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华应龙老师是一位有着深厚文化底蕴、富有智慧的数学老师，前不久在苏州听了他的一节《整数背景下的平均数》练习课，更确信了这一点。整节课以三个活动为主线。首先以“比较全班8个小组的口算名次”为真实情境，让学生经历统计过程，进一步理解平均数的统计意义；接着通过一个小故事，让学生体会平均数其实是一个接近实际的“真实数”，巩固“移多补少”求平均数的方法；最后以一个有趣的题目，让学生深刻体会“极端数据”对平均数的影响。下面笔者选取其中的课堂片段，分享学习体会。
【片段1】竞口算，明本质
出示口算比赛试题：
（18 17）÷5 23 42 18 5 26 45
34 28 16 （36 36）÷9 64÷8 28
（12 36）÷2 56÷7 29 （14 28）÷7
（20秒后，学生在小组内交换批阅。）
师：你做对了几道题？
生：1题、2题……。
师：确实，这些口算题要求比较高，都是两步计算，时间又特别短。这样，每道题30分，算算你得了多少分。
师：8个小组，每一组赶快算出各自的总分。
（教师将每组学生的口算总分录入表格。）
师：看完8个小组的总分，你有什么想法？有没有发现什么问题？
生：它们都可以除以30，都除得尽。
师：嗯，除以30都除得尽，你觉得呢？静下心来看，还有什么问题？
生：第八组应该是390。
师：哦，第八组应该是390，看这两个人合作得多好！一个说都是30的倍数，另一个就说第八组错了，不是380而是390。
师：看每一组的总分，你还能发现什么问题？
生：每一题都是30分，无论做对多少题、得多少分，每一组的总分除以30都除得尽。
师：对对对，都是若干个30相加。这就回答了刚才同学的发现背后的道理是什么了，非常好！掌声送给他！
师：还有谁能发现问题？没有问题了？那现在我们来看看哪一组完成得最棒。
生（齐）：第二组和第四组。
师：那第二组和第四组并列第一，同意吗？（生没有反应）同意还是不同意？
生（齐）：同意。
师（微笑）：再看看，想想，还有没有想法？
生：第二组少了一个人，第二组赢了。
师：人数不等的情况下，看总分行不行？
生：不行，应该要求平均分。
师：为什么要求平均分？
生：因为要算出平均每人得多少分，这样才公平。
（教师请学生分组算平均分后录入表格。）
师：看一下平均分，哪一组最棒？
生：第二组。
师：掌声送给第二组。那第二名呢？
生：第四组。
师：第四组变成第二名了，跟刚才比总分的情况不一样了吧？第三名呢？比总分的话，第三名是谁？
生：第六组。
师：现在比平均分呢？
生：还是第六组。
师：这样是不是比总分和比平均分差不多啊？
生：是。
师：啊？那你是不是觉得我们刚才算的平均分白算了？（生表示不同意）为什么不是？
生：因为算平均分才公平，人多人少的问题。
师（掌声响起）：一语中的！真好！因为各小组人数不等，比总分不公平，比平均分才公平，让人心服口服。
“平均数”的计算不难，难在理解其意义。整数背景之下如何彰显“平均数”的统计意义？华老师提供给学生他们熟悉的、现实的、真实的统计题材，在真实的环境里，学生人人参与统计过程，亲自收集数据。在比哪个组的口算得分最高时，学生先比总分，在比总分的过程中发现每一组的总分都是30的倍数，并敏锐地发现了求总分过程中的错误。在比完总分后，华老师追问：“再看看，想想，还有没有想法？”开放性的问题引发了学生的深入思考。学生通过观察，发现两个组中学生人数不一样，比总分不公平，比平均分才公平。此活动，华老师想出了“每组5人或6人，口算每题30分”的妙招，避免了“平均数是小数，三年级学生还没接触小数除法”的尴尬，解决了没有学习小数除法的学生算平均分“除不尽”的问题。
【片段2】猜牛重，拓认识
师（播放动画）：奖励给大家一个故事——《猜牛重，赢大奖》。
师：故事听完了，你有什么感受？
生（不约而同）：好奇怪。
师：奇怪什么？
生：有些人猜得很小，有些人猜得很大，为什么会和真实的体重差不多呢？（学生自发鼓起掌来。）
师：好问题！
生：我觉得这可能是出于巧合。外行人正好有人猜得多，有人猜得少，然后就巧合成了1197磅。如果再举办一次比赛，结果有可能就不一样了。（部分学生鼓掌了，认同她的想法。）
师：这位同学的发现，又给我们提出了一个问题——平均数接近牛的真实体重，这是偶然的巧合还是必然的规律呢？
生：我觉得是必然的，是移多补少，比如一个人考了89分，另一人考了91分，91分的给了89分的1分，两人就都是90分了。
师：明白了吗？他非常厉害，举了个例子。
生：因为现在是有人猜大有人猜小，才接近真实数据的。那万一外行人都猜大了，那不就是偶然的巧合吗？
师：大家都能围绕问题来思考，确实特别好。是的，会有这样的情况。但刚才故事的开头说，不是两三个人在猜，而是好几百人在猜，当有好几百人的时候，就可能有的多有的少，这一点非常重要。
师：这么一说，你觉得为什么就会那么神奇呢？很多外行人，他们怎么这么厉害？ （学生仍在争辩，有的说是偶然，有的说是必然。）
师：行，有人说是偶然的，我也很佩服他的想法。其实老师也很好奇，也带着我的学生做过好多次实验，比如猜书的页数、猜大冬瓜的质量等。大家觉得好奇也可以自己去试一试，但是要注意，华老师是带着我们一个年级的学生在做实验，不要三五个人去做，人少是做不出这样的效果的。
师：我要和大家分享，大数学家马希文说过这样一句话“平均数总是更加接近实际”……
“猜牛的体重”的小故事把学生对平均数的认识推向了更高的层次。听完故事，学生不约而同发出了“好奇怪”的声音，“有些人猜得很小，有些人猜得很大，为什么平均数会和真实的体重差不多呢？”“我觉得这可能是出于巧合……”在学生的疑惑中，华老师顺势抛出问题：“平均数接近牛的真实体重，这是偶然的巧合还是必然的规律？”有的学生说是必然，有的学生说是偶然，为了帮助学生理解这是偶然还是必然的问题，华老师强调这不是两三个人在猜，而是几百人在猜，平均数是通过移多补少、取长补短算出来的数。此活动的目的是让学生了解当样本足够大时，平均数总是更加接近实际，但对于学生来说抽象理解困难较大，他们往往会想到一些极端的情况，比如全猜小了或全猜大了。华老师站在学生的视角，提出了：“其实老师也很好奇，也带着我的学生做过好多次实验……大家觉得好奇也可以自己去试一试，但是要注意……”鼓励学生实践出真知！
【片段3】推年龄，逆思维
出示题目：有8个人在篮球场上打球，他们的平均年龄是12岁。你能想象一下这8个人的年龄可能分别是多少吗？
师：独立思考，将答案写在纸上。
（教师巡视，并邀请三位学生将答案板书在黑板上。）
分别是：①12、12、12、12、12、12、12、12
②12、11、13、10、14、9、15、12
③15、15、12、12、12、10、10、10
（师生共同交流评价三位学生的想法……）
（出示华老师和篮球队员们的合影及每个人的实际年龄：47、8、6、6、7、7、7、8。）
生（相视而笑，窃窃私语）：咦？是华老师！
师：怎么没想到这种情况呢？不过，一样是8个人，平均年龄是不是12岁？
生：是！
师：主要是47岁的华老师惹的祸，是吧？如果没有47岁的华老师在，他们7个人的平均年龄是多少？
生：7岁！
师：你能发现什么？一起来思考：当有特别大的年龄的人在的时候，平均年龄12比47小了很多。12就不能很好地代表这一组年龄的平均水平。有极大或极小数时，平均数就会忽悠人。
对小学三年级学生而言，可否给定一个平均数让学生独立去构造分布？华老师大胆地作了尝试：开放性地让学生自己通过移多补少来猜年龄，让学生感受平均数的统计学意义，感受数据和平均数之间的关系。根据平均年龄猜8个人的实际年龄，这是一个逆向思考的问题，学生能够根据平均数去猜测实际数，学生猜想的情况多种多样，这些方案中8个人的年龄都比较接近，谁都没有想到有华老师这匹“47岁的黑马”。在这里，虽然学生没有用语言去描述平均数容易受到极端值的影响，但是通过学生知道真实情况后的惊叹，以及对有极端数据和没极端数据的两组数据的平均数进行讨论、比较，能够推测出学生体会到了平均数的“敏感性”特征。当有极端数据时，平均数也不能准确地表示这一组数据的平均水平，学生在学习活动中不知不觉地学会了辩证思维。
反复回味华老师这节《整数背景下的平均数》练习课，从学科视角和学生视角两方面主要给我们以下启示：
1.数学好玩。“数学好玩”的理论是著名数学家陈省身教授提出的，他认为只有让学生体会到数学学习的“好玩”，学生才能从“玩”中主动地获取知识。华老师说：“孩子们的手很小，不该硬要他们抓住一大把的东西。对于小学三年级的孩子，不是大学三年级的学生，不能一本正经地系统讲授平均数的性质，而应该让孩子们在玩中学。”怎样的活动能很好帮助学生进一步理解平均数的意义？华老师将平均数练习嵌入三个“有趣”的活动中，既有学生直接的亲身体验活动，又有学生间接的拓展认识活动，还有学生逆向的举例活动。学生在他们喜欢的、富有挑战性的活动中，或静静思考，或合作交流，或质疑提问，或切磋商讨，或争论不休……他们激情投入、思维碰撞、智慧交互、情感升华。
2.学生好问。问题是数学的心脏。陶行知先生曾说过：“发明千千万，起点在一问。”问能解惑，问能知新，问能达识，任何科学的发现无不都是从问题开始的。《义务教育数学课程标准（2011年版）》中课程目标最大的变化是从“二基”走向了“四基”，从“二能”走向了“四能”。如何在数学课堂中培养学生发现问题、提出问题的能力呢？在课堂上，华老师以饱满的热情、鼓励的目光、真诚的微笑面对每一位学生，为学生提供了充分的交流和表达的机会，时不时地和学生进行这样的对话：你有什么想法？有没有发现什么问题？静下心来看，还能发现什么问题？你们觉得呢？……学生在华老师的诱导下，问题源源不断，学生好问、敢问、善问，体验到了学习成功的快乐。
（作者单位：江苏省太仓市教师发展中心）
【片段1】竞口算，明本质
出示口算比赛试题：
（18 17）÷5 23 42 18 5 26 45
34 28 16 （36 36）÷9 64÷8 28
（12 36）÷2 56÷7 29 （14 28）÷7
（20秒后，学生在小组内交换批阅。）
师：你做对了几道题？
生：1题、2题……。
师：确实，这些口算题要求比较高，都是两步计算，时间又特别短。这样，每道题30分，算算你得了多少分。
师：8个小组，每一组赶快算出各自的总分。
（教师将每组学生的口算总分录入表格。）
师：看完8个小组的总分，你有什么想法？有没有发现什么问题？
生：它们都可以除以30，都除得尽。
师：嗯，除以30都除得尽，你觉得呢？静下心来看，还有什么问题？
生：第八组应该是390。
师：哦，第八组应该是390，看这两个人合作得多好！一个说都是30的倍数，另一个就说第八组错了，不是380而是390。
师：看每一组的总分，你还能发现什么问题？
生：每一题都是30分，无论做对多少题、得多少分，每一组的总分除以30都除得尽。
师：对对对，都是若干个30相加。这就回答了刚才同学的发现背后的道理是什么了，非常好！掌声送给他！
师：还有谁能发现问题？没有问题了？那现在我们来看看哪一组完成得最棒。
生（齐）：第二组和第四组。
师：那第二组和第四组并列第一，同意吗？（生没有反应）同意还是不同意？
生（齐）：同意。
师（微笑）：再看看，想想，还有没有想法？
生：第二组少了一个人，第二组赢了。
师：人数不等的情况下，看总分行不行？
生：不行，应该要求平均分。
师：为什么要求平均分？
生：因为要算出平均每人得多少分，这样才公平。
（教师请学生分组算平均分后录入表格。）
师：看一下平均分，哪一组最棒？
生：第二组。
师：掌声送给第二组。那第二名呢？
生：第四组。
师：第四组变成第二名了，跟刚才比总分的情况不一样了吧？第三名呢？比总分的话，第三名是谁？
生：第六组。
师：现在比平均分呢？
生：还是第六组。
师：这样是不是比总分和比平均分差不多啊？
生：是。
师：啊？那你是不是觉得我们刚才算的平均分白算了？（生表示不同意）为什么不是？
生：因为算平均分才公平，人多人少的问题。
师（掌声响起）：一语中的！真好！因为各小组人数不等，比总分不公平，比平均分才公平，让人心服口服。
“平均数”的计算不难，难在理解其意义。整数背景之下如何彰显“平均数”的统计意义？华老师提供给学生他们熟悉的、现实的、真实的统计题材，在真实的环境里，学生人人参与统计过程，亲自收集数据。在比哪个组的口算得分最高时，学生先比总分，在比总分的过程中发现每一组的总分都是30的倍数，并敏锐地发现了求总分过程中的错误。在比完总分后，华老师追问：“再看看，想想，还有没有想法？”开放性的问题引发了学生的深入思考。学生通过观察，发现两个组中学生人数不一样，比总分不公平，比平均分才公平。此活动，华老师想出了“每组5人或6人，口算每题30分”的妙招，避免了“平均数是小数，三年级学生还没接触小数除法”的尴尬，解决了没有学习小数除法的学生算平均分“除不尽”的问题。
【片段2】猜牛重，拓认识
师（播放动画）：奖励给大家一个故事——《猜牛重，赢大奖》。
师：故事听完了，你有什么感受？
生（不约而同）：好奇怪。
师：奇怪什么？
生：有些人猜得很小，有些人猜得很大，为什么会和真实的体重差不多呢？（学生自发鼓起掌来。）
师：好问题！
生：我觉得这可能是出于巧合。外行人正好有人猜得多，有人猜得少，然后就巧合成了1197磅。如果再举办一次比赛，结果有可能就不一样了。（部分学生鼓掌了，认同她的想法。）
师：这位同学的发现，又给我们提出了一个问题——平均数接近牛的真实体重，这是偶然的巧合还是必然的规律呢？
生：我觉得是必然的，是移多补少，比如一个人考了89分，另一人考了91分，91分的给了89分的1分，两人就都是90分了。
师：明白了吗？他非常厉害，举了个例子。
生：因为现在是有人猜大有人猜小，才接近真实数据的。那万一外行人都猜大了，那不就是偶然的巧合吗？
师：大家都能围绕问题来思考，确实特别好。是的，会有这样的情况。但刚才故事的开头说，不是两三个人在猜，而是好几百人在猜，当有好几百人的时候，就可能有的多有的少，这一点非常重要。
师：这么一说，你觉得为什么就会那么神奇呢？很多外行人，他们怎么这么厉害？ （学生仍在争辩，有的说是偶然，有的说是必然。）
师：行，有人说是偶然的，我也很佩服他的想法。其实老师也很好奇，也带着我的学生做过好多次实验，比如猜书的页数、猜大冬瓜的质量等。大家觉得好奇也可以自己去试一试，但是要注意，华老师是带着我们一个年级的学生在做实验，不要三五个人去做，人少是做不出这样的效果的。
师：我要和大家分享，大数学家马希文说过这样一句话“平均数总是更加接近实际”……
“猜牛的体重”的小故事把学生对平均数的认识推向了更高的层次。听完故事，学生不约而同发出了“好奇怪”的声音，“有些人猜得很小，有些人猜得很大，为什么平均数会和真实的体重差不多呢？”“我觉得这可能是出于巧合……”在学生的疑惑中，华老师顺势抛出问题：“平均数接近牛的真实体重，这是偶然的巧合还是必然的规律？”有的学生说是必然，有的学生说是偶然，为了帮助学生理解这是偶然还是必然的问题，华老师强调这不是两三个人在猜，而是几百人在猜，平均数是通过移多补少、取长补短算出来的数。此活动的目的是让学生了解当样本足够大时，平均数总是更加接近实际，但对于学生来说抽象理解困难较大，他们往往会想到一些极端的情况，比如全猜小了或全猜大了。华老师站在学生的视角，提出了：“其实老师也很好奇，也带着我的学生做过好多次实验……大家觉得好奇也可以自己去试一试，但是要注意……”鼓励学生实践出真知！
【片段3】推年龄，逆思维
出示题目：有8个人在篮球场上打球，他们的平均年龄是12岁。你能想象一下这8个人的年龄可能分别是多少吗？
师：独立思考，将答案写在纸上。
（教师巡视，并邀请三位学生将答案板书在黑板上。）
分别是：①12、12、12、12、12、12、12、12
②12、11、13、10、14、9、15、12
③15、15、12、12、12、10、10、10
（师生共同交流评价三位学生的想法……）
（出示华老师和篮球队员们的合影及每个人的实际年龄：47、8、6、6、7、7、7、8。）
生（相视而笑，窃窃私语）：咦？是华老师！
师：怎么没想到这种情况呢？不过，一样是8个人，平均年龄是不是12岁？
生：是！
师：主要是47岁的华老师惹的祸，是吧？如果没有47岁的华老师在，他们7个人的平均年龄是多少？
生：7岁！
师：你能发现什么？一起来思考：当有特别大的年龄的人在的时候，平均年龄12比47小了很多。12就不能很好地代表这一组年龄的平均水平。有极大或极小数时，平均数就会忽悠人。
对小学三年级学生而言，可否给定一个平均数让学生独立去构造分布？华老师大胆地作了尝试：开放性地让学生自己通过移多补少来猜年龄，让学生感受平均数的统计学意义，感受数据和平均数之间的关系。根据平均年龄猜8个人的实际年龄，这是一个逆向思考的问题，学生能够根据平均数去猜测实际数，学生猜想的情况多种多样，这些方案中8个人的年龄都比较接近，谁都没有想到有华老师这匹“47岁的黑马”。在这里，虽然学生没有用语言去描述平均数容易受到极端值的影响，但是通过学生知道真实情况后的惊叹，以及对有极端数据和没极端数据的两组数据的平均数进行讨论、比较，能够推测出学生体会到了平均数的“敏感性”特征。当有极端数据时，平均数也不能准确地表示这一组数据的平均水平，学生在学习活动中不知不觉地学会了辩证思维。
反复回味华老师这节《整数背景下的平均数》练习课，从学科视角和学生视角两方面主要给我们以下启示：
1.数学好玩。“数学好玩”的理论是著名数学家陈省身教授提出的，他认为只有让学生体会到数学学习的“好玩”，学生才能从“玩”中主动地获取知识。华老师说：“孩子们的手很小，不该硬要他们抓住一大把的东西。对于小学三年级的孩子，不是大学三年级的学生，不能一本正经地系统讲授平均数的性质，而应该让孩子们在玩中学。”怎样的活动能很好帮助学生进一步理解平均数的意义？华老师将平均数练习嵌入三个“有趣”的活动中，既有学生直接的亲身体验活动，又有学生间接的拓展认识活动，还有学生逆向的举例活动。学生在他们喜欢的、富有挑战性的活动中，或静静思考，或合作交流，或质疑提问，或切磋商讨，或争论不休……他们激情投入、思维碰撞、智慧交互、情感升华。
2.学生好问。问题是数学的心脏。陶行知先生曾说过：“发明千千万，起点在一问。”问能解惑，问能知新，问能达识，任何科学的发现无不都是从问题开始的。《义务教育数学课程标准（2011年版）》中课程目标最大的变化是从“二基”走向了“四基”，从“二能”走向了“四能”。如何在数学课堂中培养学生发现问题、提出问题的能力呢？在课堂上，华老师以饱满的热情、鼓励的目光、真诚的微笑面对每一位学生，为学生提供了充分的交流和表达的机会，时不时地和学生进行这样的对话：你有什么想法？有没有发现什么问题？静下心来看，还能发现什么问题？你们觉得呢？……学生在华老师的诱导下，问题源源不断，学生好问、敢问、善问，体验到了学习成功的快乐。
（作者单位：江苏省太仓市教师发展中心）