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摘要：点差法是解决直线与圆锥曲线的中点弦问题的比较简单的办法，但是点差法默认直线与圆锥曲线是相交的，因此，在解出直线方程时需要检验直线与圆锥曲线是否相交，为避免这种情况，我们探讨中点与圆锥曲线具备何种位置关系，中点弦一定存在或不存在。
关键词：圆锥曲线 中点弦 存在
在研究直线与圆锥曲线的位置关系时，常常遇到中点弦的问题，即过平面内一点的直线与圆锥曲线相交得一弦，且此点是弦的中点，求直线的方程。解决这类问题常用点差法，即设弦两端点的坐标，分别代入圆锥曲线方程得两方程，将两方程作差整理可得弦所在直线的斜率与弦中点坐标的关系式，再把中点坐标代入得到直线的斜率，据点斜式可求出直线方程，但是由于点差法运用时默认了直线与圆锥曲线是相交的，因此在得到直线方程后，是需要进行检验直线是否确实与圆锥曲线相交的，但是有的题目不用检验也是正确的，而有的题目就必须检验，那么何时候需要检验，何时不需要检验？有没有规律可循？下边针对这一情况进行探讨。
为了探索何时需要检验的条件，我们来设置这样的问题，
问题：已知一圆锥曲线方程 ，平面内一点 ，当点 在何位置时，存在过点 的直线 与圆锥曲线交于 、 两点，且点 为 的中点？
思路分析： 为 的中点，设出点 和 的坐标，由点 和 的坐标表示出点 ，将 、 两点坐标代入圆锥曲线方程组成方程组，寻求点 位于何位置时方程组有解，即点 存在。
1．圆锥曲线为椭圆
由椭圆的图像可知，弦的中点一定在椭圆的内部，当点 在椭圆内时，是否一定存在以点 为中点的弦？下边进行如下研究：
解析：设椭圆的方程为 （ ），另设点 ， ， ，
点 是 的中点，
点 、 是椭圆上的点，则有
两式联立消去 可得 ①
，
则方程①是关于 的二次方程，此方程有解，所求的弦 就存在，即
即，
即 时方程①关于 有解，当 时， ， 、 两点重合，不符合题意。
综上所述：
点与椭圆的位置关系判定（如图1）：点 在椭圆 （ ）内部时满足 。点 在椭圆 （ ）内部时满
足 。
结论：
（1）当点 在椭圆内部时，即满足 ，一定存在以点 为中点的弦 ；
（2）当点 在椭圆外部时，即满足 ，一定不存在以点 为中点的弦 。
2．圆锥曲线为双曲线
解析：设双曲线的方程为 （ ），另设点 ， ， ，
将点 、 坐标代入双曲线方程并整理（过程如圆锥曲线为椭圆时）得方程：
②
若所求的直线 存在，则关于 的方程②有解，
当 ，即 时，方程无解。
当 时，方程若有解，则 ，即
整理可得
即或
或 时方程②关于 有解，
当 时， ， 、 两点重合，不符合题意舍去。
综上所述： 或
点与双曲线的位置关系判定（如图2）：
点 在双曲线 （ ）内部时满足 ；点 在双曲线 （ ）外部时满足 。且当点 位于I区域（两渐近线与双曲线外之间的部分）时，满足 ；当点 位于II区域（两渐近线之间包含y轴的部分）时，满足 。
结论：
（1）当点 在双曲线 （ ）内部或者在II区域时，即满足 或 ，一定存在以点 为中点的弦 ；（2）当点 在双曲线 （ ）外部且在I区域时，即满足 时，不存在以点 为中点的弦 。
当双曲线焦点在 轴上时可得相应的结论。
3．圆锥曲线为抛物线
解析： 设抛物线的方程为 （ ），将 ， 的坐标代入抛物线方程，得
将两式联立消去 得
即③
若所求直线 存在，则关于 二次方程③有解，则 ，即即
当 时， ， ， 两点重合，不符合题意舍去，
综上所述：
点和抛物线的位置关系判定（如图3）：点 位于抛物线 （ ）
内部时，满足 ；点 位于抛物线 （ ），内部时，满足 。
结论：
（1）当点 位于抛物线 （ ）内部时，即满足 ，一定存在以点 为中点的弦 ；（2）当点 位于抛物线 （ ）外部时，即满足 ，一定不存在以点 为中点的弦 。
对于抛物线的其它标准方程可得相应的结论。
最终结论：
通过以上三种圆锥曲线的分析讨论可以得到如下的结论：在应用点差法解决已知弦中点求直线方程的问题时，当点 位于圆锥曲线的内部时，一定有过点 的直线 ，使得直线 与圆锥曲线相交所得的弦的中点是点 ，不需要再检验；当点 位于椭圆和抛物线外部时，不存在这样的直线；当点 位于双曲线的外部时，可能存在这样的直线 ，也可能不存在这样的直线 ，需要进行检验。
关键词：圆锥曲线 中点弦 存在
在研究直线与圆锥曲线的位置关系时，常常遇到中点弦的问题，即过平面内一点的直线与圆锥曲线相交得一弦，且此点是弦的中点，求直线的方程。解决这类问题常用点差法，即设弦两端点的坐标，分别代入圆锥曲线方程得两方程，将两方程作差整理可得弦所在直线的斜率与弦中点坐标的关系式，再把中点坐标代入得到直线的斜率，据点斜式可求出直线方程，但是由于点差法运用时默认了直线与圆锥曲线是相交的，因此在得到直线方程后，是需要进行检验直线是否确实与圆锥曲线相交的，但是有的题目不用检验也是正确的，而有的题目就必须检验，那么何时候需要检验，何时不需要检验？有没有规律可循？下边针对这一情况进行探讨。
为了探索何时需要检验的条件，我们来设置这样的问题，
问题：已知一圆锥曲线方程 ，平面内一点 ，当点 在何位置时，存在过点 的直线 与圆锥曲线交于 、 两点，且点 为 的中点？
思路分析： 为 的中点，设出点 和 的坐标，由点 和 的坐标表示出点 ，将 、 两点坐标代入圆锥曲线方程组成方程组，寻求点 位于何位置时方程组有解，即点 存在。
1．圆锥曲线为椭圆
由椭圆的图像可知，弦的中点一定在椭圆的内部，当点 在椭圆内时，是否一定存在以点 为中点的弦？下边进行如下研究：
解析：设椭圆的方程为 （ ），另设点 ， ， ，
点 是 的中点，
点 、 是椭圆上的点，则有
两式联立消去 可得 ①
，
则方程①是关于 的二次方程，此方程有解，所求的弦 就存在，即
即，
即 时方程①关于 有解，当 时， ， 、 两点重合，不符合题意。
综上所述：
点与椭圆的位置关系判定（如图1）：点 在椭圆 （ ）内部时满足 。点 在椭圆 （ ）内部时满
足 。
结论：
（1）当点 在椭圆内部时，即满足 ，一定存在以点 为中点的弦 ；
（2）当点 在椭圆外部时，即满足 ，一定不存在以点 为中点的弦 。
2．圆锥曲线为双曲线
解析：设双曲线的方程为 （ ），另设点 ， ， ，
将点 、 坐标代入双曲线方程并整理（过程如圆锥曲线为椭圆时）得方程：
②
若所求的直线 存在，则关于 的方程②有解，
当 ，即 时，方程无解。
当 时，方程若有解，则 ，即
整理可得
即或
或 时方程②关于 有解，
当 时， ， 、 两点重合，不符合题意舍去。
综上所述： 或
点与双曲线的位置关系判定（如图2）：
点 在双曲线 （ ）内部时满足 ；点 在双曲线 （ ）外部时满足 。且当点 位于I区域（两渐近线与双曲线外之间的部分）时，满足 ；当点 位于II区域（两渐近线之间包含y轴的部分）时，满足 。
结论：
（1）当点 在双曲线 （ ）内部或者在II区域时，即满足 或 ，一定存在以点 为中点的弦 ；（2）当点 在双曲线 （ ）外部且在I区域时，即满足 时，不存在以点 为中点的弦 。
当双曲线焦点在 轴上时可得相应的结论。
3．圆锥曲线为抛物线
解析： 设抛物线的方程为 （ ），将 ， 的坐标代入抛物线方程，得
将两式联立消去 得
即③
若所求直线 存在，则关于 二次方程③有解，则 ，即即
当 时， ， ， 两点重合，不符合题意舍去，
综上所述：
点和抛物线的位置关系判定（如图3）：点 位于抛物线 （ ）
内部时，满足 ；点 位于抛物线 （ ），内部时，满足 。
结论：
（1）当点 位于抛物线 （ ）内部时，即满足 ，一定存在以点 为中点的弦 ；（2）当点 位于抛物线 （ ）外部时，即满足 ，一定不存在以点 为中点的弦 。
对于抛物线的其它标准方程可得相应的结论。
最终结论：
通过以上三种圆锥曲线的分析讨论可以得到如下的结论：在应用点差法解决已知弦中点求直线方程的问题时，当点 位于圆锥曲线的内部时，一定有过点 的直线 ，使得直线 与圆锥曲线相交所得的弦的中点是点 ，不需要再检验；当点 位于椭圆和抛物线外部时，不存在这样的直线；当点 位于双曲线的外部时，可能存在这样的直线 ，也可能不存在这样的直线 ，需要进行检验。