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摘 要：多关节机器人在实际制造过程中往往呈非正交性，这为工作空间的精确描述增加了复杂性。该文提出了一种基于变幻映射的多关节机器人工作空间描述方法。通过分析不规则体在某一平面上的变换映射，可以获得不规则体绕空间某一旋转轴旋转时的截面边界，利用该方式可以逐级求解多关节机器人的工作空间。对第一关节最大旋转角度达到2π的两自由度空间机器人工作空间进行了研究，利用变换映射的方法可以获得两自由度空间机器人工作空间截面。在两自由度机器人工作空间基础上采用变换映射以及集合的方式对第二关节最大旋转角度超过2π的三自由度空间机器人工作空间进行了描述。并且通过仿真实验证明该方法能有效、精确和快速地描述两、三自由度空间机器人的工作空间，对实际多关节机器人工作空间的分析有一定的参考价值。
关键词：多关节机器人 工作空间 变换映射
中图分类号：TH115 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2015）05（c）-0087-03
多关节机器人是一种典型的工业机器人，被广泛应用于工业领域[1-3]。在工作过程中，机器人工作空间大小决定了机器人的活动范围，是衡量机器人工作能力的一个重要的运动学指标。工作空间的研究方法大致可以分为三种：（1）几何绘图法；（2）解析法；（3）数值法。
几何绘图法得到的一般是工作空间的各类剖切面或剖切线。它直观性强，可以显示可达点出操作臂的位姿特征。针对多自由度空间机器人应用图解法，可将其关节进行分解成若干个部分。文献[4]对旋转轴中心点到旋转体的最大值和最小值进行了定义，提出了在一个体空间内，绕某一轴所成的空间内任意一点的距离在某一轴到该体空间的距离最大值和最小值之间，并且对理想的IOR外科手术机器人的工作空间进行了描述。文献[5]采用几何绘图法对理想IRB1600D型六自由度弧焊工业机器人的工作空间进行了描述，得到了机器人的工作空间剖面图。该方法对于简单的结构表达简单、可视化，但是对复杂的结构，表达较为困难。
解析法也是工作空间分析中常用的一种方法。常采用雅克比矩阵降秩（Rank deficiency）时的特征加以分析。文献[6]将某一坐标系上的空间点的位置进行了定义，当该空间沿着另一坐标系的某一点旋转或者平移，会产生一个新的“扫描体”（Swept volumes），该“扫描体”上点的位置可以用矩阵方程表示。文献[7]通过雅克比矩阵降秩对扫描体方程进行转化从而确定边界曲线/曲面的表达式。该方法可以用于复杂结构的空间描述，但是分析过程比较复杂，计算量较大。
数值法主要是采用沿拓或者概率统计的方法。沿拓方法[8-9]是一种基于优化求极值的方法，但是该方法并不直观，而且在优化过程可能出现一定的误差；概率分布统计的方法主要是通过关节变量空间与操作空间的映射关系，将一定数量的关节变量通过蒙特卡罗的方法分布映射到工作空间当中，再通过统计的方式得到工作空间的边界曲线，如文献[10]对三维机器人工作空间进行了分析，这种方法虽然易于理解和应用，但是无法一次性求得工作空间的边界点，而且还会产生空间内部大量的数据点，还需对工作空间内部数据进行处理，运算量较大。
为了避免描述工作空间时产生大量的数据、提高计算效率，文中采用变换映射的方式来描述多关节机器人工作空间，并且采用该方式对第一关节最大旋转角度为360°的两自由度、第二关节最大旋转角度为360°的三自由度空间机器人工作空间进行了描述。
1 旋转变换映射模型
求解某一不规则空间绕着某一旋转轴旋转所成的一个新的空间是求解多关节机器人工作空间经常遇到的问题。如果知道不规则空间绕旋转轴旋转时所成的截面曲线表达式，那么往往只需要求解不规则空间在旋转轴旋转的始末端的空间，以及由截面曲线沿着旋转轴旋转包围所成的空间。其中，求解不规则空间绕旋转轴旋转时截面曲线表达式，是该问题求解一个关键点。如图1所示，经过旋转轴做一平面γ，不规则空间上某一点P，其在该平面内的投影P’的坐标为（xP’，yP’），可以求得点经旋转轴旋转后在平面内的轨迹P’’的坐标为 （xP’’，yP’’）：
（1）
因此，通过式（1）可以计算不规则空间表面上任何一点在旋转面γ上的位置，进而获得不规则空间绕旋转轴旋转时的截面数据。由此可以构建不规则空间相对旋转面的变换映射关系。
对于第一关节最大旋转角度为360°的两自由度、第二关节最大旋转角度为360°的三自由度空间机器人，该方法在可以令其工作空间的求解得以简化，提高工作空间的求解效率。本文章节2将利用该方法分别对两自由度、三自由度空间机器人工作空间的求解进行详细的讨论。
2 两自由度、三自由度空间机器人工作空间求解模型
2.1 两自由度空间机器人工作空间求解模型
两自由度空间机器人示意图如图2所示，杆件OiP能绕着点Oi旋转，杆件OiOi-1’绕着轴Oi-1Os旋转，轴OiOi-1’与轴Oi-1Os之间的距离为Δk，|OiP|=Li，两旋转轴之间的夹角为ai，假设杆件OiP绕着轴OiOi-1’旋转到最高端的位置为Ph，作OiP的旋转平面OiPhPs与平面OiOi-1Os之间的交点为Ps。
如图3所示，假设旋转轴OiOi-1’的最大旋转角度为θai+Δθ1i+Δθ2i，其中，θai根据最高点Ph两端对称，Δθ1i、Δθ2i分别为两端不对称的角度偏移量。
以Oi-1为原点、Oi-1Os为Z轴建立柱坐标系Oi-1-RZθ i-1，可以通过本文第1章所阐述的方法求解两自由度空间机器人的工作空间截面表达式f（ri，zi），即杆件OiPs绕轴OiOi-1’旋转时在面OiOi-1Os上所产生的投影。
2.2 三自由度空间机器人工作空间求解模型
在求解三自由度空间机器人的时候，可以如图4所示先求解后面两个关节所成的工作空间，利用变换映射的方法求解后面兩个关节所成的工作空间绕第一关节旋转得到的运动轨迹截面，再同后两个自由度工作空间在第一关节始末位置所成的空间进行并集运算，即构成了三自由度机器人工作空间V3space。 一般地，三自由度空间机器人最后一个关节的角度最大旋转角度小于π。因此在求解后两个关节的工作空间时，根据两个旋转轴之间的距离Δki和夹角|ai|进行分类讨论，进而求解三自由度机器人后两个关节工作空间绕着第一关节旋转所成的空间截面表达式S（r1，Z1），再通过变换映射的方法获得三自由度空间机器人工作空间V3space。
3 实验研究
为验证算法的可行性，分别对一个三自由度的空间机器人进行了仿真，其每个关节零位时的构型如图5所示，DH参数值如表1所示。
采用本文的方法在Matlab上对其工作空间进行仿真。可以获得第三关节的工作空间曲线在第一关节柱坐标系下RZ平面的投影如图6所示。
根据上述方法，第三、第二关节所产生的工作空间V2space如图7所示。
V2space在第一旋转轴始末位置（θ1=0以及θ1=150°时）的空间在Matlab上显示如图8所示。
根据本文算法，三自由度机器人工作空间V3space的描述如图9所示。
通过实验表明，根据本文的方法，可以精确、快速地获得二自由度、三自由度空间机器人的工作空间。
4 结语
该文描述了不规则体绕空间某一旋转轴旋转时，不规则体表面上任一点在旋转面上的变换映射关系。通过该方法，对第一关节最大旋转角度超过2π的二自由度空间机器人的工作空间截面曲线进行了表达。针对第二关节最大旋转角度超过2π的三自由度空间机器人，在二自由度空间机器人工作空间的基础上，结合变换映射以及集合的方法，对其工作空间进行了表达。通过试验表明，该方法计算量少，能准确、快速地描述二、三自由度空间机器人的工作空间，可以为实际机器人的操作、设计提供一定的参考。
参考文献
[1] 郭希娟，耿清甲.串联机器人加速性能指标分析[J].机械工程学报，2008， 44（9）：56-60.
[2] 毛新涛，包钢，杨庆俊，等.3自由度气动串联机械手的关节控制[J].机械工程学报，2008，44（12）：254-260.
[3] 杭鲁滨，金琼，杨廷力.基于线性变换的一般5R串联机器人逆运动学分析[J].机械工程学报，2001，37（5）：22-25.
[4] Debora Botturi，Paolo Fiorini， Sandra Martelli.A Geometric Method for Robot Workspace Computation[J].ICAR03.
[5] 谢烽，陈鹿民，张存鹰.空间六自由度多关节机器人工作空间研究[J].郑州轻工业学院学报，2009，24（1）：50-64.
[6] Abdel-Malek Karim，Yeh Harn-Jou，Othman Saib.Swept volumes：void and boundary identification[J].Computer-Aided Design，1998，30（13）：1009-1018.
[7] Abdel-Malek Karim， Yeh Harn-Jou. Understanding voids in the workspace of serial robot manipulators[C]//Proceedings of the ASME Design Engineering Technical Conferences， DETC2000/MECH-14126， Baltimore， Maryland， September 10-13， 2000.
[8] Haug，E，J，Wang，J，y.Wu，J，K， Dextrous workspaces of manipulators Part 1. Analytical criteria[J].Mech.Struct.Mach， 1992，20（3）：321-361.
[9] Wang.S.L；Wu J.K. Dexterous workspace of manipulators. Part2. computational methods[J]. Mech Struct.Mach，1993， 21（4）：471-506.
[10] 曹毅，李秀娟，寧祎，等.三维机器人工作空间及几何误差分析[J].机械科学与技术，2006，25（12）：1458-1461.
关键词：多关节机器人 工作空间 变换映射
中图分类号：TH115 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2015）05（c）-0087-03
多关节机器人是一种典型的工业机器人，被广泛应用于工业领域[1-3]。在工作过程中，机器人工作空间大小决定了机器人的活动范围，是衡量机器人工作能力的一个重要的运动学指标。工作空间的研究方法大致可以分为三种：（1）几何绘图法；（2）解析法；（3）数值法。
几何绘图法得到的一般是工作空间的各类剖切面或剖切线。它直观性强，可以显示可达点出操作臂的位姿特征。针对多自由度空间机器人应用图解法，可将其关节进行分解成若干个部分。文献[4]对旋转轴中心点到旋转体的最大值和最小值进行了定义，提出了在一个体空间内，绕某一轴所成的空间内任意一点的距离在某一轴到该体空间的距离最大值和最小值之间，并且对理想的IOR外科手术机器人的工作空间进行了描述。文献[5]采用几何绘图法对理想IRB1600D型六自由度弧焊工业机器人的工作空间进行了描述，得到了机器人的工作空间剖面图。该方法对于简单的结构表达简单、可视化，但是对复杂的结构，表达较为困难。
解析法也是工作空间分析中常用的一种方法。常采用雅克比矩阵降秩（Rank deficiency）时的特征加以分析。文献[6]将某一坐标系上的空间点的位置进行了定义，当该空间沿着另一坐标系的某一点旋转或者平移，会产生一个新的“扫描体”（Swept volumes），该“扫描体”上点的位置可以用矩阵方程表示。文献[7]通过雅克比矩阵降秩对扫描体方程进行转化从而确定边界曲线/曲面的表达式。该方法可以用于复杂结构的空间描述，但是分析过程比较复杂，计算量较大。
数值法主要是采用沿拓或者概率统计的方法。沿拓方法[8-9]是一种基于优化求极值的方法，但是该方法并不直观，而且在优化过程可能出现一定的误差；概率分布统计的方法主要是通过关节变量空间与操作空间的映射关系，将一定数量的关节变量通过蒙特卡罗的方法分布映射到工作空间当中，再通过统计的方式得到工作空间的边界曲线，如文献[10]对三维机器人工作空间进行了分析，这种方法虽然易于理解和应用，但是无法一次性求得工作空间的边界点，而且还会产生空间内部大量的数据点，还需对工作空间内部数据进行处理，运算量较大。
为了避免描述工作空间时产生大量的数据、提高计算效率，文中采用变换映射的方式来描述多关节机器人工作空间，并且采用该方式对第一关节最大旋转角度为360°的两自由度、第二关节最大旋转角度为360°的三自由度空间机器人工作空间进行了描述。
1 旋转变换映射模型
求解某一不规则空间绕着某一旋转轴旋转所成的一个新的空间是求解多关节机器人工作空间经常遇到的问题。如果知道不规则空间绕旋转轴旋转时所成的截面曲线表达式，那么往往只需要求解不规则空间在旋转轴旋转的始末端的空间，以及由截面曲线沿着旋转轴旋转包围所成的空间。其中，求解不规则空间绕旋转轴旋转时截面曲线表达式，是该问题求解一个关键点。如图1所示，经过旋转轴做一平面γ，不规则空间上某一点P，其在该平面内的投影P’的坐标为（xP’，yP’），可以求得点经旋转轴旋转后在平面内的轨迹P’’的坐标为 （xP’’，yP’’）：
（1）
因此，通过式（1）可以计算不规则空间表面上任何一点在旋转面γ上的位置，进而获得不规则空间绕旋转轴旋转时的截面数据。由此可以构建不规则空间相对旋转面的变换映射关系。
对于第一关节最大旋转角度为360°的两自由度、第二关节最大旋转角度为360°的三自由度空间机器人，该方法在可以令其工作空间的求解得以简化，提高工作空间的求解效率。本文章节2将利用该方法分别对两自由度、三自由度空间机器人工作空间的求解进行详细的讨论。
2 两自由度、三自由度空间机器人工作空间求解模型
2.1 两自由度空间机器人工作空间求解模型
两自由度空间机器人示意图如图2所示，杆件OiP能绕着点Oi旋转，杆件OiOi-1’绕着轴Oi-1Os旋转，轴OiOi-1’与轴Oi-1Os之间的距离为Δk，|OiP|=Li，两旋转轴之间的夹角为ai，假设杆件OiP绕着轴OiOi-1’旋转到最高端的位置为Ph，作OiP的旋转平面OiPhPs与平面OiOi-1Os之间的交点为Ps。
如图3所示，假设旋转轴OiOi-1’的最大旋转角度为θai+Δθ1i+Δθ2i，其中，θai根据最高点Ph两端对称，Δθ1i、Δθ2i分别为两端不对称的角度偏移量。
以Oi-1为原点、Oi-1Os为Z轴建立柱坐标系Oi-1-RZθ i-1，可以通过本文第1章所阐述的方法求解两自由度空间机器人的工作空间截面表达式f（ri，zi），即杆件OiPs绕轴OiOi-1’旋转时在面OiOi-1Os上所产生的投影。
2.2 三自由度空间机器人工作空间求解模型
在求解三自由度空间机器人的时候，可以如图4所示先求解后面两个关节所成的工作空间，利用变换映射的方法求解后面兩个关节所成的工作空间绕第一关节旋转得到的运动轨迹截面，再同后两个自由度工作空间在第一关节始末位置所成的空间进行并集运算，即构成了三自由度机器人工作空间V3space。 一般地，三自由度空间机器人最后一个关节的角度最大旋转角度小于π。因此在求解后两个关节的工作空间时，根据两个旋转轴之间的距离Δki和夹角|ai|进行分类讨论，进而求解三自由度机器人后两个关节工作空间绕着第一关节旋转所成的空间截面表达式S（r1，Z1），再通过变换映射的方法获得三自由度空间机器人工作空间V3space。
3 实验研究
为验证算法的可行性，分别对一个三自由度的空间机器人进行了仿真，其每个关节零位时的构型如图5所示，DH参数值如表1所示。
采用本文的方法在Matlab上对其工作空间进行仿真。可以获得第三关节的工作空间曲线在第一关节柱坐标系下RZ平面的投影如图6所示。
根据上述方法，第三、第二关节所产生的工作空间V2space如图7所示。
V2space在第一旋转轴始末位置（θ1=0以及θ1=150°时）的空间在Matlab上显示如图8所示。
根据本文算法，三自由度机器人工作空间V3space的描述如图9所示。
通过实验表明，根据本文的方法，可以精确、快速地获得二自由度、三自由度空间机器人的工作空间。
4 结语
该文描述了不规则体绕空间某一旋转轴旋转时，不规则体表面上任一点在旋转面上的变换映射关系。通过该方法，对第一关节最大旋转角度超过2π的二自由度空间机器人的工作空间截面曲线进行了表达。针对第二关节最大旋转角度超过2π的三自由度空间机器人，在二自由度空间机器人工作空间的基础上，结合变换映射以及集合的方法，对其工作空间进行了表达。通过试验表明，该方法计算量少，能准确、快速地描述二、三自由度空间机器人的工作空间，可以为实际机器人的操作、设计提供一定的参考。
参考文献
[1] 郭希娟，耿清甲.串联机器人加速性能指标分析[J].机械工程学报，2008， 44（9）：56-60.
[2] 毛新涛，包钢，杨庆俊，等.3自由度气动串联机械手的关节控制[J].机械工程学报，2008，44（12）：254-260.
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[4] Debora Botturi，Paolo Fiorini， Sandra Martelli.A Geometric Method for Robot Workspace Computation[J].ICAR03.
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[8] Haug，E，J，Wang，J，y.Wu，J，K， Dextrous workspaces of manipulators Part 1. Analytical criteria[J].Mech.Struct.Mach， 1992，20（3）：321-361.
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[10] 曹毅，李秀娟，寧祎，等.三维机器人工作空间及几何误差分析[J].机械科学与技术，2006，25（12）：1458-1461.