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摘 要：本文给出了闭环系统的根轨迹包含两个给定分离点的充分必要条件。根据这一条件，通过选择两个多项式函数，可以构造相应的开环传递函数，使得闭环系统的根轨迹包含两个给定位置、阶次的分离点，并且相应的比例增益也是给定的。如果这两个多项式函数是既约的，那么所得到的开环传递函数也是既约的。此外，通过该方法构造的开环传递函数，其分母多项式的阶次等于分子多项式的阶次。可以证明：如果被控对象的传递函数的分母多项式的阶次不等于分子多项式的阶次，并且闭环系统的根轨迹包含若干个分离点，那么这些分离点相应的比例增益都是一样的。
关键字：根轨迹；分离点；闭环
中图分类号：TP13 文献标识码：A DOI：10.3969/j.issn.1003-6970.2013.08.022
本文著录格式：[1]董宇.包含两个给定分离点的根轨迹研究[J].软件，2013，34（8）： 70-73
0引言
根轨迹法是一种基本的控制系统分析和设计方法。根轨迹的性质可用于描述根轨迹在某些位置处的形状。通常使用相角条件对根轨迹的性质进行研究。基本的根轨迹性质已经在教科书中给出[1]。此外，文献[2]计算了根轨迹分离点处的出射角和入射角。文献[3]计算了当原点作为根轨迹的多重零点和多重极点时，相应的入射角和出射角。文献[4]计算了实数零点和实数极点处根轨迹的入射角和出射角。文献[5]计算了当传递函数为假有理分式时，根轨迹渐近线的倾斜角。文献[6]计算了多重起始点和终止点处根轨迹的出射角和入射角。而文献[7]使用矢量分析方法，对上述根轨迹性质进行了重新计算，得到了更为简洁的计算结果。在教科书对根轨迹分离点的分析中，通常是给出开环传递函数，然后计算分离点的位置。文献[8]给出了闭环系统的根轨迹包含一个给定的分离点的充分必要条件。本文在文献[8]的基础上，给出了闭环系统的根轨迹包含两个给定的分离点的充分必要条件。以此为基础，提出了一种构造开环传递函数的方法，可以使相应的闭环系统的根轨迹包含两个给定阶次和位置的分离点，并且这两个分离点的阶次和位置是相互独立的。
包含两个给定分离点的根轨迹
单位反馈控制系统的结构如图1所示。
在图1中，代表比例增益，并且。
被控对象的传递函数为：
我们还规定，和是既约的。
引理1[8]：闭环系统的根轨迹当时，包含重分离点的充分必要条件是：
其中为关于的实系数多项式，并且。
定理1：假设和为正常数，并且。闭环系统的根轨迹当时，包含重分离点以及当时，包含重分离点的充分必要条件为
其中
为关于的多项式，并且
为关于的多项式，并且
证明：必要性。
闭环系统的根轨迹当时，包含重分离点。那么由引理1可得
定理1同样成立。
容易证明下述推论。
推论1：和的定义同定理1。如果和是既约的，那么和也是既约的。
推论2：和的定义同定理1。那么
定理2：如果，闭环系统的根轨迹包含个分离点，相应的比例增益为，那么对任意的，有。
证明：如果存在这样的，使得
那么，由定理1，基于分离点、和相应的比例增益、，可以得到相应的和。而由推论2
和已知条件矛盾。
定理2还可以这样来表述：如果被控对象的传递函数的分母多项式的阶次不等于分子多项式的阶次，而且闭环系统的根轨迹包含若干分离点，那么这些分离点相应的比例增益都是一样的。
2 数值仿真
例1：构造被控对象的传递函数，使得当时，闭环系统的根轨迹在处具有3重分离点；当时，闭环系统的根轨迹在处具有2重分离点。
闭环系统的根轨迹如图2所示。
3 结束语
本文给出了闭环系统的根轨迹包含两个给定的分离点的充分必要条件。提出了一种构造开环传递函数的方法，可以使相应的闭环系统的根轨迹包含两个给定阶次、位置和比例增益的分离点，并且这两个分离点的阶次和位置是相互独立的。后续的研究工作是构造相应的开环传递函数，使闭环系统的根轨迹包含更多个给定的分离点。
参考文献
[1] 戴忠达.自动控制理论基础[M]. 北京： 清华大学出版社， 1991
Dai zhongdai. Theoretical basis of Automatic control. Beijing： Qinghua Unversity Press， 1991
[2] 耿熊. 根轨迹在多重分离点处的走向[J]. 自动化技术与应用， 1986， 5（3）： 24-27
Geng Xiong. The direction of root loci at multi-order breakway points[J]. Tecniques of Automation and Applications， 1986， 5（3）： 24-27
[3] 王忠勇.原点处多重零极点根轨迹的入出射角[J]. 郑州大学学报， 1995， 27（1）： 55-59
Wang zhongyong. Departure arrival angles for multi-order poles zeros of root locus at origin[J]. Journal f Zhengzhou Univerity， 1995， 27（1）： 55-59
[4] 李娟， 刘立山. 实数极、零点的根轨迹起始角和终止角的求法[J]. 青岛大学学报， 2001， 16（3）： 70-72
Li Juan， Liu Lishan. Root locus origin angle and termination angle extraction of real pole and zero[J]. Journal of Qingdao University， 2001， 16（3）： 70-72
[5] 李娟， 刘立山. 根轨迹绘制中的特殊问题探讨[J]. 工业仪表与自动化装置， 2003， 32（1）： 3-5
Li Juan， Liu Lishan. A study and discussion of special problems in protracting root loci[J]. Industrial Instrumentation and Automation， 2003， 32（1）： 3-5
[6] 刘振全. 多重极零点系统根轨迹初始角终止角求法[J]. 微计算机信息， 2007， 23（12）： 235-236
Liu Zhenquan. The method of evaluating original angle and departure angle of root locus which has multiple poles and zeros[J]. Control and Automation Publication Group， 2007， 23（12）： 235-236
[7] 董宇. 根轨迹分析的新方法[J]. 中国科技论文， 2012， 7（10）： 791-795
Dong Yu. A New Method on Root Locus Analysis[J]. China Sciencepaper， 2012， 7（10）： 791-795
[8] 董宇. 根轨迹的分离点研究[J]. 软件， 2012， 33（9）： 109-111
Dong Yu. A Study on Breakaway Points of Root Loci[J]. Software， 2012， 33（9）： 109-111
关键字：根轨迹；分离点；闭环
中图分类号：TP13 文献标识码：A DOI：10.3969/j.issn.1003-6970.2013.08.022
本文著录格式：[1]董宇.包含两个给定分离点的根轨迹研究[J].软件，2013，34（8）： 70-73
0引言
根轨迹法是一种基本的控制系统分析和设计方法。根轨迹的性质可用于描述根轨迹在某些位置处的形状。通常使用相角条件对根轨迹的性质进行研究。基本的根轨迹性质已经在教科书中给出[1]。此外，文献[2]计算了根轨迹分离点处的出射角和入射角。文献[3]计算了当原点作为根轨迹的多重零点和多重极点时，相应的入射角和出射角。文献[4]计算了实数零点和实数极点处根轨迹的入射角和出射角。文献[5]计算了当传递函数为假有理分式时，根轨迹渐近线的倾斜角。文献[6]计算了多重起始点和终止点处根轨迹的出射角和入射角。而文献[7]使用矢量分析方法，对上述根轨迹性质进行了重新计算，得到了更为简洁的计算结果。在教科书对根轨迹分离点的分析中，通常是给出开环传递函数，然后计算分离点的位置。文献[8]给出了闭环系统的根轨迹包含一个给定的分离点的充分必要条件。本文在文献[8]的基础上，给出了闭环系统的根轨迹包含两个给定的分离点的充分必要条件。以此为基础，提出了一种构造开环传递函数的方法，可以使相应的闭环系统的根轨迹包含两个给定阶次和位置的分离点，并且这两个分离点的阶次和位置是相互独立的。
包含两个给定分离点的根轨迹
单位反馈控制系统的结构如图1所示。
在图1中，代表比例增益，并且。
被控对象的传递函数为：
我们还规定，和是既约的。
引理1[8]：闭环系统的根轨迹当时，包含重分离点的充分必要条件是：
其中为关于的实系数多项式，并且。
定理1：假设和为正常数，并且。闭环系统的根轨迹当时，包含重分离点以及当时，包含重分离点的充分必要条件为
其中
为关于的多项式，并且
为关于的多项式，并且
证明：必要性。
闭环系统的根轨迹当时，包含重分离点。那么由引理1可得
定理1同样成立。
容易证明下述推论。
推论1：和的定义同定理1。如果和是既约的，那么和也是既约的。
推论2：和的定义同定理1。那么
定理2：如果，闭环系统的根轨迹包含个分离点，相应的比例增益为，那么对任意的，有。
证明：如果存在这样的，使得
那么，由定理1，基于分离点、和相应的比例增益、，可以得到相应的和。而由推论2
和已知条件矛盾。
定理2还可以这样来表述：如果被控对象的传递函数的分母多项式的阶次不等于分子多项式的阶次，而且闭环系统的根轨迹包含若干分离点，那么这些分离点相应的比例增益都是一样的。
2 数值仿真
例1：构造被控对象的传递函数，使得当时，闭环系统的根轨迹在处具有3重分离点；当时，闭环系统的根轨迹在处具有2重分离点。
闭环系统的根轨迹如图2所示。
3 结束语
本文给出了闭环系统的根轨迹包含两个给定的分离点的充分必要条件。提出了一种构造开环传递函数的方法，可以使相应的闭环系统的根轨迹包含两个给定阶次、位置和比例增益的分离点，并且这两个分离点的阶次和位置是相互独立的。后续的研究工作是构造相应的开环传递函数，使闭环系统的根轨迹包含更多个给定的分离点。
参考文献
[1] 戴忠达.自动控制理论基础[M]. 北京： 清华大学出版社， 1991
Dai zhongdai. Theoretical basis of Automatic control. Beijing： Qinghua Unversity Press， 1991
[2] 耿熊. 根轨迹在多重分离点处的走向[J]. 自动化技术与应用， 1986， 5（3）： 24-27
Geng Xiong. The direction of root loci at multi-order breakway points[J]. Tecniques of Automation and Applications， 1986， 5（3）： 24-27
[3] 王忠勇.原点处多重零极点根轨迹的入出射角[J]. 郑州大学学报， 1995， 27（1）： 55-59
Wang zhongyong. Departure arrival angles for multi-order poles zeros of root locus at origin[J]. Journal f Zhengzhou Univerity， 1995， 27（1）： 55-59
[4] 李娟， 刘立山. 实数极、零点的根轨迹起始角和终止角的求法[J]. 青岛大学学报， 2001， 16（3）： 70-72
Li Juan， Liu Lishan. Root locus origin angle and termination angle extraction of real pole and zero[J]. Journal of Qingdao University， 2001， 16（3）： 70-72
[5] 李娟， 刘立山. 根轨迹绘制中的特殊问题探讨[J]. 工业仪表与自动化装置， 2003， 32（1）： 3-5
Li Juan， Liu Lishan. A study and discussion of special problems in protracting root loci[J]. Industrial Instrumentation and Automation， 2003， 32（1）： 3-5
[6] 刘振全. 多重极零点系统根轨迹初始角终止角求法[J]. 微计算机信息， 2007， 23（12）： 235-236
Liu Zhenquan. The method of evaluating original angle and departure angle of root locus which has multiple poles and zeros[J]. Control and Automation Publication Group， 2007， 23（12）： 235-236
[7] 董宇. 根轨迹分析的新方法[J]. 中国科技论文， 2012， 7（10）： 791-795
Dong Yu. A New Method on Root Locus Analysis[J]. China Sciencepaper， 2012， 7（10）： 791-795
[8] 董宇. 根轨迹的分离点研究[J]. 软件， 2012， 33（9）： 109-111
Dong Yu. A Study on Breakaway Points of Root Loci[J]. Software， 2012， 33（9）： 109-111