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摘 要：本文从吸、放热之间关系分三种情况分析冰水混合物最终状态问题。
关键词：冰水混合；终态；解法
中图分类号：G633.7 文献标识码：A 文章编号：1003-6148（2015）3-0062-2
问题的提出：在一标准大气压下，将质量为m冰、温度为t冰（t冰<0 ℃）的冰与质量为m水、温度为t水（t水>0 ℃）的水混合，如果无热量散失，试探析热平衡后冰水混合物终态的温度及冰、水的质量各是多少？
求解此类冰水混合物最终状态问题，如果直接设共同温度为t，通过热平衡方程式求解，往往会得出荒谬的结果。下面介绍一种常用方法：
问题的探析：
选择0 ℃为参考温度，设温度为t冰的冰变为0 ℃的冰时吸收的热量为Q吸，温度为t水的水变为0 ℃的水时放出的热量为Q放，则会有以下三种情况：
1.冰吸收的热量Q吸小于水降温放出的热量Q放
因为Q吸 m=（Q放-Q吸）/λ
式中λ为冰在0 ℃时的融化热。
若m≤m冰，则表示有部分冰融化或全部冰正好被融化完，终温为0 ℃，达到热平衡时冰的质量为（m冰-m），水的质量为（m水 m）。
例1 把-20 ℃的冰100 g与10 ℃的水300 g混合，问：在绝热条件下终态温度是多少？终态时冰、水的质量各是多少？已知：冰的比热容为2.1×103 J/（kg·℃），冰在0 ℃时的融化热为3.36×105 J/Kg。
解：取0 ℃为参考温度
-20 ℃的冰融化成0 ℃的冰时吸收的热量为：
Q吸=C冰m冰（0-t冰）=
2.1×103 J/（kg·℃） ×0.1 kg×（0 ℃ 20 ℃）=
4.2×103 J
10 ℃的水变为0 ℃的水时放出的热量为：
Q放=C水m水（t水-0）=
4.2×103 J/（kg·℃） ×0.3 kg×（10 ℃-0 ℃）=
12.6×103 J
因为Q吸 m=（Q放-Q吸）/λ=
（12.6×103-4.2×103）/3.36×105=0.025 kg=25 g
所以，终态温度为0 ℃，终态时冰的质量是75 g，水的质量是225 g。
若m>m冰，则温度为t水的水温度降至0 ℃时放出的热量大于温度为t冰的冰全部融化成0 ℃的水所吸收的热量。在这种情况下，冰全部融化后，水温还要升高，即最终温度t>0 ℃。根据这个判断，可以列出热平衡方程求得最终温度。
例2 把-20 ℃的冰2.5 kg与53 ℃的水5 kg混合，问在绝热条件下终态温度是多少？终态时冰和水的质量各是多少？（C冰、λ与例1相同）
解：取0 ℃为参考温度
-20 ℃的冰融化成0 ℃的冰时吸收的热量为：
Q吸=C冰m冰（0-t冰）=
2.1×103 J/（Kg·℃） ×2.5 kg×（0 ℃ 20 ℃）=
1.05×105 J
53 ℃的水变为0 ℃的水时放出的热量为：
Q放=C水m水（t水-0）=
4.2×103 J/（Kg·℃） ×5 kg×（53 ℃-0 ℃）=
1.113×106 J
因为Q吸 m=（Q放-Q吸）/λ=
（1.113×106 -1.05×105 ）/3.36×105=3 kg
因为m>m冰，所以2.5 kg的冰全部融化后，水温还要升高，即终温在0 ℃以上。根据这个判断可以列出热平衡方程如下：
Q吸=C冰m冰（0-t冰） m冰λ C水m冰（t-0）
Q放=C水m水（t水-t）
根据Q吸=Q放可得
C冰m冰（0-t冰） m冰λ C水m冰（t-0）=C水m水（t水-t）
代入数据得：t≈5.33 ℃
即混合后冰全部融化成水，质量为7.5 kg，终温约为5.33 ℃。
2.冰吸收的热量Q吸大于水降温放出的热量Q放
因为Q吸>Q放，所以必然有水凝固成冰，设被凝固的水的质量为m，则有
m=（Q吸-Q放）/λ
若m≤m水，表示有部分水被凝固或全部水正好被凝固完，终温为0 ℃，热平衡时冰的质量为（m冰 m），水的质量为（m水-m）。
若m>m水，则温度为t冰的冰升温到0 ℃所需的热量大于温度为t水的水完全凝固成0 ℃的冰所放出的热量。这种情况下水全部被凝固，终温在0 ℃以下，即t<0 ℃。根据这个判断可以列出热平衡方程，求得终温t。
3.冰吸收的热量Q吸等于水降温放出的热量Q放
因为温度为t冰的冰变为0 ℃的冰时吸收的热量Q吸等于温度为t水的水降温至0 ℃的水时所放出的热量为Q放，所以在这种情况下冰无融化，水无凝固现象发生，终态为冰水共存，终态时终温为0 ℃，冰、水质量与初态相同，即冰的质量仍为m冰，水的质量仍为m水。
参考文献：
[1]李家骝.冰水混合问题简易解法[J].安徽教育，1984，（12）：44.
（栏目编辑 王柏庐）
关键词：冰水混合；终态；解法
中图分类号：G633.7 文献标识码：A 文章编号：1003-6148（2015）3-0062-2
问题的提出：在一标准大气压下，将质量为m冰、温度为t冰（t冰<0 ℃）的冰与质量为m水、温度为t水（t水>0 ℃）的水混合，如果无热量散失，试探析热平衡后冰水混合物终态的温度及冰、水的质量各是多少？
求解此类冰水混合物最终状态问题，如果直接设共同温度为t，通过热平衡方程式求解，往往会得出荒谬的结果。下面介绍一种常用方法：
问题的探析：
选择0 ℃为参考温度，设温度为t冰的冰变为0 ℃的冰时吸收的热量为Q吸，温度为t水的水变为0 ℃的水时放出的热量为Q放，则会有以下三种情况：
1.冰吸收的热量Q吸小于水降温放出的热量Q放
因为Q吸
式中λ为冰在0 ℃时的融化热。
若m≤m冰，则表示有部分冰融化或全部冰正好被融化完，终温为0 ℃，达到热平衡时冰的质量为（m冰-m），水的质量为（m水 m）。
例1 把-20 ℃的冰100 g与10 ℃的水300 g混合，问：在绝热条件下终态温度是多少？终态时冰、水的质量各是多少？已知：冰的比热容为2.1×103 J/（kg·℃），冰在0 ℃时的融化热为3.36×105 J/Kg。
解：取0 ℃为参考温度
-20 ℃的冰融化成0 ℃的冰时吸收的热量为：
Q吸=C冰m冰（0-t冰）=
2.1×103 J/（kg·℃） ×0.1 kg×（0 ℃ 20 ℃）=
4.2×103 J
10 ℃的水变为0 ℃的水时放出的热量为：
Q放=C水m水（t水-0）=
4.2×103 J/（kg·℃） ×0.3 kg×（10 ℃-0 ℃）=
12.6×103 J
因为Q吸
（12.6×103-4.2×103）/3.36×105=0.025 kg=25 g
所以，终态温度为0 ℃，终态时冰的质量是75 g，水的质量是225 g。
若m>m冰，则温度为t水的水温度降至0 ℃时放出的热量大于温度为t冰的冰全部融化成0 ℃的水所吸收的热量。在这种情况下，冰全部融化后，水温还要升高，即最终温度t>0 ℃。根据这个判断，可以列出热平衡方程求得最终温度。
例2 把-20 ℃的冰2.5 kg与53 ℃的水5 kg混合，问在绝热条件下终态温度是多少？终态时冰和水的质量各是多少？（C冰、λ与例1相同）
解：取0 ℃为参考温度
-20 ℃的冰融化成0 ℃的冰时吸收的热量为：
Q吸=C冰m冰（0-t冰）=
2.1×103 J/（Kg·℃） ×2.5 kg×（0 ℃ 20 ℃）=
1.05×105 J
53 ℃的水变为0 ℃的水时放出的热量为：
Q放=C水m水（t水-0）=
4.2×103 J/（Kg·℃） ×5 kg×（53 ℃-0 ℃）=
1.113×106 J
因为Q吸
（1.113×106 -1.05×105 ）/3.36×105=3 kg
因为m>m冰，所以2.5 kg的冰全部融化后，水温还要升高，即终温在0 ℃以上。根据这个判断可以列出热平衡方程如下：
Q吸=C冰m冰（0-t冰） m冰λ C水m冰（t-0）
Q放=C水m水（t水-t）
根据Q吸=Q放可得
C冰m冰（0-t冰） m冰λ C水m冰（t-0）=C水m水（t水-t）
代入数据得：t≈5.33 ℃
即混合后冰全部融化成水，质量为7.5 kg，终温约为5.33 ℃。
2.冰吸收的热量Q吸大于水降温放出的热量Q放
因为Q吸>Q放，所以必然有水凝固成冰，设被凝固的水的质量为m，则有
m=（Q吸-Q放）/λ
若m≤m水，表示有部分水被凝固或全部水正好被凝固完，终温为0 ℃，热平衡时冰的质量为（m冰 m），水的质量为（m水-m）。
若m>m水，则温度为t冰的冰升温到0 ℃所需的热量大于温度为t水的水完全凝固成0 ℃的冰所放出的热量。这种情况下水全部被凝固，终温在0 ℃以下，即t<0 ℃。根据这个判断可以列出热平衡方程，求得终温t。
3.冰吸收的热量Q吸等于水降温放出的热量Q放
因为温度为t冰的冰变为0 ℃的冰时吸收的热量Q吸等于温度为t水的水降温至0 ℃的水时所放出的热量为Q放，所以在这种情况下冰无融化，水无凝固现象发生，终态为冰水共存，终态时终温为0 ℃，冰、水质量与初态相同，即冰的质量仍为m冰，水的质量仍为m水。
参考文献：
[1]李家骝.冰水混合问题简易解法[J].安徽教育，1984，（12）：44.
（栏目编辑 王柏庐）