论文部分内容阅读
1 问题的提出
类比是人们发现概念、公式、定理和解决问题方法的重要手段．类比也是一种重要的数学思想方法和思维方法，能否有效地类比、如何类比，直接关系到学生思维的品质、发现能力和创新能力的发展．那么，什么是类比？教学中如何利用类比培养学生的发现能力和创新能力呢？
2 类比及其原则
2.1 类比的意义
类比（类比推理）是根据两个（或两类）不同的对象之间在某些方面有相同或相似之处，猜测它们在其他方面也可能相同或相似，并作出某种判断的推理方法．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理方法，是一种重要的合情推理．正是由于类比推理是一种由特殊到特殊的推理方法，所以，类比推理得到的结论是或然的，其结论需要借助演绎推理“证明”，或从结果出发，借助类比推理“推断”的条件和演绎推理，“证明”条件的必然性．
一般认为，类比与归纳是根本不同的合情推理，而史宁中教授却认为“类比属于归纳推理．但与一般的归纳推理不同的是：类比不是对两个类中的事物的属性同时进行推断，而是已知一类事物的属性，参照这些已知属性对另一类中的事物的相似属性进行推断”．笔者以为，这才是类比的核心内涵．
2.2 类比的原则
（1） 类比的事物之间要有相似的外部特征或结构．
只有当类比的事物之间具有相似的外部特征或结构，知识的正迁移才能顺利进行．如“有理数的分类结构”与“有理式的分类结构”具有相似之处：有理数可分为整数和分数；有理式可分为整式和分式．所以，学生类比有理数的分类才能猜测出有理式的分类．
（2） 类比的标准应该一致
例如，由于分数与分式都具有相同的外部特征（有分子与分母），因此，我们可以类比“分数的基本性质”得到“分式的基本性质”，因为类比的标准都是“分子与分母同乘以（或除以）”，所不同的是：“分数的基本性质”是“分数的分子与分母乘以（或除以）同一个不等于0的数，分数的大小不变”，而“分式的基本性质”则是“分式的分子与分母乘以（或除以）同一个不等于0的整式，分式的大小不变”．
（3） 对于类比对象的同一性质（或判定方法、研究方法）的比较应当是完整的．
例如，在研究“点与圆的位置关系”时，研究方法：实验、观察法．通过学生画图或类比射击经验，得到直线与圆的三种位置关系：
通过类比可以直接得到直线与圆的三种位置关系：
3 利用类比培养学生的发现能力、创新能力的策略
类比在学生数学学习中的应用非常广泛，如等式的性质与不等式的性质的类比；数与式的类比；数（如完全平方公式）与形（相应的几何图形解释）的类比；一元一次方程的概念与一元二次方程概念的类比；解法、方法的类比；等等．总之，一种类比是用外形特征作为类比的源泉；另一种类比是以结构系统作为类比的源泉．在中学教学中，类比推理是发现概念、公式、定理和方法的重要手段，在解题教学中，它具有启迪智慧、触类旁通的效果，促进学生的有效学习．
教学中如何利用类比培养学生的发现能力、猜想能力、创新能力呢？下面介绍一些具体的策略．
3.1 延迟知识的生成过程，促进知识的正迁移
案例1：“同类二次根式”概念的教学．
我们知道，字母是表示数的，因此，关于数的运算律、运算法则同样适用于代数式；反之，亦然．为此，“同类二次根式”的教学可以类比“同类项”的教学．
在“同类二次根式”概念的教学中，教师可以这样设计：
（1）观察下列各组二次根式，它们有何共同特征？
① ，－3，，－；②，2，－，－4．
学生会发现：每组二次根式的被开方数都相同，这是学生的“第一次发现”．接着，出示下面的问题：
（2）将下列二次根式化成最简二次根式：①，，－；②，，－．
在学生完成化简任务后，教师抛出下面的问题：“将每一组二次根式化成最简二次根式之后，你又发现了什么？”目的是再次制造学生认知上的冲突，让学生经历“第二次发现”．
在学生深入地观察、思考，得出“每一组二次根式化简后的被开方数也相同”的结论后，教师乘胜追击．“像3x2y，－2x2y，0.5x2y，我们把它们称之为同类项，那么你认为像（1）（2）中的每一组二次根式，应该怎样命名？”
学生通过类比创造出“同类二次根式”一词，此时，教师需要再次点燃学生智慧的火花，将学生的思维推向高潮．
（3） 你认为如何定义“同类二次根式”？
（4） 你能举出同类二次根式的例子吗？
其目的是让学生再发现、再创造．“教育是灵魂的唤醒”，而这种唤醒源于思维的一次次激发、情感的一次次激励、智慧的一次次点燃、能力的一次次提升．
?摇3.2 揭示问题背后的方法，促进方法的正迁移
案例2：“勾股定理”的教学．
在学生证明了勾股定理后，教师可以着重进行三方面的类比：
（1） 勾股定理是由“形”到“数”的类比，是数形结合的典范．在利用网格纸探究得到“直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方”中，我们运用了“割、补法”，课后请大家探究：利用模型验证公式（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca．
（2） “直角三角形三边的关系”与“一般三角形三边关系”的类比：课后探究一般三角形中是否仍有“三角形中较小两边的平方和等于最大边的平方”？
3.3 强化数学思想的拓展，促进解题经验的正迁移
在学完《锐角三角函数》后，教师可以出示下面的问题供学生研究，目的是考查学生的阅读理解能力、发现能力、创新能力．
案例3：通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化.类似地，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系.我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角正对（sad），在△ABC中，AB=AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA= =．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解答下列问题：
（1） sad60°= ．（2）对于0°＜∠A＜180°，∠A的正对值sadA的取值范围是 ．
“类比”既是一种思想，也是一种知识拓展策略．本题表面上是一种“新定义”型阅读理解题，其实是让学生“类比”锐角三角函数的研究经验、方法，进而研究“顶角的正对值”问题．既有“顶角的正对值”的范围探究，也有“顶角的正对值”的应用，同时，将两个概念“整合”在一起，有助于对学生思维深层次地考查．不仅仅是对“化归”思想的考查，而且是对学生创新精神和创新能力的考查．
3.4 注重思维方法的提炼，促进思维方法的正迁移
实践表明：学生的学习能力固然和知识的多寡有关系，但更多的却是表现在学习过程中对方法和策略的选择上，表现在数学活动过程中思维方法的感悟及经验的积累与提升上．类比是一种重要的思维方法．例如，我们在研究“绝对值”的代数意义时，首先将有理数分类：正有理数、零、负有理数，接着分别探究正有理数、零、负有理数的绝对值．通过大量的具有代表性的实例，我们得到“正有理数的绝对值等于它本身；零的绝对值仍旧是零；负有理数的绝对值等于它的相反数”，从而建立了有理数的绝对值的代数意义．这种“分类——探究——归纳——结论”的思维方法，当学生真正理解、掌握了这种科学的思维方法后，他们就可以自觉地迁移到有理数加法、减法、乘法、除法法则的探究与归纳中，形成自己探究学习的策略和习惯，这就是“类比”的核心价值与意义．
可见，类比对学生的数学学习具有重要的指导意义．当然，我们也要防止学生乱用类比产生错误．例如，类比（a?b）n=an?bn造成（a+b）2=a2+b2、（a－b）2=a2－b2这样的错误．
类比是人们发现概念、公式、定理和解决问题方法的重要手段．类比也是一种重要的数学思想方法和思维方法，能否有效地类比、如何类比，直接关系到学生思维的品质、发现能力和创新能力的发展．那么，什么是类比？教学中如何利用类比培养学生的发现能力和创新能力呢？
2 类比及其原则
2.1 类比的意义
类比（类比推理）是根据两个（或两类）不同的对象之间在某些方面有相同或相似之处，猜测它们在其他方面也可能相同或相似，并作出某种判断的推理方法．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理方法，是一种重要的合情推理．正是由于类比推理是一种由特殊到特殊的推理方法，所以，类比推理得到的结论是或然的，其结论需要借助演绎推理“证明”，或从结果出发，借助类比推理“推断”的条件和演绎推理，“证明”条件的必然性．
一般认为，类比与归纳是根本不同的合情推理，而史宁中教授却认为“类比属于归纳推理．但与一般的归纳推理不同的是：类比不是对两个类中的事物的属性同时进行推断，而是已知一类事物的属性，参照这些已知属性对另一类中的事物的相似属性进行推断”．笔者以为，这才是类比的核心内涵．
2.2 类比的原则
（1） 类比的事物之间要有相似的外部特征或结构．
只有当类比的事物之间具有相似的外部特征或结构，知识的正迁移才能顺利进行．如“有理数的分类结构”与“有理式的分类结构”具有相似之处：有理数可分为整数和分数；有理式可分为整式和分式．所以，学生类比有理数的分类才能猜测出有理式的分类．
（2） 类比的标准应该一致
例如，由于分数与分式都具有相同的外部特征（有分子与分母），因此，我们可以类比“分数的基本性质”得到“分式的基本性质”，因为类比的标准都是“分子与分母同乘以（或除以）”，所不同的是：“分数的基本性质”是“分数的分子与分母乘以（或除以）同一个不等于0的数，分数的大小不变”，而“分式的基本性质”则是“分式的分子与分母乘以（或除以）同一个不等于0的整式，分式的大小不变”．
（3） 对于类比对象的同一性质（或判定方法、研究方法）的比较应当是完整的．
例如，在研究“点与圆的位置关系”时，研究方法：实验、观察法．通过学生画图或类比射击经验，得到直线与圆的三种位置关系：
通过类比可以直接得到直线与圆的三种位置关系：
3 利用类比培养学生的发现能力、创新能力的策略
类比在学生数学学习中的应用非常广泛，如等式的性质与不等式的性质的类比；数与式的类比；数（如完全平方公式）与形（相应的几何图形解释）的类比；一元一次方程的概念与一元二次方程概念的类比；解法、方法的类比；等等．总之，一种类比是用外形特征作为类比的源泉；另一种类比是以结构系统作为类比的源泉．在中学教学中，类比推理是发现概念、公式、定理和方法的重要手段，在解题教学中，它具有启迪智慧、触类旁通的效果，促进学生的有效学习．
教学中如何利用类比培养学生的发现能力、猜想能力、创新能力呢？下面介绍一些具体的策略．
3.1 延迟知识的生成过程，促进知识的正迁移
案例1：“同类二次根式”概念的教学．
我们知道，字母是表示数的，因此，关于数的运算律、运算法则同样适用于代数式；反之，亦然．为此，“同类二次根式”的教学可以类比“同类项”的教学．
在“同类二次根式”概念的教学中，教师可以这样设计：
（1）观察下列各组二次根式，它们有何共同特征？
① ，－3，，－；②，2，－，－4．
学生会发现：每组二次根式的被开方数都相同，这是学生的“第一次发现”．接着，出示下面的问题：
（2）将下列二次根式化成最简二次根式：①，，－；②，，－．
在学生完成化简任务后，教师抛出下面的问题：“将每一组二次根式化成最简二次根式之后，你又发现了什么？”目的是再次制造学生认知上的冲突，让学生经历“第二次发现”．
在学生深入地观察、思考，得出“每一组二次根式化简后的被开方数也相同”的结论后，教师乘胜追击．“像3x2y，－2x2y，0.5x2y，我们把它们称之为同类项，那么你认为像（1）（2）中的每一组二次根式，应该怎样命名？”
学生通过类比创造出“同类二次根式”一词，此时，教师需要再次点燃学生智慧的火花，将学生的思维推向高潮．
（3） 你认为如何定义“同类二次根式”？
（4） 你能举出同类二次根式的例子吗？
其目的是让学生再发现、再创造．“教育是灵魂的唤醒”，而这种唤醒源于思维的一次次激发、情感的一次次激励、智慧的一次次点燃、能力的一次次提升．
?摇3.2 揭示问题背后的方法，促进方法的正迁移
案例2：“勾股定理”的教学．
在学生证明了勾股定理后，教师可以着重进行三方面的类比：
（1） 勾股定理是由“形”到“数”的类比，是数形结合的典范．在利用网格纸探究得到“直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方”中，我们运用了“割、补法”，课后请大家探究：利用模型验证公式（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca．
（2） “直角三角形三边的关系”与“一般三角形三边关系”的类比：课后探究一般三角形中是否仍有“三角形中较小两边的平方和等于最大边的平方”？
3.3 强化数学思想的拓展，促进解题经验的正迁移
在学完《锐角三角函数》后，教师可以出示下面的问题供学生研究，目的是考查学生的阅读理解能力、发现能力、创新能力．
案例3：通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化.类似地，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系.我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角正对（sad），在△ABC中，AB=AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA= =．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解答下列问题：
（1） sad60°= ．（2）对于0°＜∠A＜180°，∠A的正对值sadA的取值范围是 ．
“类比”既是一种思想，也是一种知识拓展策略．本题表面上是一种“新定义”型阅读理解题，其实是让学生“类比”锐角三角函数的研究经验、方法，进而研究“顶角的正对值”问题．既有“顶角的正对值”的范围探究，也有“顶角的正对值”的应用，同时，将两个概念“整合”在一起，有助于对学生思维深层次地考查．不仅仅是对“化归”思想的考查，而且是对学生创新精神和创新能力的考查．
3.4 注重思维方法的提炼，促进思维方法的正迁移
实践表明：学生的学习能力固然和知识的多寡有关系，但更多的却是表现在学习过程中对方法和策略的选择上，表现在数学活动过程中思维方法的感悟及经验的积累与提升上．类比是一种重要的思维方法．例如，我们在研究“绝对值”的代数意义时，首先将有理数分类：正有理数、零、负有理数，接着分别探究正有理数、零、负有理数的绝对值．通过大量的具有代表性的实例，我们得到“正有理数的绝对值等于它本身；零的绝对值仍旧是零；负有理数的绝对值等于它的相反数”，从而建立了有理数的绝对值的代数意义．这种“分类——探究——归纳——结论”的思维方法，当学生真正理解、掌握了这种科学的思维方法后，他们就可以自觉地迁移到有理数加法、减法、乘法、除法法则的探究与归纳中，形成自己探究学习的策略和习惯，这就是“类比”的核心价值与意义．
可见，类比对学生的数学学习具有重要的指导意义．当然，我们也要防止学生乱用类比产生错误．例如，类比（a?b）n=an?bn造成（a+b）2=a2+b2、（a－b）2=a2－b2这样的错误．