论文部分内容阅读
在幼儿的日常生活中充满了各种可以获得关于几何图形经验的机会。例如，幼儿常常会听到有关形状与空间的语言：“把那个圆盘子摆在桌子上”“到窗户旁边的方桌前面排好队”……数学包括数和形两个大的概念系统，其中形包括平面（二维）和立体（三维）两部分。幼儿早期的数学学习主要聚焦圆形、三角形、长方形和正方形等规则图形，以及日常生活中常见的盒子、积木、圆柱体、球等三维几何实体。
作为教师，我们需要深入了解二维和三维图形是如何定义的，以及它们之间的联系。只有这样，我们才能引导幼儿觉察到不同图形的特征和细微差别，关注到幼儿对图形的认识，从而引导幼儿积累丰富的经验。
核心经验要点一：对图形属性的分析和比较有助于对图形进行定义和分类
幼儿的几何图形认知包括平面图形和立体图形两部分。平面图形一般包括圆形、正方形、三角形、长方形、椭圆形、梯形，立体图形一般包括球体、圆柱体、长方体和正方体。
幼儿对于图形的认知，并不只是简单地知道图形名称，而是要运用多种感官形成对某一类图形的基本属性的认识。例如，三条边三个角组成的封闭图形都是三角形，并不只有等边三角形才是三角形。在幼儿熟练掌握不同图形的基本属性后，有关图形定义、分类的问题就会迎刃而解。
幼儿对于图形属性的认识需要大量的生活经验，并借助视觉和触觉的共同作用进行深入地感知。教师不需要将各种图形的概念完整无误地介绍给幼儿，而是要结合幼儿的亲身体验，用便于幼儿理解的数学语言解释这些图形的属性。教师要把图形的定义渗透在幼儿对图形的体验中。例如，很多幼儿会把那些底边在上、尖顶朝下的三角形称为“颠倒的三角形”。这就要求教师给幼儿展示不同类型的三角形以及摆放方位不同的三角形，并强调之所以称这个图形为三角形是因为它有3条边和3个顶点（或角），让他们理解边的数目、边的长度、角的大小都是图形的关键特征，也是不同图形有不同轮廓的根本原因，从而使他们对图形属性的认识不会受到图形摆放位置变换的影响。中班幼儿非常喜欢“神秘的口袋”这个游戏（将不同的图形卡片放入布袋中，幼儿通过触摸来猜测是什么图形，或者描述图形的特征，由同伴猜图形的名称）。这个游戏可以帮助幼儿将触觉和视觉联系起来感知图形的特征，而不受图形大小、颜色或旋转等因素的干扰。
到了大班，幼儿的注意力会集中在定义图形的属性上。与此同时，他们也会注意到三维图形有各种不同的表面，几何体能够通过不同的方式进行旋转和定向，而这些表面的形状和数量决定了几何体的属性。幼儿如果真正理解了图形的属性，就能避免错误理解三角形、长方形等。幼儿会发现尽管所有的长方形都有4条直边和4个直角，但如果摆放方位和边长不同，看起来会很不一样。有的长方形像一扇门，其中两条边比另外两条边要长得多，且较长的两条边是垂直摆放的；如果将这两条平行的长边分别放在“顶部”和“底部”，它仍然是长方形。菱形也有4条边，且4条边长度都相等，但只有其中一些菱形有4个直角，这就是长方形，而正方形同时符合菱形和长方形的定义。
掌握图形的属性后，幼儿会自然地对图形进行定义和分类，有时幼儿自己能够发现图形之间的关系。比如，他们可能把正方形和长方形统称为“方形”。当这种情况发生时，教师可以引导幼儿逐渐理解正方形是一种特殊的长方形，是4条边都相等的长方形。如果仅仅停留于肤浅地理解长方形，如长方形就像一扇门，幼儿就可能错过很多其他长方形，或者对长方形产生某种刻板印象。
幼儿对有关图形属性的认知，还需要理解立体（三维）图形的表面是平面（二维）图形。很多时候，教师和家长喜欢使用图片来帮助幼儿机械地记忆图形的名称。事实上，幼儿对图形最初的认识是源于他们所接触的各种物体，如积木、饼干等。教师可以引导幼儿关注日常生活中各种物体的形状，把那些形似三角形、正方形、长方形或圆形的物体归类，以增强幼儿对图形属性的感知。教师也可以和幼儿一起围绕以下话题展开丰富的讨论：为什么有的物体要做成特定的形状？例如，饮料瓶多数类似于圆柱体，碗是圆口的而不是方口的，等等；为什么不同的形状适用于不同的场合？如床大多是长方形的，等等。
幼儿在搭积木时比较喜欢垒高，如搭塔或搭高楼。搭塔的活动能很快将幼儿对图形的认知引入新的阶段。一般来说，幼儿最常用于搭塔的几何体是长方体和正方体，其次是圆柱体和圆锥体，半球体仅仅使用在高楼的顶端。在早期，他们经常会称这些几何体为方块（长方体）、斜坡（三棱柱）、塔或柱子（圆柱体）。幼儿通过手和眼来认识图形的属性，对于属性的描述有利于幼儿思考和解决问题。比如，幼儿会逐步理解长方体有6个平坦的表面，这就决定了它在搭建中用途最广泛，而圆柱体的圆形底面就限制了它的摆放方式，此外，三棱柱（有5个面，3个长方形，2个三角形）是搭建坡道很好的材料。
在日常教学中，很多教师热衷于让幼儿关注图形的名称，机械地重复这些名称，以为幼儿能使用图形名称就等于理解了相关的属性。然而，对于幼儿来说，更重要的是他们通过自己的眼和手真正理解图形的属性。教师可以让幼儿描画二维和三维图形，从而真正感受不同图形中线条的弯曲和笔直，引导他们逐渐理解在二维图形中，两条笔直的线条相交于一点，被称为角；那些带有曲线的图形，如圆形和椭圆形也相互连接，但没有角，这也是它们和多边形最本质的区别。最为重要的是，幼儿需要意识到他们在纸面上画出的或看到的平面图形与真实世界中的三维几何实体是紧密联系的。对立体图形和平面图形的操作和体验，有利于幼儿将二维图形和三维图形建立关联，为其日后更深入地学习有关图形面积或体积的知识打下坚实的基础。
核心经验要点二：几个图形可以合成一个新的图形（组合），一個图形可以分割成其他几个图形（分解）
幼儿对于图形的组合与分解的深入理解，要建立在熟练掌握“核心概念要点一”的基础上，即熟悉不同图形的属性。在理解图形的基本特征以及二维与三维图形关系的基础上，幼儿会进一步了解图形内部和图形之间的许多重要的相关性，这会为他们掌握“核心经验要点二”奠定良好的基础。图形的组合与分解，涉及幼儿对图形“面”的理解和空间想象，这对幼儿日后学习图形面积具有重要意义。例如，明白菱形（常常被幼儿称为“宝石”）可以由两个等边三角形组成，两个直角三角形可以组成一个长方形，这些都可以强化幼儿对图形属性的理解，同时也能为幼儿学习分数和面积等复杂的数学概念打下良好的基础。 幼儿最常接触的图形组合就是拼图。从最初简单、规则的形状拼图，到复杂的类似于七巧板的拼图，再到抽象的只提供外轮廓的图案拼图，体现了幼儿有关图形及空间认知能力的发展。
一般来说，小班（3～4岁）幼儿就能尝试填充轮廓拼图，能非正规地认识面积（如我需要更多的纸才能盖住这张桌子），能解决简单的实物拼图问题，能用几何图形拼图，知道一个图形可代表一个简单的实物或实物的某个部位，这就是对图形组合的初步感知。到了中班（4～5岁），幼儿能用几何图形构造平面模型，能用移动、翻转、旋转等方式构造图形，能用重叠法构图，能有意识地依据角度、边长等选择组合图形，并将组合后的图形看作是新的图形，能用大小相同的等边三角形构造菱形、梯形和六边形（如图1），能用拼板拼出组合图形（如图2）。大班（5～6岁）幼儿关于图形的组合能力越来越强，能用正方形不留空隙地覆盖在长方形上，并用图画准确表现覆盖情况，能有条理地对覆盖在长方形上的小正方形进行计数，如每次数一行或一列，能用正方形、直角三角形、长方形完成特定图形构造任务并做记录，能用七巧板拼搭图形（如图3），能把较小的图形组合成新的图形，并能通过试误用某些圖形来替代另一些图形，用不同的方式来创造新的图形。
所谓图形的分解，即把大的图形分成更小的图形，幼儿早期探究的多是简单的图形，有非常明显的便于分解的线索。图形分解涉及数学中的一个重要问题——等分。等分不仅可以帮助幼儿了解整体与部分的关系，也能为其将来学习除法和分数积累一定的感性经验。学前期只要求幼儿学习二等分和四等分（如图4）。让幼儿等分几何图形（或实物）时应注意选择具有轴对称性质的图形，例如等腰或等边三角形、正方形、长方形、等腰梯形、椭圆形、球体、长方体、正方体、圆柱体等都可以进行二等分，其中除等腰三角形、等腰梯形外还都可以进行四等分。对于几何图形的等分是否符合轴对称的性质，可以在具体的图例中让幼儿感知、判断。进入大班之前，幼儿很难意识到对称的概念。尽管如此，幼儿的绘画和积木拼搭或者其他的设计还是会呈现出对称性，因此在日常生活中引入对称的数学概念，有利于加深幼儿对规则图形之间复杂关系的理解。
核心经验要点三：图形变换包括移动、翻转或旋转变化等
模型或物体以某种方式改变而造成其特质随之改变，称之为“变形转换”。在日常生活中常常可观察到将几何物体移动、翻转或旋转，但仍保持形状、大小不变的“欧几里得转换”。例如，将一块长方体积木翻转，它还是同样形状、尺寸的长方体；拼图的每个图块无论怎样旋转，它的形状和尺寸总是不会改变的。所以，“欧几里得转换”会改变图形的位置或方向，却不改变其形状与大小。欧式几何是研究由点、线、面构成，无论如何转换（移动、翻转、旋转），其大小与形状守恒，具有严格形状的几何图形。因此，这里探讨的图形变换主要指“欧几里得转换”。
对幼儿来说，要辨识转换的图形，即经移动、翻转或旋转的几何图形，还是有一定困难的，因为幼儿与小学低年级的学生基本上处于几何思维的零层级，此阶段的主要特征是以图形的整体外观来辨识图形，不以图形的基本属性为界定图形的主要因素。例如，当正三角形的角往下指或正方形旋转45°时，幼儿就无法辨认。在感知图形变换的过程中，幼儿最先掌握的是简单的移动，其次是图形的简单旋转。比如，给出3个形状，其中一个形状顶部带有颜色标志，幼儿在移动之前能够准确地判断出如果旋转90°后会变成什么样子。最后，幼儿开始理解移动、旋转、翻转。大约5岁左右，幼儿开始尝试移动，但是在方向上和“度”的把握上可能不够精确。例如，知道一个形状需要经过旋转去匹配另一个形状，但在旋转中搞错方向。这时，在感知觉的支持下，幼儿开始建构心理图式，在简单的情境下进行移动、旋转、翻转，如将物体沿轴心垂直旋转或转动90°，但易受自身感觉的误导。
幼儿拼图或搭建积木时常常需要移动、翻转各种图形或积木。在建构区，可以给幼儿提供不同的积木材料，鼓励幼儿拼搭，如图5、6所示的幼儿积木拼搭作品，都体现了幼儿图形组合的能力。在搭建这些图形组合的过程中，幼儿会进行图形的旋转、组合，进一步感知图形的属性。
关于图形的变换，还涉及幼儿对视觉图像的理解和想象。大脑中的视觉图像有利于幼儿再现和表征图形、方向和位置等，能促进幼儿进一步感知和了解图形更深层次的特征，如对称（对称是生活中许多图形的一个基本特征，如镜像对称、辐射式对称）。幼儿对图形的移动、翻转、旋转的感知，会随着他们对图形属性的认识而逐渐产生，也时常会体现在图形组合与分解的活动中。教师可以让幼儿用图形拼搭或者绘画愉快地探索如何通过旋转、组合和改变大小来产生不同的效果。当然，让幼儿理解关于图形变换概念的细节还尚早，但是拼图、绘画以及玩拼板、七巧板和单元积木是基础，幼儿能够从中享受到图形变换的乐趣。
作为教师，我们需要深入了解二维和三维图形是如何定义的，以及它们之间的联系。只有这样，我们才能引导幼儿觉察到不同图形的特征和细微差别，关注到幼儿对图形的认识，从而引导幼儿积累丰富的经验。
核心经验要点一：对图形属性的分析和比较有助于对图形进行定义和分类
幼儿的几何图形认知包括平面图形和立体图形两部分。平面图形一般包括圆形、正方形、三角形、长方形、椭圆形、梯形，立体图形一般包括球体、圆柱体、长方体和正方体。
幼儿对于图形的认知，并不只是简单地知道图形名称，而是要运用多种感官形成对某一类图形的基本属性的认识。例如，三条边三个角组成的封闭图形都是三角形，并不只有等边三角形才是三角形。在幼儿熟练掌握不同图形的基本属性后，有关图形定义、分类的问题就会迎刃而解。
幼儿对于图形属性的认识需要大量的生活经验，并借助视觉和触觉的共同作用进行深入地感知。教师不需要将各种图形的概念完整无误地介绍给幼儿，而是要结合幼儿的亲身体验，用便于幼儿理解的数学语言解释这些图形的属性。教师要把图形的定义渗透在幼儿对图形的体验中。例如，很多幼儿会把那些底边在上、尖顶朝下的三角形称为“颠倒的三角形”。这就要求教师给幼儿展示不同类型的三角形以及摆放方位不同的三角形，并强调之所以称这个图形为三角形是因为它有3条边和3个顶点（或角），让他们理解边的数目、边的长度、角的大小都是图形的关键特征，也是不同图形有不同轮廓的根本原因，从而使他们对图形属性的认识不会受到图形摆放位置变换的影响。中班幼儿非常喜欢“神秘的口袋”这个游戏（将不同的图形卡片放入布袋中，幼儿通过触摸来猜测是什么图形，或者描述图形的特征，由同伴猜图形的名称）。这个游戏可以帮助幼儿将触觉和视觉联系起来感知图形的特征，而不受图形大小、颜色或旋转等因素的干扰。
到了大班，幼儿的注意力会集中在定义图形的属性上。与此同时，他们也会注意到三维图形有各种不同的表面，几何体能够通过不同的方式进行旋转和定向，而这些表面的形状和数量决定了几何体的属性。幼儿如果真正理解了图形的属性，就能避免错误理解三角形、长方形等。幼儿会发现尽管所有的长方形都有4条直边和4个直角，但如果摆放方位和边长不同，看起来会很不一样。有的长方形像一扇门，其中两条边比另外两条边要长得多，且较长的两条边是垂直摆放的；如果将这两条平行的长边分别放在“顶部”和“底部”，它仍然是长方形。菱形也有4条边，且4条边长度都相等，但只有其中一些菱形有4个直角，这就是长方形，而正方形同时符合菱形和长方形的定义。
掌握图形的属性后，幼儿会自然地对图形进行定义和分类，有时幼儿自己能够发现图形之间的关系。比如，他们可能把正方形和长方形统称为“方形”。当这种情况发生时，教师可以引导幼儿逐渐理解正方形是一种特殊的长方形，是4条边都相等的长方形。如果仅仅停留于肤浅地理解长方形，如长方形就像一扇门，幼儿就可能错过很多其他长方形，或者对长方形产生某种刻板印象。
幼儿对有关图形属性的认知，还需要理解立体（三维）图形的表面是平面（二维）图形。很多时候，教师和家长喜欢使用图片来帮助幼儿机械地记忆图形的名称。事实上，幼儿对图形最初的认识是源于他们所接触的各种物体，如积木、饼干等。教师可以引导幼儿关注日常生活中各种物体的形状，把那些形似三角形、正方形、长方形或圆形的物体归类，以增强幼儿对图形属性的感知。教师也可以和幼儿一起围绕以下话题展开丰富的讨论：为什么有的物体要做成特定的形状？例如，饮料瓶多数类似于圆柱体，碗是圆口的而不是方口的，等等；为什么不同的形状适用于不同的场合？如床大多是长方形的，等等。
幼儿在搭积木时比较喜欢垒高，如搭塔或搭高楼。搭塔的活动能很快将幼儿对图形的认知引入新的阶段。一般来说，幼儿最常用于搭塔的几何体是长方体和正方体，其次是圆柱体和圆锥体，半球体仅仅使用在高楼的顶端。在早期，他们经常会称这些几何体为方块（长方体）、斜坡（三棱柱）、塔或柱子（圆柱体）。幼儿通过手和眼来认识图形的属性，对于属性的描述有利于幼儿思考和解决问题。比如，幼儿会逐步理解长方体有6个平坦的表面，这就决定了它在搭建中用途最广泛，而圆柱体的圆形底面就限制了它的摆放方式，此外，三棱柱（有5个面，3个长方形，2个三角形）是搭建坡道很好的材料。
在日常教学中，很多教师热衷于让幼儿关注图形的名称，机械地重复这些名称，以为幼儿能使用图形名称就等于理解了相关的属性。然而，对于幼儿来说，更重要的是他们通过自己的眼和手真正理解图形的属性。教师可以让幼儿描画二维和三维图形，从而真正感受不同图形中线条的弯曲和笔直，引导他们逐渐理解在二维图形中，两条笔直的线条相交于一点，被称为角；那些带有曲线的图形，如圆形和椭圆形也相互连接，但没有角，这也是它们和多边形最本质的区别。最为重要的是，幼儿需要意识到他们在纸面上画出的或看到的平面图形与真实世界中的三维几何实体是紧密联系的。对立体图形和平面图形的操作和体验，有利于幼儿将二维图形和三维图形建立关联，为其日后更深入地学习有关图形面积或体积的知识打下坚实的基础。
核心经验要点二：几个图形可以合成一个新的图形（组合），一個图形可以分割成其他几个图形（分解）
幼儿对于图形的组合与分解的深入理解，要建立在熟练掌握“核心概念要点一”的基础上，即熟悉不同图形的属性。在理解图形的基本特征以及二维与三维图形关系的基础上，幼儿会进一步了解图形内部和图形之间的许多重要的相关性，这会为他们掌握“核心经验要点二”奠定良好的基础。图形的组合与分解，涉及幼儿对图形“面”的理解和空间想象，这对幼儿日后学习图形面积具有重要意义。例如，明白菱形（常常被幼儿称为“宝石”）可以由两个等边三角形组成，两个直角三角形可以组成一个长方形，这些都可以强化幼儿对图形属性的理解，同时也能为幼儿学习分数和面积等复杂的数学概念打下良好的基础。 幼儿最常接触的图形组合就是拼图。从最初简单、规则的形状拼图，到复杂的类似于七巧板的拼图，再到抽象的只提供外轮廓的图案拼图，体现了幼儿有关图形及空间认知能力的发展。
一般来说，小班（3～4岁）幼儿就能尝试填充轮廓拼图，能非正规地认识面积（如我需要更多的纸才能盖住这张桌子），能解决简单的实物拼图问题，能用几何图形拼图，知道一个图形可代表一个简单的实物或实物的某个部位，这就是对图形组合的初步感知。到了中班（4～5岁），幼儿能用几何图形构造平面模型，能用移动、翻转、旋转等方式构造图形，能用重叠法构图，能有意识地依据角度、边长等选择组合图形，并将组合后的图形看作是新的图形，能用大小相同的等边三角形构造菱形、梯形和六边形（如图1），能用拼板拼出组合图形（如图2）。大班（5～6岁）幼儿关于图形的组合能力越来越强，能用正方形不留空隙地覆盖在长方形上，并用图画准确表现覆盖情况，能有条理地对覆盖在长方形上的小正方形进行计数，如每次数一行或一列，能用正方形、直角三角形、长方形完成特定图形构造任务并做记录，能用七巧板拼搭图形（如图3），能把较小的图形组合成新的图形，并能通过试误用某些圖形来替代另一些图形，用不同的方式来创造新的图形。
所谓图形的分解，即把大的图形分成更小的图形，幼儿早期探究的多是简单的图形，有非常明显的便于分解的线索。图形分解涉及数学中的一个重要问题——等分。等分不仅可以帮助幼儿了解整体与部分的关系，也能为其将来学习除法和分数积累一定的感性经验。学前期只要求幼儿学习二等分和四等分（如图4）。让幼儿等分几何图形（或实物）时应注意选择具有轴对称性质的图形，例如等腰或等边三角形、正方形、长方形、等腰梯形、椭圆形、球体、长方体、正方体、圆柱体等都可以进行二等分，其中除等腰三角形、等腰梯形外还都可以进行四等分。对于几何图形的等分是否符合轴对称的性质，可以在具体的图例中让幼儿感知、判断。进入大班之前，幼儿很难意识到对称的概念。尽管如此，幼儿的绘画和积木拼搭或者其他的设计还是会呈现出对称性，因此在日常生活中引入对称的数学概念，有利于加深幼儿对规则图形之间复杂关系的理解。
核心经验要点三：图形变换包括移动、翻转或旋转变化等
模型或物体以某种方式改变而造成其特质随之改变，称之为“变形转换”。在日常生活中常常可观察到将几何物体移动、翻转或旋转，但仍保持形状、大小不变的“欧几里得转换”。例如，将一块长方体积木翻转，它还是同样形状、尺寸的长方体；拼图的每个图块无论怎样旋转，它的形状和尺寸总是不会改变的。所以，“欧几里得转换”会改变图形的位置或方向，却不改变其形状与大小。欧式几何是研究由点、线、面构成，无论如何转换（移动、翻转、旋转），其大小与形状守恒，具有严格形状的几何图形。因此，这里探讨的图形变换主要指“欧几里得转换”。
对幼儿来说，要辨识转换的图形，即经移动、翻转或旋转的几何图形，还是有一定困难的，因为幼儿与小学低年级的学生基本上处于几何思维的零层级，此阶段的主要特征是以图形的整体外观来辨识图形，不以图形的基本属性为界定图形的主要因素。例如，当正三角形的角往下指或正方形旋转45°时，幼儿就无法辨认。在感知图形变换的过程中，幼儿最先掌握的是简单的移动，其次是图形的简单旋转。比如，给出3个形状，其中一个形状顶部带有颜色标志，幼儿在移动之前能够准确地判断出如果旋转90°后会变成什么样子。最后，幼儿开始理解移动、旋转、翻转。大约5岁左右，幼儿开始尝试移动，但是在方向上和“度”的把握上可能不够精确。例如，知道一个形状需要经过旋转去匹配另一个形状，但在旋转中搞错方向。这时，在感知觉的支持下，幼儿开始建构心理图式，在简单的情境下进行移动、旋转、翻转，如将物体沿轴心垂直旋转或转动90°，但易受自身感觉的误导。
幼儿拼图或搭建积木时常常需要移动、翻转各种图形或积木。在建构区，可以给幼儿提供不同的积木材料，鼓励幼儿拼搭，如图5、6所示的幼儿积木拼搭作品，都体现了幼儿图形组合的能力。在搭建这些图形组合的过程中，幼儿会进行图形的旋转、组合，进一步感知图形的属性。
关于图形的变换，还涉及幼儿对视觉图像的理解和想象。大脑中的视觉图像有利于幼儿再现和表征图形、方向和位置等，能促进幼儿进一步感知和了解图形更深层次的特征，如对称（对称是生活中许多图形的一个基本特征，如镜像对称、辐射式对称）。幼儿对图形的移动、翻转、旋转的感知，会随着他们对图形属性的认识而逐渐产生，也时常会体现在图形组合与分解的活动中。教师可以让幼儿用图形拼搭或者绘画愉快地探索如何通过旋转、组合和改变大小来产生不同的效果。当然，让幼儿理解关于图形变换概念的细节还尚早，但是拼图、绘画以及玩拼板、七巧板和单元积木是基础，幼儿能够从中享受到图形变换的乐趣。