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先行小学数学应用题是建立在四则运算基础之上的。例如：“因数×因数=积”这一组数量关系的应用。在三四年级表现为“一个数的几倍是多少”的倍数关系应用题。而到了高年级，这个“倍数”关系发展到了分数关系，对应的关系为“一个数的几分之几是多少”。分数乘法与除法应用题，即是已知“另一个数”，也可以通过“积”与“因数”的关系用除法求出“一个数”来。由此可以看出，“分数乘法”是“分数除法”的基础，比较复杂的分数应用题则是前两种问题的综合和深化。
分数应用题的这种条件和问题之间的相依关系，为我们重组了教材、改革教学方法提供了可能性。这两年来我对分数应用题的教学作了改革，目的就是发挥分数应用题结构的整体功能，着眼于数量关系的训练，从而提高教学质量。这可以按照以下三个阶段来进行教学。
第一阶段：认识应用题结构的初步形成阶段。在这个阶段中，根据分数应用题的内在联系和学生智力发展的差别，突出最基本的概念和数量关系，将此作为中心，循序渐进，对学生进行各种训练。促使知识迁移，提高分析能力。
一、分数概念教学的训练
线段图介绍“1”的概念。用具体量表示整体“1”。例如把线段分成四份，取出其中的三份。具体的“把4米长平均分成4份，求其中的3份是多少米”理解成把“4米长”当作是整体“1”，它是四份的数，每份是1米，其中的三份是1×3=3米。为“求一个数的几分之几”的知识作铺垫，符合了学生解应用题的思路，同时为下阶段的分数乘法概念的学习奠定了基础。
二、分数乘法概念的训练
1．作图训练：先根据表示部分与总数关系的句子作图，再根据表示部分数与部分分数关系的句子作图，最后根据版式作图。例如：根据“今年比去年增产1/5作图，的步骤”；
（1）先画一条线段表示去年的总产量，这既是“1”的量
（2）把单位“1”的量平均分成五份
（3）再画一条线段与“去年”的线段进行对比，除了与去年 一样多的五份，还多出一份。
学生在画图的过程中，对“今年比去年增产1/5的意义就比较清楚。
2．语言叙述的训练
（1）让同学们说出线段图所表示的意义。在学生画图的过程中，理解“今年比去年增产1/5，即“去年产量×1/5=今年比去年增产的量。”要求学生能用不同形势叙述：去年产量×1/5的意义，也就是求去年产量的1/5是多少；也就是把去年产量的1/5是今年比去年增产的等。
（2）通过线段图的分析，找出与“整体1”的对应分率，并写出关系式，建立对应的概念。例如：能写出两个以上的关系式，并反复说出它们的意思。
桔子斤数×1/6=苹果比桔子多的斤数
桔子斤数×（1+1/6）=苹果斤数
桔子斤数×（1+1+1/6）=两种水果总斤数
（3）讨论算式与积或商的关系，例如比较72×8/9和72的大小，根据分数乘法和除法的意义作具体分析。
3.防止知识混淆，做好“转化”训练
学生在低年级学过的两个同类量的比较是一个一个的，而分数却是一份一份的比，涉及到了比的标准，把谁等分，每一份的大小就由谁决定，不能说“甲比乙多1/7，就是乙比甲少1/7。”但是由于“负迁移”的作用，学生往往在解题时会产生错误。因此教师要特别说明。
第二阶段：认识结构的应用和巩固提高
这个阶段的任务是按知识结构，从整体到部分，再到整体的认识，进行稍复杂分数应用题的教学和综合训练，让学生形成完整的知识结构并加以应用巩固。掌握解题思路，养成良好的习惯。
（一）打破教材的编排程序，按照“稍复杂的分数应用题”的整体结构，采用集中对比的教学方法进行教学。例如：让学生理解“去掉总数的3/5，并让学生编成一个数×n/n和一个数×（1-n/n）的两道应用题，再加以比较”，再由以上两道题改编成一个数÷x/x和一个数÷（1-x/x）的应用题。然后让同学们对比这四道应用题的异同点，指出它们的结构特征和解题思路。最后用线段表示。这样，新知识便纳入学生在第一阶段形成的认识结构中去，从而扩大知识结构的内容，而且避免了在教学中出现的盲目解题，养成分析的习惯。
（二）在整体结构中各个部分的教学
按照分数应用题的部分数和总数的关系和部分数和分数的关系两个类别，重新组织教材，展开教学
（三）对已经获得的知识结构进行训练，掌握分数应用题的变化规律和解开思路。例如每天利用课堂时间的前15分钟进行分数应用题的百题竞赛活动。对于较复杂的算式：`100÷（1+15）×1/5，既可以利用它让同学们编题。
第三阶段：用已经获得的知识去解决实际问题，发展学生运用知识，解决问题的能力，提高思维的灵活性。例如：“苹果和桔子的比是4：5，已知桔子200公斤，求苹果多少公斤？”学生可以列出以下15种算式：200×4/5 200÷11/4 200/5×1/4
200÷（5÷4） 200-200/5 200÷（1+4/5） 200÷5/9-200 200×（1÷11/4）
200×（1-1/5） 200÷5×（5-1） 200×（5÷4） 200×【（4+5）÷5】×4/9
200÷【5/（4+5）】×4/9 200÷（1÷4/5） 200×【4/（4+5）÷5/（4+5）】
事实说明学生的思维已经跳出解题的一般模式，思维的发散性得到培养。
百分数的应用题，只要把“分率”改成“百分率”就可以。把百分数应用题纳入分数应用题的认识结构，重组成一个较大的认知结构。这个新的知识结构又再迁移到比的应用。学生的知识越学越广，能力也会越来越高。他们能用已经获得的知识结构去解决一些实际问题，这充分的体现了思维的独创性和灵活性。事实说明，运用整体教学，学习过程轻松活泼，既能减轻学生过于沉重的负担，又能全面提高教学的质量。
（作者单位：辽阳市灯塔市烟台街道中心小学 辽宁灯塔）
分数应用题的这种条件和问题之间的相依关系，为我们重组了教材、改革教学方法提供了可能性。这两年来我对分数应用题的教学作了改革，目的就是发挥分数应用题结构的整体功能，着眼于数量关系的训练，从而提高教学质量。这可以按照以下三个阶段来进行教学。
第一阶段：认识应用题结构的初步形成阶段。在这个阶段中，根据分数应用题的内在联系和学生智力发展的差别，突出最基本的概念和数量关系，将此作为中心，循序渐进，对学生进行各种训练。促使知识迁移，提高分析能力。
一、分数概念教学的训练
线段图介绍“1”的概念。用具体量表示整体“1”。例如把线段分成四份，取出其中的三份。具体的“把4米长平均分成4份，求其中的3份是多少米”理解成把“4米长”当作是整体“1”，它是四份的数，每份是1米，其中的三份是1×3=3米。为“求一个数的几分之几”的知识作铺垫，符合了学生解应用题的思路，同时为下阶段的分数乘法概念的学习奠定了基础。
二、分数乘法概念的训练
1．作图训练：先根据表示部分与总数关系的句子作图，再根据表示部分数与部分分数关系的句子作图，最后根据版式作图。例如：根据“今年比去年增产1/5作图，的步骤”；
（1）先画一条线段表示去年的总产量，这既是“1”的量
（2）把单位“1”的量平均分成五份
（3）再画一条线段与“去年”的线段进行对比，除了与去年 一样多的五份，还多出一份。
学生在画图的过程中，对“今年比去年增产1/5的意义就比较清楚。
2．语言叙述的训练
（1）让同学们说出线段图所表示的意义。在学生画图的过程中，理解“今年比去年增产1/5，即“去年产量×1/5=今年比去年增产的量。”要求学生能用不同形势叙述：去年产量×1/5的意义，也就是求去年产量的1/5是多少；也就是把去年产量的1/5是今年比去年增产的等。
（2）通过线段图的分析，找出与“整体1”的对应分率，并写出关系式，建立对应的概念。例如：能写出两个以上的关系式，并反复说出它们的意思。
桔子斤数×1/6=苹果比桔子多的斤数
桔子斤数×（1+1/6）=苹果斤数
桔子斤数×（1+1+1/6）=两种水果总斤数
（3）讨论算式与积或商的关系，例如比较72×8/9和72的大小，根据分数乘法和除法的意义作具体分析。
3.防止知识混淆，做好“转化”训练
学生在低年级学过的两个同类量的比较是一个一个的，而分数却是一份一份的比，涉及到了比的标准，把谁等分，每一份的大小就由谁决定，不能说“甲比乙多1/7，就是乙比甲少1/7。”但是由于“负迁移”的作用，学生往往在解题时会产生错误。因此教师要特别说明。
第二阶段：认识结构的应用和巩固提高
这个阶段的任务是按知识结构，从整体到部分，再到整体的认识，进行稍复杂分数应用题的教学和综合训练，让学生形成完整的知识结构并加以应用巩固。掌握解题思路，养成良好的习惯。
（一）打破教材的编排程序，按照“稍复杂的分数应用题”的整体结构，采用集中对比的教学方法进行教学。例如：让学生理解“去掉总数的3/5，并让学生编成一个数×n/n和一个数×（1-n/n）的两道应用题，再加以比较”，再由以上两道题改编成一个数÷x/x和一个数÷（1-x/x）的应用题。然后让同学们对比这四道应用题的异同点，指出它们的结构特征和解题思路。最后用线段表示。这样，新知识便纳入学生在第一阶段形成的认识结构中去，从而扩大知识结构的内容，而且避免了在教学中出现的盲目解题，养成分析的习惯。
（二）在整体结构中各个部分的教学
按照分数应用题的部分数和总数的关系和部分数和分数的关系两个类别，重新组织教材，展开教学
（三）对已经获得的知识结构进行训练，掌握分数应用题的变化规律和解开思路。例如每天利用课堂时间的前15分钟进行分数应用题的百题竞赛活动。对于较复杂的算式：`100÷（1+15）×1/5，既可以利用它让同学们编题。
第三阶段：用已经获得的知识去解决实际问题，发展学生运用知识，解决问题的能力，提高思维的灵活性。例如：“苹果和桔子的比是4：5，已知桔子200公斤，求苹果多少公斤？”学生可以列出以下15种算式：200×4/5 200÷11/4 200/5×1/4
200÷（5÷4） 200-200/5 200÷（1+4/5） 200÷5/9-200 200×（1÷11/4）
200×（1-1/5） 200÷5×（5-1） 200×（5÷4） 200×【（4+5）÷5】×4/9
200÷【5/（4+5）】×4/9 200÷（1÷4/5） 200×【4/（4+5）÷5/（4+5）】
事实说明学生的思维已经跳出解题的一般模式，思维的发散性得到培养。
百分数的应用题，只要把“分率”改成“百分率”就可以。把百分数应用题纳入分数应用题的认识结构，重组成一个较大的认知结构。这个新的知识结构又再迁移到比的应用。学生的知识越学越广，能力也会越来越高。他们能用已经获得的知识结构去解决一些实际问题，这充分的体现了思维的独创性和灵活性。事实说明，运用整体教学，学习过程轻松活泼，既能减轻学生过于沉重的负担，又能全面提高教学的质量。
（作者单位：辽阳市灯塔市烟台街道中心小学 辽宁灯塔）