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什么是算两次的思想方法呢？波利亚：“为了得到一个方程，我们必须将同一个量以两种不同的方法表示出来”.对同一数学对象，当用两种不同的方式将整体分解为部分时，则按两种不同方式所求得的总和（无论形式如何）应是相等，这叫计算两次原理.计算两次方法的典型做法是选择一个适当的量，从两个方面去考虑它，其基本格式为：“一方面，另一方面，综合可得”.“源于教材，高于教材”是高考数学命题不变的主题，高考对重要的数学思想方法的考查无一例外地都源于教材.但是，在教学中，“算两次”这一重要的数学思想方法并没有引起广大同行足够的重视.故下面我从三个方面：教材公式性质推导，习题，例题，历年高考试题方面谈谈“算两次”供同行参考，以便让同行在平时教学时引起重视.
1.教材中公式，性质体现到的“算两次”思想
例（人教版必修5）等差数列前n项和公式推导中倒序相加法，等比数列前n项和公式推导中的错位相减求和法都很好体现了“算两次”的思想.倒序相加就像数班级人数一样，从前排和从后排数总数是一样的.
教材中还有很多公式，性质，定理都体现了“算两次”的思想，在这里不一一列举.
2. 教材中例题，习题体现的“算两次”思想
（人教版必修4，习题2.4B组3题）
证明：对任意的a，b，c，d∈R，恒有不等式(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2)
证明：设m=（a，b）n=（c，d）
一方面m•n=ac+bdm•n=ac+bd|m| |n|cosθ=a2+b2•c2+d2•cosθ
另一方面|m•n|=|m||n|cosθ≤|m||n|即（m•n）2≤|m|2|n|2
即（ac+bd）2≤(a2+b2)(c2+d2)
（人教版必修2第二章，复习参考题B组1题）
如图，边长为2的正方形ABCD中，（1）点E是AB的中点，点F是BC的中点，将△AED，△DCF分别沿DE，DF折起，使A、C两点重合于A′，求证：（1） A′D⊥EF
（2） 当BE=BF=14BC时，求A′到EFD的面积.
分析：（1） 略
（2）由题知BE=BF=14BC=12∠EA′F=∠FA′D=∠DA′E=90°
一方面VF-A′ED=13S△A′ED•FA′=13×12×2×32×12=14
另一方面，设A′到面EFD的距离为d
VA′-EDF=13S△EFD•d=13×12×EF×h×d=13×12×22×3114×d=32224d
∴ 14=32224dd=2211
本题（2）问若改成E，F分别是AB、BC上异于A、B、C的点，四边形ABCD为矩形，S△A′EF=S1，S△A′FD=S2，S△A′ED=S3，求A′到EFD的距离.（请读者思考，答案为2•S1S2S3S21+S22+S23）
人教版必修5第一章习题1.2B组2题，也很好的体现了“算两次”的思想，教材例题习题中还有很多例子.请读者整理，以备平时教学之用.
3. 历年高考试题中体现的“算两次”的思想
（2010全国Ⅱ，8题）△ABC，点D在AB上，CD平分∠ACB，若CB=a，CA=b，|a|=1，|b|=2，则CD等于()
A. 13a+23bB. 23a+13b
C. 35a+45bD.45a+35b
分析：一方面S△ACD=12AC•CD•sin∠ACDS△ACB=12CB•CD•sin∠DCB
另一方面， h为高，S△ACD=12AD×hS△CDB=12BD×h
综合得12AC×BD•sin∠ACD12CB×CD•sin∠DCB=12AD×h12BD×h
即ACCB=ADBD=|b||a|=2.
∴ CD=CA+AD=b+23AB=b+23（CB-CA）=13b+23a故选B.
（2010全国Ⅱ，16题）已知球O的半径为4，圆M与圆N为该球的两个小圆，AB为圆M与圆N的公共弦，AB=4，若OM=ON=3，则两圆圆心的距离MN=.
分析：如图，设圆M与圆N的半径分别为r1，r2，由题知r1=r2=42-32=3
设AB的中点为C，∠MON=α，
得MC=NC=r2-12AB2=3，
在平面四边形OMNC中，一方面，MN2=OM2+ON2-2OM•ON•cosα
另一方面，MN2=CM2+CN2+2CM•CN•cosα
综合得32+32-2×3×3×cosα=（3）2+（3）2+2×3×3×cosα
即cos=12
∴ MN=9+9-2×3×3×cosα=2
（2010全国Ⅰ，9题）已知F1，F2为双曲线C∶x2-y2=1的左右焦点，点P在C上，∠F1PF2=60°，则P到x轴的距离为（）
A. 32B. 62
C.3D. 6
分析：由双曲线的焦点三角形面积公式得S△F1PF2=b2cotθ2=1×cot30°=3，设点P到x轴的距离为h，则S△F1PF2=12|F1F2|×h=12×22×h=3∴h=62故选B.
∴ 满足条件的c≤92综合得Cmax=92.
2010年高考试题，还有很多都体现了“算两次”的思想方法，如2010安徽卷19题，2010湖北卷14题，2010江苏卷16题，2010江西卷20题，2010年全国卷Ⅱ19题等.由于篇幅有限，在此不一一列举.
参考文献
［1］苏教版高中数学教材编写组，普通高中课程标准实验教科书.数学.必修5
［2］人民教育出版社.课程教材研究所.中学数学课程教材研究开发中心.普通高中课程标准实验教科书.数学.必修1—5.选修2
［3］钱军先.一种重要的数学思想方法的教学思考.考试-高考数学版.2011—5.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
1.教材中公式，性质体现到的“算两次”思想
例（人教版必修5）等差数列前n项和公式推导中倒序相加法，等比数列前n项和公式推导中的错位相减求和法都很好体现了“算两次”的思想.倒序相加就像数班级人数一样，从前排和从后排数总数是一样的.
教材中还有很多公式，性质，定理都体现了“算两次”的思想，在这里不一一列举.
2. 教材中例题，习题体现的“算两次”思想
（人教版必修4，习题2.4B组3题）
证明：对任意的a，b，c，d∈R，恒有不等式(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2)
证明：设m=（a，b）n=（c，d）
一方面m•n=ac+bdm•n=ac+bd|m| |n|cosθ=a2+b2•c2+d2•cosθ
另一方面|m•n|=|m||n|cosθ≤|m||n|即（m•n）2≤|m|2|n|2
即（ac+bd）2≤(a2+b2)(c2+d2)
（人教版必修2第二章，复习参考题B组1题）
如图，边长为2的正方形ABCD中，（1）点E是AB的中点，点F是BC的中点，将△AED，△DCF分别沿DE，DF折起，使A、C两点重合于A′，求证：（1） A′D⊥EF
（2） 当BE=BF=14BC时，求A′到EFD的面积.
分析：（1） 略
（2）由题知BE=BF=14BC=12∠EA′F=∠FA′D=∠DA′E=90°
一方面VF-A′ED=13S△A′ED•FA′=13×12×2×32×12=14
另一方面，设A′到面EFD的距离为d
VA′-EDF=13S△EFD•d=13×12×EF×h×d=13×12×22×3114×d=32224d
∴ 14=32224dd=2211
本题（2）问若改成E，F分别是AB、BC上异于A、B、C的点，四边形ABCD为矩形，S△A′EF=S1，S△A′FD=S2，S△A′ED=S3，求A′到EFD的距离.（请读者思考，答案为2•S1S2S3S21+S22+S23）
人教版必修5第一章习题1.2B组2题，也很好的体现了“算两次”的思想，教材例题习题中还有很多例子.请读者整理，以备平时教学之用.
3. 历年高考试题中体现的“算两次”的思想
（2010全国Ⅱ，8题）△ABC，点D在AB上，CD平分∠ACB，若CB=a，CA=b，|a|=1，|b|=2，则CD等于()
A. 13a+23bB. 23a+13b
C. 35a+45bD.45a+35b
分析：一方面S△ACD=12AC•CD•sin∠ACDS△ACB=12CB•CD•sin∠DCB
另一方面， h为高，S△ACD=12AD×hS△CDB=12BD×h
综合得12AC×BD•sin∠ACD12CB×CD•sin∠DCB=12AD×h12BD×h
即ACCB=ADBD=|b||a|=2.
∴ CD=CA+AD=b+23AB=b+23（CB-CA）=13b+23a故选B.
（2010全国Ⅱ，16题）已知球O的半径为4，圆M与圆N为该球的两个小圆，AB为圆M与圆N的公共弦，AB=4，若OM=ON=3，则两圆圆心的距离MN=.
分析：如图，设圆M与圆N的半径分别为r1，r2，由题知r1=r2=42-32=3
设AB的中点为C，∠MON=α，
得MC=NC=r2-12AB2=3，
在平面四边形OMNC中，一方面，MN2=OM2+ON2-2OM•ON•cosα
另一方面，MN2=CM2+CN2+2CM•CN•cosα
综合得32+32-2×3×3×cosα=（3）2+（3）2+2×3×3×cosα
即cos=12
∴ MN=9+9-2×3×3×cosα=2
（2010全国Ⅰ，9题）已知F1，F2为双曲线C∶x2-y2=1的左右焦点，点P在C上，∠F1PF2=60°，则P到x轴的距离为（）
A. 32B. 62
C.3D. 6
分析：由双曲线的焦点三角形面积公式得S△F1PF2=b2cotθ2=1×cot30°=3，设点P到x轴的距离为h，则S△F1PF2=12|F1F2|×h=12×22×h=3∴h=62故选B.
∴ 满足条件的c≤92综合得Cmax=92.
2010年高考试题，还有很多都体现了“算两次”的思想方法，如2010安徽卷19题，2010湖北卷14题，2010江苏卷16题，2010江西卷20题，2010年全国卷Ⅱ19题等.由于篇幅有限，在此不一一列举.
参考文献
［1］苏教版高中数学教材编写组，普通高中课程标准实验教科书.数学.必修5
［2］人民教育出版社.课程教材研究所.中学数学课程教材研究开发中心.普通高中课程标准实验教科书.数学.必修1—5.选修2
［3］钱军先.一种重要的数学思想方法的教学思考.考试-高考数学版.2011—5.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文