的是韩国kospi200指数的期权交易数据。之所以会选择kospi200指数作为研究对象，是因为有如下的几点考虑：第一，该市场有大量的市场参与者，对应的国内外投资机构，除了做单边投机外，还会根据市场来做套保，丰富了交易的手段；第二，市面上巨额的成交量使得市场的流通性风险很低，投机做主导使得市场的波动性极大，给期权交易提供了很好的环境，特别是价格波动的延续性和扭曲带来了很多套利机会；第三，交易费用低廉。这些条件很大程度满足了模型的假设。
因为在整个交易年度内，看涨和看跌期权合约的市场环境参数均在变化，所以我们在进行分析时，首先需要对数据进行筛选。我们建立了数据处理和数据分析架构：架构分为两级的筛选流程。第一部分是数据采集过程，第二部分是数据分析过程。因为我们考虑的是2012年度的所有期权合约，总量上，需要从582张合约中进行挑选和分析。不同的合约在存续期，波动率，行权价格上均有所不同，这也是需要数据处理的原因。
（一） Hurst数计算
英国水文专家H.E.Hurst在研究尼罗河水库水量时发现的有偏随机游走更符合现实，并利用Hurst数作为判断时间序列随机运动特性的指标，用于表示分数布朗运动的特性。当0 （二）模型结果及分析
从定价公式可知，确立期权价值最重要的有四个参数，分别是标的资产价格S，执行价K，标的波动率价σ，合约到期日（存续期）t，以及无风险利率r。由于利率在考察期内近似不变，我们讨论模型中K、σ、t参数对期权价值的影响。
从数学的角度来讲，对于多变量方程，为了考察不同参量对公允价值的影响，我们需要分别进行分析。针对三个不同的变量，锁定住其他二个量不变，对最后一个变量的进行分析。
1. 行权价格S
我们对2012年度上半年的300张合约进行了筛选，选取了2012年1月份的6张看涨和看跌期权，到期日均为64天，标的股指的历史波动率均为28.5%，行权价格分别为222.5，242.5，252.5。
模型计算得到的数据与实际数据拟合度较高。从期权的定义可知，对于看涨期权，行权价格越低，期权的内在价值越大；看跌期权而言，行权价格越高，期权的内在价值越大。不过仍可发现理论价值和实际价格存在一定的偏移，造成这种现象的原因可能有两方面：
首先，模型的波动率精度有限，我们计算时假设这个量是常数，且计算的是标的资产的历史波动率。实际上，波动率是时间的函数，需要通过建立复杂的随机模型进行分析计算。
其次，模型仍然是不完备的，它缺乏对人们交易心理的考量，这些非理性因素造成了计算数据和真实数据间的差异：如对于虚值期权，其内涵价值小于0，但是仍然有市场价格。因为人们在交易的时候，对其价格和波动率的变化有预期，这种预期导致了期权的实际价格高于其公允价值，这种非理性的预期是模型没有考虑到的。
2. 期权到期时间t
我们选取了2012年2月和4月的看跌期权，其行权价格均为272.5，这2张期权标的股指的历史波动率均在13%左右，且指数运动的区间相近，不同的是2月份的到期日为12天，4月份的到期日为55天。
一般来讲，期权合约剩余有效时间越长，标的资产价格波动的可能性就越大，获利的机会和可能性越大，该期权的时间价值也就越大，多头也就愿意为购买该期权而支付超过内涵价值以外的那部分金额。可知，模型的计算结果很好的符合了市场的走势。
对于这两张合约，实际的波动率一样，造成他们价格差异的主要因素就是到期日的不同，这会影响人们对于波动率的预期。正如上面的分析，通过模型计算的价格缺乏人们对波动率的预期是导致理论价格与实际价格产生偏差的原因，且期权存续期越长，距离到期时间越长，人们的波动性预期越强，导致模型的误差越大。随着时间越接近到期日，理论价值与实际价格拟合地越好，这是由于人们预期开始回归现实。
3.波动率σ的变动
波动率通常用于描述股票指数价格在一定期间内的不确定性。一般用年度化的标准差来表示。我们选取2012年1月和6月的2张看跌期权，并计算其历史波动率用于模型计算。它们具有相近的行权价格、到期日以及相似的标的资产运动区间，前者股指的历史波动率为28.52%，后者为18.06%。
一般来讲，波动率越高，期权价格也越高。这个既可以从模型计算上得到反应，也可以从市场走势上得到印证，说明模型的可信度较高。
从拟合结果可知，两张合约的拟合度较高，且随着时间接近行权日，拟合度逐渐升高。通过分析可知，人们对于未来的预期会影响市场价格的走势，且随着时间接近到期日，该影响会逐渐减小，最终预期会回归理性。通过上述分析可以看到，这个推论还是有较高可信性的。
三、结论
通过数据的拟合分析，我们发现运用分数布朗运动模型计算所得的数据与实际走势符合的较好，这充分说明市场满足该模型的特征，该模型对于这个市场是适用的。在合约的数据筛选方面，我们对市场环境参数的假设也是成功的。但是，从模型构成的角度我们仍可以发现，模型的精度还有待提高，具体的改进主要应从以下几方面考虑：
1、首先采用常数利率假设，这个在大的时间跨度下是有偏差的；
2、模型并没有考虑到人的心理作用等非理性因素的影响：实际上市场的预期很大程度跟人为的心理因素有关，结合行为金融学，将心理因素量化，对模型进行修正，这对提高模型精度有重大的参考意义；
3、需要建立更复杂的波动率模型，而不仅仅使用历史波动率作为计算数据；
4、关于模型的应用方面，考虑到国内并没有开展真实的期权交易，只有模拟的交易，需要进一步应用模型做实证研究，并研究模型对市场走势的判断，以此制定出投资策略组合，进行风险可控的投资。还需要据市场行情不断修正参数，形成动态的参数计算架构。
总之，在研究期权定价的过程，模型的选取，参数的选择永远不是固定的，方式也不是唯一的。在市场上交易的是人，所以只有能够真实反映大众的投资心理，把握政府政策和市场运作机理的模型才能被投资者使用和改进。通过量化建模，修正计算模型参数，实时监控风险大小是金融衍生品发展的趋势，而这也是我们在以后的研究工作中，需要不断用心努力和钻研的方向。
参考文献：
[1] J. Cox， S.A. Ross， and M. Rubinstein Option Pricing： A Simplified Approach. Journal of Financial Economics， 1979， 7：229-263.
[2] J. Cox， S.A. Ross. The valuation of options for alternative Stochastic processes. Journal of Financial Economics， 1976， 3：145-166.
[3] R. Merton. Theory of rational option pricing. Bell Journal of Economics， 1973， 4：141-183.
[4] H.E. Leland. Option Pricing and replication with transaction costs. Journal of Finance， 1985， 40：1283-1301.
[5] B.B. Mandelbrot. Fractional Brownian motions， fractional noises and applications. SIAM review， 1968， 10（4）： 422-437.
[6] 陈昭，梁静溪. Hurst指数的分析与应用. 中国软科学， 3： 134-138.
本文针对基于分数布朗运动的期权定价模型，结合韩国股指期权KOSPI200的实盘数据进行数据拟合。通过构建数据分析的系统架构，对交易数据进行采集分析，编写数据处理的MATLAB模块组，我们得到了较好的拟合结果。同时我们建议该模型市场环境参数的选取方法及计算方式，可以作为我国中金所即将上架的沪深300股指期权定价模型的范式。分数布朗运动的期权定价模型对于机构投资者把握市场趋势具有较强的指导意义。
关键字：期权，分数布朗运动，KOSPI200，数据拟合
一、基于分数布朗运动的期权定价模型
金融学在资本市场的研究领域，核心问题就是金融资产的定价。期权可为其基础资产对冲风险，因而期权是有价值的。期权的价值与其基础资产价格的不确定性成正比，即基础资产的风险越大，期权的价值就越大，其价格也就越高。正是从这个意义上讲，风险是有价的，其价值就是为规避风险所要付出的成本。期权价值即期权权利金价值，期权价格是期权权利金的货币表现，它是期权购买者付给期权出卖者用以换取期权所赋予权利的代价。
期权定价模型的最初的理念是建立在人们对市场特征认识的基础上。最为广泛性的理论认为，对于充分有效的资本市场，证券的价格服从随机游走过程，而其价格演变遵循几何布朗运动，也就是价格变化是相互独立的，与历史无关。布莱克（Black）和斯科尔斯（scholes）以及莫顿（Merton）在此基础上，假设预期收益率和波动率为常数，得到了著名的Black-Scholes-Merton公式，该模型可应用于欧式期权定价。后来，考克斯（J. Cox），罗斯（Steven Ross），鲁兵斯坦（Mark Rubinstein）等人提出了二项式期权定价模型[i]。考克斯和罗斯的无套利定价理论[ii]，及发展出来的鞅方法是数理金融的重要分支。后来由于金融衍生工具引发的危机，如1994年11月的奥兰杰县破产案，巴林银行的破产，以及08年金融危机下对冲基金的垮台等，使得金融学家们开始审慎地考虑理论描述的市场。
数理金融的发展是从弱化模型假设开始的。很多学者在市场不完备的情况下，对期权定价理论做了很多修正，如Merton的支付红利的期权定价公式[iii]，Leland考虑了交易成本后的定价模型[iv]。20世纪60年代，Mandelbrot发现股票市场存在长期相关性[v]，其收益率分布呈“尖峰厚尾”的分布，许多学者开始用不同的运动过程来代替原来资产价格的几何布朗运动假设。20世纪中后期，科技领域出现了一股研究分形运动的热潮，分数布朗运动是对具有分形特征的自然现象的高阶逼真，而金融市场的价格波动也具备分形的特征，如自相似性，无特征长度，以及精细结构，在一定的参数条件下，几何布朗运动只是分数布郎运动的特例。基于分数布朗运动的定价模型也应运而生，并取得了良好的发展。
（一）模型假设
1） 交易期间，股指不分红，即q=0，且μ和σ为常数；
2）买卖股指期权需按标的物价格支付比例交易费用
3）投资期望回报率等于无风险利率，且无风险利率r是一个已知的常数；
4）市场是风险中性的，即市场波动能够及时趋于稳定，不存在无风险套利机会；
5）证券交易是连续的，价格变动也是连续的；
6）投资策略每隔dt时间重新调整，dt是有限、固定的小量；
（二） 微分方程及其解
结合欧式看涨期权（Call option）和看跌期权（Put option）的边界条件，P=max（K-St，0），C=max（St-K，0），可得其公允价值：
其中，
二、kospi200指数期权的实证研究
选取了合适的定价模型后，接下来我们需要通过模型来对数据进行运算和拟合。本文选择的是韩国kospi200指数的期权交易数据。之所以会选择kospi200指数作为研究对象，是因为有如下的几点考虑：第一，该市场有大量的市场参与者，对应的国内外投资机构，除了做单边投机外，还会根据市场来做套保，丰富了交易的手段；第二，市面上巨额的成交量使得市场的流通性风险很低，投机做主导使得市场的波动性极大，给期权交易提供了很好的环境，特别是价格波动的延续性和扭曲带来了很多套利机会；第三，交易费用低廉。这些条件很大程度满足了模型的假设。
因为在整个交易年度内，看涨和看跌期权合约的市场环境参数均在变化，所以我们在进行分析时，首先需要对数据进行筛选。我们建立了数据处理和数据分析架构：架构分为两级的筛选流程。第一部分是数据采集过程，第二部分是数据分析过程。因为我们考虑的是2012年度的所有期权合约，总量上，需要从582张合约中进行挑选和分析。不同的合约在存续期，波动率，行权价格上均有所不同，这也是需要数据处理的原因。
（一） Hurst数计算
英国水文专家H.E.Hurst在研究尼罗河水库水量时发现的有偏随机游走更符合现实，并利用Hurst数作为判断时间序列随机运动特性的指标，用于表示分数布朗运动的特性。当0
从定价公式可知，确立期权价值最重要的有四个参数，分别是标的资产价格S，执行价K，标的波动率价σ，合约到期日（存续期）t，以及无风险利率r。由于利率在考察期内近似不变，我们讨论模型中K、σ、t参数对期权价值的影响。
从数学的角度来讲，对于多变量方程，为了考察不同参量对公允价值的影响，我们需要分别进行分析。针对三个不同的变量，锁定住其他二个量不变，对最后一个变量的进行分析。
1. 行权价格S
我们对2012年度上半年的300张合约进行了筛选，选取了2012年1月份的6张看涨和看跌期权，到期日均为64天，标的股指的历史波动率均为28.5%，行权价格分别为222.5，242.5，252.5。
模型计算得到的数据与实际数据拟合度较高。从期权的定义可知，对于看涨期权，行权价格越低，期权的内在价值越大；看跌期权而言，行权价格越高，期权的内在价值越大。不过仍可发现理论价值和实际价格存在一定的偏移，造成这种现象的原因可能有两方面：
首先，模型的波动率精度有限，我们计算时假设这个量是常数，且计算的是标的资产的历史波动率。实际上，波动率是时间的函数，需要通过建立复杂的随机模型进行分析计算。
其次，模型仍然是不完备的，它缺乏对人们交易心理的考量，这些非理性因素造成了计算数据和真实数据间的差异：如对于虚值期权，其内涵价值小于0，但是仍然有市场价格。因为人们在交易的时候，对其价格和波动率的变化有预期，这种预期导致了期权的实际价格高于其公允价值，这种非理性的预期是模型没有考虑到的。
2. 期权到期时间t
我们选取了2012年2月和4月的看跌期权，其行权价格均为272.5，这2张期权标的股指的历史波动率均在13%左右，且指数运动的区间相近，不同的是2月份的到期日为12天，4月份的到期日为55天。
一般来讲，期权合约剩余有效时间越长，标的资产价格波动的可能性就越大，获利的机会和可能性越大，该期权的时间价值也就越大，多头也就愿意为购买该期权而支付超过内涵价值以外的那部分金额。可知，模型的计算结果很好的符合了市场的走势。
对于这两张合约，实际的波动率一样，造成他们价格差异的主要因素就是到期日的不同，这会影响人们对于波动率的预期。正如上面的分析，通过模型计算的价格缺乏人们对波动率的预期是导致理论价格与实际价格产生偏差的原因，且期权存续期越长，距离到期时间越长，人们的波动性预期越强，导致模型的误差越大。随着时间越接近到期日，理论价值与实际价格拟合地越好，这是由于人们预期开始回归现实。
3.波动率σ的变动
波动率通常用于描述股票指数价格在一定期间内的不确定性。一般用年度化的标准差来表示。我们选取2012年1月和6月的2张看跌期权，并计算其历史波动率用于模型计算。它们具有相近的行权价格、到期日以及相似的标的资产运动区间，前者股指的历史波动率为28.52%，后者为18.06%。
一般来讲，波动率越高，期权价格也越高。这个既可以从模型计算上得到反应，也可以从市场走势上得到印证，说明模型的可信度较高。
从拟合结果可知，两张合约的拟合度较高，且随着时间接近行权日，拟合度逐渐升高。通过分析可知，人们对于未来的预期会影响市场价格的走势，且随着时间接近到期日，该影响会逐渐减小，最终预期会回归理性。通过上述分析可以看到，这个推论还是有较高可信性的。
三、结论
通过数据的拟合分析，我们发现运用分数布朗运动模型计算所得的数据与实际走势符合的较好，这充分说明市场满足该模型的特征，该模型对于这个市场是适用的。在合约的数据筛选方面，我们对市场环境参数的假设也是成功的。但是，从模型构成的角度我们仍可以发现，模型的精度还有待提高，具体的改进主要应从以下几方面考虑：
1、首先采用常数利率假设，这个在大的时间跨度下是有偏差的；
2、模型并没有考虑到人的心理作用等非理性因素的影响：实际上市场的预期很大程度跟人为的心理因素有关，结合行为金融学，将心理因素量化，对模型进行修正，这对提高模型精度有重大的参考意义；
3、需要建立更复杂的波动率模型，而不仅仅使用历史波动率作为计算数据；
4、关于模型的应用方面，考虑到国内并没有开展真实的期权交易，只有模拟的交易，需要进一步应用模型做实证研究，并研究模型对市场走势的判断，以此制定出投资策略组合，进行风险可控的投资。还需要据市场行情不断修正参数，形成动态的参数计算架构。
总之，在研究期权定价的过程，模型的选取，参数的选择永远不是固定的，方式也不是唯一的。在市场上交易的是人，所以只有能够真实反映大众的投资心理，把握政府政策和市场运作机理的模型才能被投资者使用和改进。通过量化建模，修正计算模型参数，实时监控风险大小是金融衍生品发展的趋势，而这也是我们在以后的研究工作中，需要不断用心努力和钻研的方向。
参考文献：
[1] J. Cox， S.A. Ross， and M. Rubinstein Option Pricing： A Simplified Approach. Journal of Financial Economics， 1979， 7：229-263.
[2] J. Cox， S.A. Ross. The valuation of options for alternative Stochastic processes. Journal of Financial Economics， 1976， 3：145-166.
[3] R. Merton. Theory of rational option pricing. Bell Journal of Economics， 1973， 4：141-183.
[4] H.E. Leland. Option Pricing and replication with transaction costs. Journal of Finance， 1985， 40：1283-1301.
[5] B.B. Mandelbrot. Fractional Brownian motions， fractional noises and applications. SIAM review， 1968， 10（4）： 422-437.
[6] 陈昭，梁静溪. Hurst指数的分析与应用. 中国软科学， 3： 134-138.