众所周知，新课标数学高考命题具有如下特点：（1）在知识网络交汇处、思想方法的交织线上、能力层次的交叉区内命题；（2）关注数学素养、考查理性思维、凸显学科能力；（3）综合测试双基，重点考查新增内容.从近两年的新课标高考数学命题来看，高考在考查数学基础知识的同时，更注重数学学科的内在联系和知识的综合性，从而在知识网络的“交汇点”处设计试题，这些试题运用知识之间的交叉、渗透和组合，是基础性与综合性的最佳表现形式．预测2011年数学高考中，这类“交汇”性试题将不会“退出江湖”，依然占“半壁江山”.
　　一、 平面向量与三角函数的交汇
　　向量具有代数运算性与几何直观性的“双重身份”，即可以像数一样满足“运算性质”进行代数形式的运算，又可以利用它的几何意义进行几何形式的变换.而三角函数是以“角”为自变量的函数，函数值体现为实数，因此平面向量与三角函数在“角”之间存在着密切的联系.同时在平面向量与三角函数的交汇处设计考题，其形式多样，解法灵活，极富思维性和挑战性.
　　预测题1 设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足（2a+c）•+c•=0.（1）求角B的大小；（2）若b=2，试求•的最小值.
　　点拨 （1）因为（2a+c）•+c•=0，所以（2a+c）accosB+cabcosC=0，即（2a+c）cosB+bcosC=0，则（2sinA+sinC）cosB+sinBcosC=0，所以2sinAcosB+sin（C+B）=0，即cosB=-，所以B=.
　　（2）因为b2=a2+c2-2accos，所以12=a2+c2+ac≥3ac，即ac≤4，所以•=accos=-ac≥-2，即•的最小值为-2.
　　点评 本题主要考查向量数量积运算，三角函数公式和余弦定理的应用．这种将三角函数与平面向量联袂上演的题目已经成为当今新课标高考的一个极大亮点，这种命题不仅会使问题的综合性得到进一步的加强，而且有利于培养考生的创造性思维和综合解决问题的能力．在高考中，这类问题难度不大，属于容易得分的中档题.
　　二、 函数与概率的交汇
　　函数是高考的主干知识，概率（古典概型和几何概型）是新课标必修3新增的内容，将新课标新增内容与函数融合在一起，体现新课标高考命题的新颖性和独创性，这类试题一直受到命题者的青睐.
　　预测题2 已知函数f（x）=x2+ax+b，（1）若-2≤a≤4，-2≤b≤4（a，b∈Z），求不等式f（x）>0的解集为R的概率；（2）若a≤1，b≤1，求方程f（x）=0两根都为负数的概率.
　　点拨 （1）满足条件的不等式共有49个；不等式解集为R的条件是a2-4b＜0.
　　a=-2时，b=2，3，4； a=-1时，b=1，2，3，4； a=0时，b=1，2，3，4；
　　a=1时，b=1，2，3，4； a=2时，b=2，3，4； a=3时，b=3，4.
　　所以满足等式f（x）>0的解集为R的不等式有20个，故等式f（x）>0的解集为R的概率是.
　　（2）方程f（x）>0两根都为负的条件是
　　-a<0，b>0，a2-4ab≥0，即a>0，b>0，b≤a2，……（*）
　　满足a≤1，b≤1点（a，b）组成的区域面积为4；而满足（*）的区域面积为a2da=，所以方程f（x）＝0两根都为负的概率P=.
　　点评 本题第（1）小题属于古典概型，枚举法是破解这类问题的基本方法；第（2）小题属于几何概型，利用面积之比求概率.这类问题在高考中虽难度不大，但必须谨慎解答，在计算基本事件时不可重复或遗漏.
　　三、圆锥曲线与平面向量的交汇
　　圆锥曲线与向量知识交汇在一起的综合题，以复杂多变、综合性强、解法灵活，知识覆盖面广，注重考查逻辑推理能力、解题实践能力和数学思想方程应用能力.在解题中需要把握住知识间的联系，注意借助转化的思想、方程思想等.
　　预测题3 已知平面上两定点C（－1，0），D（1，0）和一定直线l：x＝－４，P为该平面上一动点，作PQ⊥l，垂足为Q，且（+2）•（-2）=0.
　　（1）问点P在什么曲线上，并求出曲线的轨迹方程M；
　　（2）又已知点A为抛物线y2=2px（p>0）上一点，直线DA与曲线M的交点B不在y轴的右侧，且点B不在x轴上，并满足=2，求p的最小值．
　　点拨 （1）由（+2）（-2）=0，得=2.
　　法一：动点P到定点C（－1，0）的距离与到定直线l：x＝－４的距离之比为常数，所以点P在椭圆上．
　　由e==，-c==3a=2，b=，c=1. 所以所求的椭圆方程为+=1.
　　法二：设P（x，y）代入=2，得点P的轨迹方程为+=1.
　　（2）椭圆的右焦点为D（1，0），点B在椭圆+=1（-2　　设B（x0，y0），其中-2　　又=1-，∴８p=. 令t=x0+2，则0　　即８p==-t+4，∵ 0　　又当t=2时，x0=0，B为椭圆与y轴的交点， 故p的最小值为.
　　点评 由于向量既能体现“形”的直观位置特征，又具有“数”的良好运算性质，是数形结合与转换的桥梁和纽带．而解析几何也具有数形结合与转换的特征，所以在向量与解析几何知识的交汇处设计试题，已逐渐成为高考命题的一个新亮点．通常涉及到夹角、平行、垂直、共线、轨迹等问题的处理，目标是将几何问题坐标化、符号化、数量化，从而将推理转化为运算．这类问题的难度在高考中一般处于中等偏上，也可能以压轴题的“地位”出现.
　　四、圆锥曲线与数列的交汇
　　此类试题主要体现为以解析几何中的点的坐标为数列，或某数列为圆锥曲线方程的系数，或以直线与圆及圆锥曲线的弦长构成数列等.解答时一般须根据解析几何的知识确定数列的通项或递推关系，进而利用数列的知识作答.
　　预测题4 在直角坐标平面上有一点列P1（x1，y1），P2（x2，y2），…，Pn（xn，yn），…对一切正整数n，点Pn位于函数y=3x+的图像上，且Pn的横坐标构成以-为首项，-1为公差的等差数列{xn}．（1）求点Pn的坐标；（2）设抛物线列c1，c2，c3，…，cn，…中的每一条的对称轴都垂直于x轴，第n条抛物线cn的顶点为Pn，且过点Dn（0，n2+1），设与抛物线cn相切于Dn的直线斜率为kn，求++…＋；（3）设S={x｜x=2xn，n∈N*}，T={y｜y=4yn，n∈N*}，等差数列{an}的任一项an∈S∩T，其中a1是S∩T中的最大数，-265< a10 <-125，求{an}的通项公式.
　　点拨 （1）∵ xn=-+（n-1）×（-1）=-n-，∴ yn=3•xn+=-3n-，∴ Pn（-n-，-3n-）.
　　（2）∵ cn的对称轴垂直于x轴，且顶点为Pn，∴设cn的方程为y=a（x+）2-，把Dn（0，n2+1）代入上式，得a=1，∴ cn的方程为y=x2+（2n+3）x+n2+1．
　　∵ kn=y′｜x＝０=2n+3，∴ ==
　　（-），
　　∴++…＋＝[（-）+（-） +…＋ （-）]=（-）=-=.
　　（3）∵ S={x｜x=-（2n+3），n∈N，n≥１}，T={y｜y=-（１2n+５），n∈N，n≥１}＝{y｜y=-２（６n+１）－３，n∈N，n≥１}，∴ S∩T，T 中最大数a1=-17．
　　设{an}公差为d，则a10=-17+9d∈（-265，-125），由此得-　　又∵ an∈T，∴ d=-12m（m∈N*），∴ d=-24，an=7-24n（n∈N*）.
　　点评 本题是一个解析几何背景下的数列问题，集直线、抛物线方程、导数和数列通项、数列求和于一体，主要考查考生的综合能力.这类问题历来受命题者的追捧，应引起我们的足够重视.在高考中，这类问题通常以中等偏上或难题的“身份”出现.
　　五、数列与不等式的交汇
　　数列与不等式既是高考的主干知识，又是数学高考的重点内容之一，因此数列与不等式的交汇性历来是高考命题的重中之重，这类试题还往往与导数、函数等知识综合在一起考查.主要考查知识重点和热点是数列的通项公式、前n项和公式以及二者之间的关系、等差数列和等比数列、归纳与猜想、数学归纳法、比较大小、不等式证明、参数取值范围的探求，在不等式的证明中要注意放缩法的应用.此类题型主要考查考生对知识的灵活变通、融合与迁移，考查考生数学视野的广度和进一步学习数学的潜能．
　　预测题5 已知数列{an}和{bn}满足a1=b1，且对任意n∈N*都有an+bn=1，=.
　　（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；（2）证明:+++…＋　　点拨 （1）∵对任意n∈N*都有an+bn=1，=，∴===，∴＝＋１，即-＝１. ∴数列{}是首项为，公差为1的等差数列.∵a１=b１，且a１＋b１＝１，∴a１=b１＝.∴=2+（n-1）=n+1，∴ an=，bn=1-an=.
　　（2）∵an=，bn=，∴＝，∴所证不等式+++…＋　　① 先证右边不等式: ln（１＋n）<1+++…+.令f（x）= ln（１＋x）-x，则f ′（x）=-1=-. 当x>0时，f ′（x）<0，所以函数f（x）在[0，＋∞）上单调递减.
　　∴当x>0时，f（x）　　得ln（１＋１）＋ln（１＋）＋ln（１＋）＋…＋ln（１＋）<1＋＋＋…＋.
　　即ln（１＋１）•（１＋）•（１＋）•…•（１＋）<1＋＋＋…＋.
　　也即ln（２×××…×）<1＋＋＋…＋. 即ln（１＋n）<1＋＋＋…＋.
　　② 再证左边不等式: ＋＋＋…＋　　令f（x）=ln（１＋x）-，则f ′（x）=-＝.
　　当x>0时，f ′（x）>０，所以函数f（x）在[0，＋∞）上单调递增.
　　∴当x>0时，f（x）>f（0）=0，即ln（１＋x）>. 分别取x=1，，，…，.
　　得ln（１＋１）＋ln（１＋）＋ln（１＋）＋…＋ln（１＋）>＋＋…＋.
　　即ln（１＋１）•（１＋）•（１＋）•…•（１＋）>＋＋…＋.
　　也即ln（２×××…×）>＋＋…＋. 即ln（１＋n）>＋＋…＋.
　　∴+++…＋　　点评 本题主要考查导数及其应用、数列、不等式等知识,考查化归与转化、分类与整合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识，难度较大.在高考中往往以压轴题的形式出现.
　　六、函数与导数的交汇
　　高考对导数的考查主要以工具的方式进行命题，充分与函数相结合.其主要考点：（1）考查利用导数研究函数的性质（单调性、极值与最值）；（2）考查原函数与导函数之间的关系；（3）考查利用导数与函数相结合的实际应用题.
　　预测题6 已知函数f（x）＝+aln（x+１），其中n∈N*，a为常数.（1）当n=2时，求函数f（x）的极值；（2）当a=1时，若b1，b2，…，bk均非负数，且b1+b2+…+bk=1，求证：f（b1）+f（b2）+…＋f（bk）≤k+1.
　　点拨 （Ⅰ）由已知得函数f（x）的定义域为{x|x＞-1}，当n=2时，f（x）＝+aln（x+１），所以f ′（x）= .
　　（1）当a＞0时，由f ′（x）＝0，得x1=-1+＞-1，x2=-1-＜-1，此时f ′（x）=. 当x∈（1，x1）时，f ′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（x1，+∞）时，f ′（x）＞0，f （x）单调递增；
　　（2）当a≤0时，f ′（x）＜0恒成立，所以f（x）无极值.
　　综上所述，n=2时，当a＞0时，f（x）在x=-1+处取得极小值，极小值为f（-1+）=（1+ln）.当a≤0时，f（x）无极值.
　　（Ⅱ）先证明当x≥0时，f（x）≤x+1，只要设g（x）=x+1-f（x），则g ′（x）=1+-=+>0（x≥0），∴ g（x）在[0，＋∞）是增函数，∴ g（x）≥g（0）＝０. 而b1，b2，…，bk均非负数，且b1+b2+…+bk=1，所以f（b1）+f（b2）+…＋f（bk）≤k+1.
　　点评 本题考查导数运算、解二次不等式、研究函数单调性及极值、分类讨论思想、导数应用、灵活的运用所学知识处理问题得能力.是一道要求较高，难度较大的能力题.
　　预测演练
　　1． 已知向量=（1，sin（ωx+）），=（2，2sin（ωx-）），（其中ω为正常数）
　　（1）若ω=1，x∈[，]，求∥时tanx的值；
　　（2）设f（x）＝•－２，若函数f（x）的图像的相邻两个对称中心的距离为，求f（x）在区间[0，]上的最小值.
　　（答案: （１）tanx==2+；（2）当x=-时，f（x）取最小值-）
　　2． 已知圆C：（x+1）2+y2=8，定点A（１，０），Ｍ为圆上一动点，点P在AＭ上，点N在CＭ上，且满足=2，•＝０，点N的轨迹为曲线Ｅ．
　　（1）求曲线Ｅ的方程；
　　（2）若直线y=kx+与（1）中所求点N的轨迹Ｅ交于不同两点F、H，O是坐标原点，且≤•≤，求△FOH的面积的取值范围.
　　（答案：（1）曲线E的方程为+y2=1；（2）≤Ｓ≤）
　　3． 已知函数f（x）=ax--2lnx，f（1）=0.
　　（1）若函数f（x）在其定义域内为单调函数，求实数a的取值范围；
　　（2）若函数f（x）的图像在x= 1处的切线的斜率为0，且an+1=f ′（）-nan+1．
　　①若a1≥3，求证：an≥n+2；
　　②若a1= 4，试比较+++…+与的大小，并说明你的理由．
　　（答案：（1）a的取值范围为a≥1或a≤0；（2）①（提示：用数学归纳法证明），②+++…+<）
　　（作者单位：江苏省太仓高级中学）
　　 责任编校徐国坚
　　注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文