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【摘 要】在相关三角形习题中，求某角的度数的题型是常见题型。可是对于求某角度的取值范围却是少见题型，教材中也没有针对的固定的解决此类题型的方法，所以相对比较难处理。解决此类题型时，最重要的是找到关于某角的限制条件，就可以得到关于某角应该满足的条件。
【关键词】三角形 角度 取值范围 限制条件
平常在相关三角形习题中，求某角的度数的题型是常见题型，相关的解题知识也很多。如三角形的内角和为180°、直角三角形两个锐角互余等等，所以解题会相对容易。可是对于求某角度的取值范围却是少见题型，教材中也没有针对的固定的解决此类题型的方法，所以相对比较难处理。下面我通过两道例题阐述我对这种题型的解决方法，供读者参考。
例题1：如图在△ABC中，AC=BC，CH⊥AB于点H，点P是线段CH上不与端点重合的任意一点，连接AP并延长交BC于点E，连接BP并延长交AC于点F，若AE=AC，则∠ACE的大小应满足什么条件？
[思路剖析]：这题并不能求出∠ACE具体等于多少度时满足AE=AC，只能求出∠ACE的取值范围，由已知条件“点P是线段CH上不与端点重合的任意一点”得到关于∠CAE应满足的条件为“0°<∠CAE<∠CAH”，又由AC=BC、CH⊥AB得∠CAH=90°- ∠ACE，而AE=AC得∠CAE=180°-2∠ACE。因此由∠CAE满足的条件转化为∠CAE应满足的不等式，从而最终解出∠ACE的取值范围。
（1）解：∵ 点P是线段CH上不与端点重合的任意一点
∴ 0°<∠CAE<∠CAH ①
∵ AC=BC、CH⊥AB
∴∠CAH=90°- ∠ACE ②
∵ AE=AC
∴ ∠CAE=180°-2∠ACE ③
将②③代入①得： 0°<180°-2∠ACE<90°- ∠ACE
解不等式得： 60°<∠ACE<90°
即若AE=AC，则∠ACE的大小应满足的条件为60°<∠ACE<90°
例题2：如图∠ABM为直角，点C为线段AB的中点，点D是射线BM上的一个动点（不与B点重合）。连接AD，作BE⊥AD，垂足为E，连接CE。过点E作EF⊥CE交BD于F。
（1）求证：BF=DF
（2）∠A在什么范围内变化时，四边形ACFE是梯形，并且说明理由。
（3）∠A在什么范围内变化时，线段DE上存在点G满足条件DG=DA，并说明理由。
[思路剖析]：因为∠ABM为直角，所以锐角∠A至少应满足0°<∠A<90°。问题（2）中，由限制条件“四边形ACFE是梯形”知四边形ACFE不能是平行四边形。当四边形ACFE是平行四边形时我们可求得∠A=45°，故∠A≠45°。问题（3）中，由限制条件“线段DE上存在点G满足条件DG= DA”且“点D是射线BM上的一个动点（不与B点重合）”，得到关于∠GFD应满足的条件为“0°<∠GFD≤∠EFD”再结合其他已知条件转化为关于∠A应满足的不等式，最终求出∠A的取值范围。
（1）证明：∵ BE⊥AD 点C为AB的中点
∴ CE= AB=BC
∴ ∠CEB=∠CBE
∵ ∠ABM=90° EF⊥CE BE⊥AD
∴ ∠EBF=∠BFE ∠CBE=∠ADB=∠DEF
∴ BF=EF DF=EF
∴ BF=DF
（2）解：∵ 在RtABD中，∠ABD=90°
∴ 0°<∠A<90°
∵ BF=DF且C为AB的中点
∴ CF∥AD 即 CF∥AE
当AE=CF时，四边形ACFE是平行四边形，此时求得∠A=45°
∴ 当∠A在“0°<∠A<45°或45°<∠A<90°”范围内变化时，四边形ACFE是梯形
（3）解：取DF中点H，过点H作HG⊥BD交AD于点G，则GH∥AB，连接GF
∵ DH= DF= BD GH∥AB
∴ DG= DA
∵ 点G在线段DE上
∴ 0°<∠GFD≤∠EFD ①
∵ ∠GFD=90°-∠A ∠EFD=2∠A ②
将②代入①得： 0°<90°-∠A≤2∠A
解不等式得： 30°≤∠A<90°
∴ 当∠A在“30°≤∠A<90°”范围内变化时，线段DE上存在点G满足条件DG= DA
通过上面两道例题，我归纳出求某角度取值范围的解题步骤：
（1） 由题中某个动点所限制条件，得出关于该动点与其他点所构成角的满足条件，从而列出关于这个角的不等式。
（2） 通过已知条件，找到不等式中的角与所求某角的等量关系，并将它们代入上面的不等式，从而转化为所求某角的满足条件。
（3） 解关于所求某角所满足的不等式，最终求出某角的取值范围。
注：解决此类题型时，最重要的是找到关于某角的限制条件，一般出发点是从已知条件中找出类似“某点在某线段上不与端点重合”或“某点在某线段上运动不与端点重合”等等语句，就可以得到关于某角应该满足的条件。有些角可以由已知直接得出应该满足的大范围，如例题2的问题（2）（3）中的∠A至少应该满足0°<∠A<90°。
参考文献：
[1]林卫强.《初等几何》教学现状与改革的讨论[J].毕节师范高等专科学校学报，2002.
[2]李峰.数学文化与新课程标准下中学数学教育中数学文化的渗透[D].山东师范大学，2005.
作者简介：吴桂红，江西省鹰潭市实验中学，邮编：335000
【关键词】三角形 角度 取值范围 限制条件
平常在相关三角形习题中，求某角的度数的题型是常见题型，相关的解题知识也很多。如三角形的内角和为180°、直角三角形两个锐角互余等等，所以解题会相对容易。可是对于求某角度的取值范围却是少见题型，教材中也没有针对的固定的解决此类题型的方法，所以相对比较难处理。下面我通过两道例题阐述我对这种题型的解决方法，供读者参考。
例题1：如图在△ABC中，AC=BC，CH⊥AB于点H，点P是线段CH上不与端点重合的任意一点，连接AP并延长交BC于点E，连接BP并延长交AC于点F，若AE=AC，则∠ACE的大小应满足什么条件？
[思路剖析]：这题并不能求出∠ACE具体等于多少度时满足AE=AC，只能求出∠ACE的取值范围，由已知条件“点P是线段CH上不与端点重合的任意一点”得到关于∠CAE应满足的条件为“0°<∠CAE<∠CAH”，又由AC=BC、CH⊥AB得∠CAH=90°- ∠ACE，而AE=AC得∠CAE=180°-2∠ACE。因此由∠CAE满足的条件转化为∠CAE应满足的不等式，从而最终解出∠ACE的取值范围。
（1）解：∵ 点P是线段CH上不与端点重合的任意一点
∴ 0°<∠CAE<∠CAH ①
∵ AC=BC、CH⊥AB
∴∠CAH=90°- ∠ACE ②
∵ AE=AC
∴ ∠CAE=180°-2∠ACE ③
将②③代入①得： 0°<180°-2∠ACE<90°- ∠ACE
解不等式得： 60°<∠ACE<90°
即若AE=AC，则∠ACE的大小应满足的条件为60°<∠ACE<90°
例题2：如图∠ABM为直角，点C为线段AB的中点，点D是射线BM上的一个动点（不与B点重合）。连接AD，作BE⊥AD，垂足为E，连接CE。过点E作EF⊥CE交BD于F。
（1）求证：BF=DF
（2）∠A在什么范围内变化时，四边形ACFE是梯形，并且说明理由。
（3）∠A在什么范围内变化时，线段DE上存在点G满足条件DG=DA，并说明理由。
[思路剖析]：因为∠ABM为直角，所以锐角∠A至少应满足0°<∠A<90°。问题（2）中，由限制条件“四边形ACFE是梯形”知四边形ACFE不能是平行四边形。当四边形ACFE是平行四边形时我们可求得∠A=45°，故∠A≠45°。问题（3）中，由限制条件“线段DE上存在点G满足条件DG= DA”且“点D是射线BM上的一个动点（不与B点重合）”，得到关于∠GFD应满足的条件为“0°<∠GFD≤∠EFD”再结合其他已知条件转化为关于∠A应满足的不等式，最终求出∠A的取值范围。
（1）证明：∵ BE⊥AD 点C为AB的中点
∴ CE= AB=BC
∴ ∠CEB=∠CBE
∵ ∠ABM=90° EF⊥CE BE⊥AD
∴ ∠EBF=∠BFE ∠CBE=∠ADB=∠DEF
∴ BF=EF DF=EF
∴ BF=DF
（2）解：∵ 在RtABD中，∠ABD=90°
∴ 0°<∠A<90°
∵ BF=DF且C为AB的中点
∴ CF∥AD 即 CF∥AE
当AE=CF时，四边形ACFE是平行四边形，此时求得∠A=45°
∴ 当∠A在“0°<∠A<45°或45°<∠A<90°”范围内变化时，四边形ACFE是梯形
（3）解：取DF中点H，过点H作HG⊥BD交AD于点G，则GH∥AB，连接GF
∵ DH= DF= BD GH∥AB
∴ DG= DA
∵ 点G在线段DE上
∴ 0°<∠GFD≤∠EFD ①
∵ ∠GFD=90°-∠A ∠EFD=2∠A ②
将②代入①得： 0°<90°-∠A≤2∠A
解不等式得： 30°≤∠A<90°
∴ 当∠A在“30°≤∠A<90°”范围内变化时，线段DE上存在点G满足条件DG= DA
通过上面两道例题，我归纳出求某角度取值范围的解题步骤：
（1） 由题中某个动点所限制条件，得出关于该动点与其他点所构成角的满足条件，从而列出关于这个角的不等式。
（2） 通过已知条件，找到不等式中的角与所求某角的等量关系，并将它们代入上面的不等式，从而转化为所求某角的满足条件。
（3） 解关于所求某角所满足的不等式，最终求出某角的取值范围。
注：解决此类题型时，最重要的是找到关于某角的限制条件，一般出发点是从已知条件中找出类似“某点在某线段上不与端点重合”或“某点在某线段上运动不与端点重合”等等语句，就可以得到关于某角应该满足的条件。有些角可以由已知直接得出应该满足的大范围，如例题2的问题（2）（3）中的∠A至少应该满足0°<∠A<90°。
参考文献：
[1]林卫强.《初等几何》教学现状与改革的讨论[J].毕节师范高等专科学校学报，2002.
[2]李峰.数学文化与新课程标准下中学数学教育中数学文化的渗透[D].山东师范大学，2005.
作者简介：吴桂红，江西省鹰潭市实验中学，邮编：335000