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【摘要】对学生中存在的未定式极限的错误理解与疑问及易与这类极限混淆的一些极限作了详细的分析和比较，以期与从事独立学院数学教学的同行作教学交流，并希望对学生在这一问题的理解上有一定帮助.
【关键词】未定式极限；教学；理解；探讨
【基金项目】
Symbol`@@ 云南省教育厅科学研究基金项目（2015Y507）
一、引 言
独立学院是高等教育大众化的重要承担者，高等教育的大众化使得独立学院学生整体水平有所下移，数学基础参差不齐，有些问题教师看来无需解释但学生理解有难度；有些问题教师刚解释过，转眼学生就会忘记，因此，一些重要的知识即使简单，也应反复强调.已发表的关于未定式极限的论文一般主要关注这类极限的解法，并没有关注学生在理解这类极限时出现的问题.本文对独立学院学生中存在的对这类极限的错误理解与疑问及易与这类极限混淆的一些极限作了详细的分析和比较.
二、未定式极限教学分析
1∞型极限教学分析
（1）1∞型极限是指limf（x）g（x），（limf（x）=1，limg（x）=∞），1∞型极限结果不一定为1，重要极限limx→∞1 1xx=e即是一例.这与中学所学的1的任何次方都是1并不矛盾，因为1∞中的“1”一般是指极限为1，而不是常数为1.
（2）limx→∞1x为特殊的1∞型，该极限总为1，limx→∞1x=limx→∞1=1.该极限也可由极限的定义给出一个简单而又严谨的证明如下：
证明：取X=N，易知不存在实数x0>N，使得1x0-1≥ε，即ε>0，X，当x≥X时，1x-1<ε，故limx→∞1x=1.
（3）极限limf（x）g（x），（limf（x）=1，limg（x）=A）（其中A为常数，下同）不是1∞型，该极限总为1.
解 limf（x）g（x）=elimg（x）lnf（x）=elimg（x）limlnf（x）=elimg（x）lnlimf（x）=eAln1=e0=1.
（4）1∞型极限常见的错误解法有两种.
错解一：limf（x）g（x）=lim1g（x）=1.
错解二：limf（x）g（x）=elimg（x）lnf（x）=elimg（x）limlnf（x）=elimg（x）·ln1=e0=1.
错解一，错误在于因为limg（x）=∞，求极限时不能先求局部的极限.错解二，错误在于因为limg（x）=∞，不能使用极限的乘法运算法则，所以第二个等号不成立.
2.00型极限教学分析
（1）分母为0的式子无意义，但00型极限是指limf（x）g（x），（limf（x）=0，limg（x）=0）即分子、分母极限为0，而不是分母等于0，因此，该式是有意义的.
（2）limx→00x为特殊的00型，该极限总为0，limx→00x=limx→00=0.
（3）00型极限与limx→0Ax（A≠0），及limf（x）g（x），（limf（x）=A，limg（x）=B≠0）不同.一方面，limx→0Ax（A≠0）=∞，limf（x）g（x）=limf（x）limg（x）=AB，结果是确定的，而00型的结果是不确定的；另一方面，前两个极限因为不满足分母极限不为0的条件，所以不能使用除法运算法则，而最后一个极限是可以用该法则的.
3.∞∞型、∞-∞型极限教学分析
（1）∞∞型极限指limf（x）g（x），（limf（x）=∞，limg（x）=∞），该极限不满足极限除法运算法则的使用条件，不能使用这一法则.
（2）∞-∞型极限指lim[f（x）-g（x）]，（limf（x）=∞，limg（x）=∞），它不同于limf（x）-g（x），（limf（x）=A，limg（x）=A）.后者根据减法的运算法则计算得0，而前者不满足减法运算法则的使用条件，不能使用这一法则.
（3）无穷存在量级差别，同记为∞，并不一定相同，认为∞∞型极限结果总为1、∞-∞型极限结果总为0都是错误的.
4.0·∞型极限教学分析
（1）0·∞型极限指limf（x）·g（x），（limf（x）=0，limg（x）=∞），该极限不一定为0，如：limx→1（1-x2）tanπ2x=limx→11-x2cot（π2x）=limx→1-2x-π2sin2π2x=4π.
（2）limx→∞0·x为特殊的0·∞型，该极限总为0，limx→∞0·x=limx→∞0=0.
（3）0·∞型极限计算上不同于limf（x）·g（x），（limf（x）=0，limg（x）=A），后者使用乘法运算法则结果为0，而前者不满足乘法运算法则的使用条件，不能使用该法则.
5.00型、∞0型极限教学分析
（1）在中学时，一般认为00无意义，因此，教学时应强调00型极限是指：limf（x）g（x），（limf（x）=0，limg（x）=0），f（x），g（x）极限为0，而不是f（x）=g（x）=0，
因此00型极限是有意义的.
（2）任何非零的数的零次方为1，不细心的同学会认为00，∞0都等于1，因此，教学时应强调00型、∞0型极限结果不一定为1，可举例，如[1-2]：limx→0 x1ln（2x）（00型），limx→0 （cotx）1lnx（∞0型） .
解 limx→0 x1ln（2x）=elimx→0 lnxln2x=elimx→0 xx=e.
limx→0 （cotx）1lnx=elimx→0 lncotxlnx=elimx→0 -xcsc2xcotx=elimx→0 -xsinxcosx=e-1.
6.未定式极限类型的教学分析
未定式极限除了1∞型外，其他是由极限为0与极限为无穷的式子通过加、减、乘、除、幂五种运算构成的.极限为0与极限为无穷的式子通过加、减、乘、除、幂五种运算构成的的有0 0，0-0，0·0，00，00，∞ ∞，∞-∞，∞·∞，∞∞，∞∞，0 ∞，0-∞，0·∞，0∞，∞0，∞0，0∞共17种.其中，0 0，0-0，0·0，∞·∞，0 ∞，0-∞，0∞，∞08种易知结果确定，不属于未定式；1∞，00，∞∞，∞-∞（∞ ∞），0·∞，00，∞0 8种上文已分析，属于未定式.还有∞∞，0∞两种属于未定式极限吗？可作为一个简单的思考题留给学生们思考.
三、结 语
未定式极限对于刚步入大学的学生来说比较新奇，数学基础差，理解能力不强的学生会将这类极限与他们中学已有的认知混淆，形成矛盾.教师应站在学生的角度强调对这一问题的理解，详细分析、解释，并举一反三、触类旁通，激发学生的思维，使其思考，进而逐渐形成灵活、严谨的思维方式，而不是让学生照搬方法，只会做题，知其然不知其所以然.学生也应具体问题具体分析，不能盲目生搬乱套.
【参考文献】
[1]龚谊诚，赵喜林.对教材中00型极限内容的建议.高等数学研究[J].2010（13）：9-10.
[2]王华.1∞、00及∞0型极限中的等价无穷小（大）代换.时代教育[J].2009（8）：79-80.
【关键词】未定式极限；教学；理解；探讨
【基金项目】
Symbol`@@ 云南省教育厅科学研究基金项目（2015Y507）
一、引 言
独立学院是高等教育大众化的重要承担者，高等教育的大众化使得独立学院学生整体水平有所下移，数学基础参差不齐，有些问题教师看来无需解释但学生理解有难度；有些问题教师刚解释过，转眼学生就会忘记，因此，一些重要的知识即使简单，也应反复强调.已发表的关于未定式极限的论文一般主要关注这类极限的解法，并没有关注学生在理解这类极限时出现的问题.本文对独立学院学生中存在的对这类极限的错误理解与疑问及易与这类极限混淆的一些极限作了详细的分析和比较.
二、未定式极限教学分析
1∞型极限教学分析
（1）1∞型极限是指limf（x）g（x），（limf（x）=1，limg（x）=∞），1∞型极限结果不一定为1，重要极限limx→∞1 1xx=e即是一例.这与中学所学的1的任何次方都是1并不矛盾，因为1∞中的“1”一般是指极限为1，而不是常数为1.
（2）limx→∞1x为特殊的1∞型，该极限总为1，limx→∞1x=limx→∞1=1.该极限也可由极限的定义给出一个简单而又严谨的证明如下：
证明：取X=N，易知不存在实数x0>N，使得1x0-1≥ε，即ε>0，X，当x≥X时，1x-1<ε，故limx→∞1x=1.
（3）极限limf（x）g（x），（limf（x）=1，limg（x）=A）（其中A为常数，下同）不是1∞型，该极限总为1.
解 limf（x）g（x）=elimg（x）lnf（x）=elimg（x）limlnf（x）=elimg（x）lnlimf（x）=eAln1=e0=1.
（4）1∞型极限常见的错误解法有两种.
错解一：limf（x）g（x）=lim1g（x）=1.
错解二：limf（x）g（x）=elimg（x）lnf（x）=elimg（x）limlnf（x）=elimg（x）·ln1=e0=1.
错解一，错误在于因为limg（x）=∞，求极限时不能先求局部的极限.错解二，错误在于因为limg（x）=∞，不能使用极限的乘法运算法则，所以第二个等号不成立.
2.00型极限教学分析
（1）分母为0的式子无意义，但00型极限是指limf（x）g（x），（limf（x）=0，limg（x）=0）即分子、分母极限为0，而不是分母等于0，因此，该式是有意义的.
（2）limx→00x为特殊的00型，该极限总为0，limx→00x=limx→00=0.
（3）00型极限与limx→0Ax（A≠0），及limf（x）g（x），（limf（x）=A，limg（x）=B≠0）不同.一方面，limx→0Ax（A≠0）=∞，limf（x）g（x）=limf（x）limg（x）=AB，结果是确定的，而00型的结果是不确定的；另一方面，前两个极限因为不满足分母极限不为0的条件，所以不能使用除法运算法则，而最后一个极限是可以用该法则的.
3.∞∞型、∞-∞型极限教学分析
（1）∞∞型极限指limf（x）g（x），（limf（x）=∞，limg（x）=∞），该极限不满足极限除法运算法则的使用条件，不能使用这一法则.
（2）∞-∞型极限指lim[f（x）-g（x）]，（limf（x）=∞，limg（x）=∞），它不同于limf（x）-g（x），（limf（x）=A，limg（x）=A）.后者根据减法的运算法则计算得0，而前者不满足减法运算法则的使用条件，不能使用这一法则.
（3）无穷存在量级差别，同记为∞，并不一定相同，认为∞∞型极限结果总为1、∞-∞型极限结果总为0都是错误的.
4.0·∞型极限教学分析
（1）0·∞型极限指limf（x）·g（x），（limf（x）=0，limg（x）=∞），该极限不一定为0，如：limx→1（1-x2）tanπ2x=limx→11-x2cot（π2x）=limx→1-2x-π2sin2π2x=4π.
（2）limx→∞0·x为特殊的0·∞型，该极限总为0，limx→∞0·x=limx→∞0=0.
（3）0·∞型极限计算上不同于limf（x）·g（x），（limf（x）=0，limg（x）=A），后者使用乘法运算法则结果为0，而前者不满足乘法运算法则的使用条件，不能使用该法则.
5.00型、∞0型极限教学分析
（1）在中学时，一般认为00无意义，因此，教学时应强调00型极限是指：limf（x）g（x），（limf（x）=0，limg（x）=0），f（x），g（x）极限为0，而不是f（x）=g（x）=0，
因此00型极限是有意义的.
（2）任何非零的数的零次方为1，不细心的同学会认为00，∞0都等于1，因此，教学时应强调00型、∞0型极限结果不一定为1，可举例，如[1-2]：limx→0 x1ln（2x）（00型），limx→0 （cotx）1lnx（∞0型） .
解 limx→0 x1ln（2x）=elimx→0 lnxln2x=elimx→0 xx=e.
limx→0 （cotx）1lnx=elimx→0 lncotxlnx=elimx→0 -xcsc2xcotx=elimx→0 -xsinxcosx=e-1.
6.未定式极限类型的教学分析
未定式极限除了1∞型外，其他是由极限为0与极限为无穷的式子通过加、减、乘、除、幂五种运算构成的.极限为0与极限为无穷的式子通过加、减、乘、除、幂五种运算构成的的有0 0，0-0，0·0，00，00，∞ ∞，∞-∞，∞·∞，∞∞，∞∞，0 ∞，0-∞，0·∞，0∞，∞0，∞0，0∞共17种.其中，0 0，0-0，0·0，∞·∞，0 ∞，0-∞，0∞，∞08种易知结果确定，不属于未定式；1∞，00，∞∞，∞-∞（∞ ∞），0·∞，00，∞0 8种上文已分析，属于未定式.还有∞∞，0∞两种属于未定式极限吗？可作为一个简单的思考题留给学生们思考.
三、结 语
未定式极限对于刚步入大学的学生来说比较新奇，数学基础差，理解能力不强的学生会将这类极限与他们中学已有的认知混淆，形成矛盾.教师应站在学生的角度强调对这一问题的理解，详细分析、解释，并举一反三、触类旁通，激发学生的思维，使其思考，进而逐渐形成灵活、严谨的思维方式，而不是让学生照搬方法，只会做题，知其然不知其所以然.学生也应具体问题具体分析，不能盲目生搬乱套.
【参考文献】
[1]龚谊诚，赵喜林.对教材中00型极限内容的建议.高等数学研究[J].2010（13）：9-10.
[2]王华.1∞、00及∞0型极限中的等价无穷小（大）代换.时代教育[J].2009（8）：79-80.