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新课程背景下的数学课堂教学每一分钟都在孕育着创造，已由完全地预设不断地走向动态生成，时时在彰显着课改的多彩魅力，演绎着课改的新理念。因此，教师在课堂教学中不是机械地执行预设方案，而是要求我们从关注预设的教案，走向关注学生的发展，突出学生在课堂上的能动性、创造性和差异性，尊重学生的独立人格。最近，听了市优质课评选中一位老师上的《分数除以分数》的一节课，深受启发，那看似平常，却“润物细无声”式的生成教学，更是蓦然顿悟：大智若愚，大言无声，生成亦无痕。
【问题情境】量杯里有9/10升果汁，茶杯的容量是3/10升。这个量杯里的果汁能倒满几个茶杯？
问题抛出后一个学生立即答道：“我知道9/10÷3/10就等于9/10×10/3。”随后许多学生跟着附和。
师：哦，你是怎么知道的呢？
生：我是根据上节课学的分数除以整数的方法推测的。（又有许多学生表示赞同）
师：原来是猜想而已啊。那就是没有证据来证明你们的想法了。
生：我能证明自己是对的。
师：那就给大家一些时间来证明自己好吗？
生1：我通过画图的方法来验证的，知道这杯果汁可以倒3杯。(解法1)
■
师：通过画图寻找问题的答案是一种方法，但有时候画图是很麻烦的。
生2：我是通过计算来验证的。算式是（9/10）÷（3/10）=（9÷3）/（10÷10）=3/1=3杯（解法2）
师：分数除以分数，用分母相除的商作为分母，分子相除的商作为分子，这样计算可以吗？
生2：我想是可以的，因为这样计算的商和正确结果一样都是3。
师：作为一种猜想这很好，如果能够证明你的猜想是正确的就更好了。
生2：（思考片刻）我想分数乘分数的计算方法是把分母相乘的积作分母，分子相乘的积作分子，现在已知两个因数的积和其中的一个因数，求另一个因数，只要用积除以一个因数，可以把积中的分母、分子分别除以一个因数的分母和分子。比如：（2/5）×（3/7）=（2×3）/（5×7）=6/35，（6/35）÷3/7=（6÷3）/（35÷7）。（学生鼓掌）
师：运用乘除运算间的关系，对刚才的猜想进行了证明，非常精彩。
生3：我先把算式中的分数都化成小数，这样分数除法就变成了小数除法，算式是（9/10）÷（3/10）=0.9÷0.3=3（杯）（解法3）
生4：我先根据商不变的性质把算式转变成整数乘法后再计算，算式是：（9/10）÷（3/10）=（（9/10）×10）÷（（3/10）×10）=3（杯）。（解法4）
生5：我是依据商不变规律和倒数的认识来证明的，9/10÷3/10＝（9/10×10/3）÷（3/10×10/3）＝9/10×10/3÷1＝3（杯）。
……
师：这么多的解法真是“琳琅满目”啊。你比较喜欢哪一种？（学生发表意见，解法2、3、5得到多数人的认可）下面就请你们用自己喜欢的方法尝试计算：（7/10）÷（2/3）（学生尝试计算并反馈）。
生6：我是选择解法2，就是分子相除、分母相除的 方法。可是这里分子相除的商是个小数，而分母相除的商除不尽。于是我便试着用方法5，计算过程是（7/10）÷（2/3）=（7/10）×（3/2）=21/20
生7：我没有改变这种方法，既然老师让我们用这种方法来计算。
师：（笑着点头）看来你还是比较执著的，你用这种方法算出结果了吗？
生7：是的，这里分母相除不是整数，我便先通分再除（7/10）÷（2/3）=（21/30）÷（20/30）=（21÷20）/（30÷30）=21/20（学生热烈鼓掌）
师：真棒，这种积极思考、不解决问题不罢休的数学精神还真是令我钦佩啊！
生8：我是选择解法3的，但是这里的除数不能化成有限小数，所以，我就没有办法算下去了。
师：（鼓励）不错啊，只要认真思考、积极动脑就是好样的，有时学习的这种过程比结果更重要啊。
生9：我一开始就是选择了解法5，也就是刚才××同学所说的，这样一下子就算出了最后结果。
师：我们的同学真是出色。对于刚才的方法，请大家谈谈各自的看法。
生10：我觉得把分数先化成小数再相除的方法，适用于能化成有限小数的分数除法。如果遇到不能化成有限小数的分数除法就麻烦了。
生11：我选择把分数除法转化成分数乘法的方法，这样，只要乘以除数的倒数，计算就比较方便了。
生12：我认为分子相除、分母相除的计算方法在计算例题这样的题目时比较简便，但是遇到除不尽时也是比较麻烦的。
师：可是刚才不是通分了吗？
生12：通分之后可以算出得数，但是还是比较繁琐，转化成乘法不就得了，又不是做分数加减法。
师：（转向刚才提出通分方法的同学）你觉得他说的有道理吗?如果再让你作一次选择呢？
生7：我觉得他的意见有道理，一般情况下把分数除法转化成分数乘法的方法计算比较方便。但是有时候用分母相除、分子相除的方法计算也很方便。就像例题一样，不需要颠来倒去的，很快就可以算出正确结果。所以，我认为还是要具体情况具体分析。
师：好一个“具体情况具体分析”，看来选择什么样的计算方法还要根据不同的题目来确定，你们同意吗？（大家纷纷点头）
……
【赏析】
克莱因曾说：“音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科学可改善物质生活，但数学能给予一切。”回顾这节课的点点滴滴，细细品来，真乃“无声胜有声”。这种“不教而教”的生成教学手段妙不可言，它正体现了苏霍姆林斯基所说的“把自己的教育意图隐蔽起来”的“无为而教”的教育境界，亦是教育的最高的境界。
一、让思维在生成对话中传递
杜威说：“走出教室一步，就意味着对学科的超越，选择了一种教育，就选择了一种生活。”的确，面对一堂非常规的计算教学，我们必须以一种开放的心态和策略去面对它。平纳有言：“要获得个体的自由和解放，学校课程绝不能局限于系统化的书本知识，而要关照个体作为具体的活生生的存在的生活经验。”在这种动态生成环境下，每个学生的存在经验全方位地渗透到课堂中来，真正对话才产生了。在上述案例中，当学生给出“9/10÷3/10＝（9/10×10/3）÷（3/10×10/3）＝9/10×10/3÷1＝3（杯）。”这一想法时，教师立即组织讨论：①9/10÷3/10＝（9/10×10/3）÷（3/10×10/3）等式成立的依据是什么？②商不变规律中提出被除数和除数同时乘一个不为零的相同的数，商都不变，为什么在这么多数中，唯独选择了10/3这个数？通过对这两个问题的讨论，相当于每一个学生都对此题进行了重新分析。
二、让思维在生成实践中凸现
在备课时，教师原来的预设过程：直接出示教学的情境，让学生自学课本后再讨论并总结算法。课堂中一位学生的“快嘴快舌”，打乱了教师的预想，扰乱了教学程序，面对意外生成教师没有选择回避，而选择了“现场調适”。针对课堂中学生出现的“出轨”行为，教师灵活地重新设计和组织学生进行教学实践活动，使探索结论的教学过程变成了让学生验证结论的自主实践过程。真正体现了心中有案，行中无案，赋有形的预设于无形的动态的教学中。整个教学过程成为学生一种丰富的人生经验，从而使“节外生枝”成为“锦上添花”。
三、让思维在生成交流中碰撞
课堂是一种师生之间、生生之间的双向交流，教师要做一个发现者，随时注意学生所传达出来的信息，在围绕课程目标精心设计教案的基础上，依循学生认知的曲线，思维的张弛以及情感的波澜，以灵动的教育机智随时調整教学进程，让课堂教学充盈生命成长的人文韵味。上述案例中，教师通过让学生自己想办法来验证“分数除以分数”计算的规则是正确的，調动他们头脑中所有的旧知识一起运作，学生在选择和应用旧知的过程中，原有的认知结构进行了扩展，综合应用能力也必然得到了发展。学生在证明9/10÷3/10＝9/10×10/3时，用到了商不变规律、倒数、分数与除法的关系、图示法、倍比法解题等各种知识并将它们有效地组合起来为这个新内容服务，更难能可贵的是提出“具体情况具体分析”新观点，所有这些活动都映射出了他们的认知决不仅仅停留在这节课的知识点上。在这样的教学活动中，学生所获得的又岂是计算能力的发展呢？
（责任编辑：李雪虹）
【问题情境】量杯里有9/10升果汁，茶杯的容量是3/10升。这个量杯里的果汁能倒满几个茶杯？
问题抛出后一个学生立即答道：“我知道9/10÷3/10就等于9/10×10/3。”随后许多学生跟着附和。
师：哦，你是怎么知道的呢？
生：我是根据上节课学的分数除以整数的方法推测的。（又有许多学生表示赞同）
师：原来是猜想而已啊。那就是没有证据来证明你们的想法了。
生：我能证明自己是对的。
师：那就给大家一些时间来证明自己好吗？
生1：我通过画图的方法来验证的，知道这杯果汁可以倒3杯。(解法1)
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师：通过画图寻找问题的答案是一种方法，但有时候画图是很麻烦的。
生2：我是通过计算来验证的。算式是（9/10）÷（3/10）=（9÷3）/（10÷10）=3/1=3杯（解法2）
师：分数除以分数，用分母相除的商作为分母，分子相除的商作为分子，这样计算可以吗？
生2：我想是可以的，因为这样计算的商和正确结果一样都是3。
师：作为一种猜想这很好，如果能够证明你的猜想是正确的就更好了。
生2：（思考片刻）我想分数乘分数的计算方法是把分母相乘的积作分母，分子相乘的积作分子，现在已知两个因数的积和其中的一个因数，求另一个因数，只要用积除以一个因数，可以把积中的分母、分子分别除以一个因数的分母和分子。比如：（2/5）×（3/7）=（2×3）/（5×7）=6/35，（6/35）÷3/7=（6÷3）/（35÷7）。（学生鼓掌）
师：运用乘除运算间的关系，对刚才的猜想进行了证明，非常精彩。
生3：我先把算式中的分数都化成小数，这样分数除法就变成了小数除法，算式是（9/10）÷（3/10）=0.9÷0.3=3（杯）（解法3）
生4：我先根据商不变的性质把算式转变成整数乘法后再计算，算式是：（9/10）÷（3/10）=（（9/10）×10）÷（（3/10）×10）=3（杯）。（解法4）
生5：我是依据商不变规律和倒数的认识来证明的，9/10÷3/10＝（9/10×10/3）÷（3/10×10/3）＝9/10×10/3÷1＝3（杯）。
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师：这么多的解法真是“琳琅满目”啊。你比较喜欢哪一种？（学生发表意见，解法2、3、5得到多数人的认可）下面就请你们用自己喜欢的方法尝试计算：（7/10）÷（2/3）（学生尝试计算并反馈）。
生6：我是选择解法2，就是分子相除、分母相除的 方法。可是这里分子相除的商是个小数，而分母相除的商除不尽。于是我便试着用方法5，计算过程是（7/10）÷（2/3）=（7/10）×（3/2）=21/20
生7：我没有改变这种方法，既然老师让我们用这种方法来计算。
师：（笑着点头）看来你还是比较执著的，你用这种方法算出结果了吗？
生7：是的，这里分母相除不是整数，我便先通分再除（7/10）÷（2/3）=（21/30）÷（20/30）=（21÷20）/（30÷30）=21/20（学生热烈鼓掌）
师：真棒，这种积极思考、不解决问题不罢休的数学精神还真是令我钦佩啊！
生8：我是选择解法3的，但是这里的除数不能化成有限小数，所以，我就没有办法算下去了。
师：（鼓励）不错啊，只要认真思考、积极动脑就是好样的，有时学习的这种过程比结果更重要啊。
生9：我一开始就是选择了解法5，也就是刚才××同学所说的，这样一下子就算出了最后结果。
师：我们的同学真是出色。对于刚才的方法，请大家谈谈各自的看法。
生10：我觉得把分数先化成小数再相除的方法，适用于能化成有限小数的分数除法。如果遇到不能化成有限小数的分数除法就麻烦了。
生11：我选择把分数除法转化成分数乘法的方法，这样，只要乘以除数的倒数，计算就比较方便了。
生12：我认为分子相除、分母相除的计算方法在计算例题这样的题目时比较简便，但是遇到除不尽时也是比较麻烦的。
师：可是刚才不是通分了吗？
生12：通分之后可以算出得数，但是还是比较繁琐，转化成乘法不就得了，又不是做分数加减法。
师：（转向刚才提出通分方法的同学）你觉得他说的有道理吗?如果再让你作一次选择呢？
生7：我觉得他的意见有道理，一般情况下把分数除法转化成分数乘法的方法计算比较方便。但是有时候用分母相除、分子相除的方法计算也很方便。就像例题一样，不需要颠来倒去的，很快就可以算出正确结果。所以，我认为还是要具体情况具体分析。
师：好一个“具体情况具体分析”，看来选择什么样的计算方法还要根据不同的题目来确定，你们同意吗？（大家纷纷点头）
……
【赏析】
克莱因曾说：“音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科学可改善物质生活，但数学能给予一切。”回顾这节课的点点滴滴，细细品来，真乃“无声胜有声”。这种“不教而教”的生成教学手段妙不可言，它正体现了苏霍姆林斯基所说的“把自己的教育意图隐蔽起来”的“无为而教”的教育境界，亦是教育的最高的境界。
一、让思维在生成对话中传递
杜威说：“走出教室一步，就意味着对学科的超越，选择了一种教育，就选择了一种生活。”的确，面对一堂非常规的计算教学，我们必须以一种开放的心态和策略去面对它。平纳有言：“要获得个体的自由和解放，学校课程绝不能局限于系统化的书本知识，而要关照个体作为具体的活生生的存在的生活经验。”在这种动态生成环境下，每个学生的存在经验全方位地渗透到课堂中来，真正对话才产生了。在上述案例中，当学生给出“9/10÷3/10＝（9/10×10/3）÷（3/10×10/3）＝9/10×10/3÷1＝3（杯）。”这一想法时，教师立即组织讨论：①9/10÷3/10＝（9/10×10/3）÷（3/10×10/3）等式成立的依据是什么？②商不变规律中提出被除数和除数同时乘一个不为零的相同的数，商都不变，为什么在这么多数中，唯独选择了10/3这个数？通过对这两个问题的讨论，相当于每一个学生都对此题进行了重新分析。
二、让思维在生成实践中凸现
在备课时，教师原来的预设过程：直接出示教学的情境，让学生自学课本后再讨论并总结算法。课堂中一位学生的“快嘴快舌”，打乱了教师的预想，扰乱了教学程序，面对意外生成教师没有选择回避，而选择了“现场調适”。针对课堂中学生出现的“出轨”行为，教师灵活地重新设计和组织学生进行教学实践活动，使探索结论的教学过程变成了让学生验证结论的自主实践过程。真正体现了心中有案，行中无案，赋有形的预设于无形的动态的教学中。整个教学过程成为学生一种丰富的人生经验，从而使“节外生枝”成为“锦上添花”。
三、让思维在生成交流中碰撞
课堂是一种师生之间、生生之间的双向交流，教师要做一个发现者，随时注意学生所传达出来的信息，在围绕课程目标精心设计教案的基础上，依循学生认知的曲线，思维的张弛以及情感的波澜，以灵动的教育机智随时調整教学进程，让课堂教学充盈生命成长的人文韵味。上述案例中，教师通过让学生自己想办法来验证“分数除以分数”计算的规则是正确的，調动他们头脑中所有的旧知识一起运作，学生在选择和应用旧知的过程中，原有的认知结构进行了扩展，综合应用能力也必然得到了发展。学生在证明9/10÷3/10＝9/10×10/3时，用到了商不变规律、倒数、分数与除法的关系、图示法、倍比法解题等各种知识并将它们有效地组合起来为这个新内容服务，更难能可贵的是提出“具体情况具体分析”新观点，所有这些活动都映射出了他们的认知决不仅仅停留在这节课的知识点上。在这样的教学活动中，学生所获得的又岂是计算能力的发展呢？
（责任编辑：李雪虹）