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摘要：运用小波变换方法，以不同的小波时间尺度分析了华北地区1480～2009年M≥5.0和1970～2009年M≥4.0地震的贝尼奥夫应变数据，得到了不同时间尺度的地震活跃期和平静期。分析表明：目前华北地区从1480年以来的M≥5.0地震活动刚过活跃期，处于应力积累阶段，而1970年以来M≥4.0地震存在7年左右的活动周期，目前正在进入4级以上地震的活跃期。
关键词：贝尼奥夫应变；小波变换；地震活跃期；地震平静期；华北地区
中图分类号：P315.5 文献标识码：A 文章编号：1000-0666（2011）01-0024-06
0 引言
表征地震活动性的各种参数从不同角度对地震活动的特征进行了完整、系统的描述，成为地震预测预报的重要参考依据，但是地震活动在时间轴上的分布是否有规律可循，多年来一直是个有争议的问题。马宗晋等（1982）、张国民等（1987，2000）、张培震等（2003）对我国的地震活动作了分析，发现在不同的时期，地震活动显示了平静和活跃变化；同一地震区内的地震活动具有某种程度的自相似性，在时间分布上具有某种“似周期性”分布特征；在不同时期地震发生的频度和强度有较明显的不同（时振梁等，1997）。Benioff（1951）曾把1900～1950年全球的地震活动分为5个时段，指出地震活动存在地震活跃期和相对平静期；马宗晋等（1982）指出地震活动强弱随时间分段现象在我国大陆地区是相当普遍的，而且强弱变化的时间范围长短不一；张国民和张培震（2000）、傅征祥等（2000）讨论了华北地区M≥7.0强震的时间分布，发现在每一个地震活跃期内大地震的积累频度曲线随时间的变化大致呈指数函数形式；万永革等（2003）也分析了中国大陆地区M≥5.0地震活动的周期性，得到了不同时间尺度的地震平静期和地震活跃期；刘虹和苏有锦（2007）研究了1970年以来云南地区MS≥7.0地震的各种活动参数，发现震源区地震活动水平在大地震前后有很大的差异；苏有锦等（2001）研究了20世纪以来云南地区MS≥5.0地震的活跃期与平静期的交替过程。总之，活跃期和平静期的划分对地震预测预报，特别是强震的中短期分析预报甚至短临预报工作具有十分重要的意义，是我国地震预测研究中一个不可缺少的环节（马宏生等，2002，2005）。
华北地区作为中国内陆的地震多发区，一直备受地震学家的关注。如何从不同尺度上划分活跃期和平静期，并在大尺度活跃期（或平静期）中提取小尺度的活跃期和平静期，进一步为地震预测预报提供依据？在传统的Mt图上难以找到地震活动演化过程突变点。小波分析方法具有能够根据分析对象不同而自动调整有关参数的“自适应性”和能够根据观测对象不同而自动“调焦”的特性，因而被广泛应用于地震研究的各个领域（刘希强等，1998；吴忠良，1999；邵辉成等，2000；徐义贤，王家映，2000）。笔者采用小波变换方法，从不同时间尺度和震级尺度研究了华北地区的地震在时间上的分布规律，以期为地震预测预报提供参考。
1 小波变换的原理
一个地震时间序列f（t）是由不同强度的地震构成的，在t时刻地震的强度可以表示为
f(t)~ta.（1）
其中a为奇异性指数或标度指数。奇异性是指t→0时a的数值（特别是a<0）决定了f(t)→0的速度。标度性是指若变量t变成λt，则f(t)和f(λt)是自相似的，即[KH*1]
f(λt)=(λt)a=λata=λaf(t).（2）
式（2）常称为标度律。自相似的标度律是多种尺度（即无特征尺度）现象的特征。地震资料的时间序列含有多种不同尺度。直观地看f(t)是杂乱无章的，但小波变换好比显微镜，调节其中的放大倍数就可以清楚地看出f(t)在各个层次上的变化趋势。小波变换Tg是将f(t)分解成具有局部特性的小波g(t)：
Tg(a,t0)=1a∫∞[KG-1*4/9]∫-∞f(t)g(t-t0a)dt.（3）
其中，1ag(t-t0a)小波是将具有局部特性的小波函数g(t)通过平移t0和放大（放大倍数为1／a）而构成的。参数a具有时间的量纲，也称为小波尺度。
设θ(t)为具有低通性质的平滑函数，以它的一阶、二阶导数作为小波对f(t)作小波变换，可以证明（Logan，1977）
式中，*表示卷积。也就是说，用φ1(t)、φ2(t)对f(t)作小波变换， 分别相当于f(t)被θ(t)平滑后对t求一阶或二阶导数。因此，对某一固定a值，[KG*4]f(t)*θa(t)的拐点既是Wφ[HT4.5]1[HT5]f(a,τ)的极值点， 又是Wφ[HT4.5]2[HT5]f(a,τ)的过零点， 由此可检测地震活动信号的急剧变化之处（Mallat，1991；Mallat，Hwang，1992）。
本研究中采用具有低通滤波性质的平滑高斯函数，根据它的一阶导数、二阶导数作为小波基函数进行突变点分析。小波函数的表达式为
选择该函数是因为它对称、可微、可积，时域、频域都是高斯型且呈平方型指数衰减，在时、频两域均具有很好的局域性。运用小波变换可以准确地识别出突变点，运用高斯函数作为小波基的小波变换相当于对原来的信号做平滑处理，而运用高斯函数的一阶导数作为小波基的小波变换可精确地找到信号所对应的突变点：若脉冲向上则表示信号增大，反之表示信号减弱（万永革，2007）。如果使用傅立叶变换，就只能从频率轴来分析该信号是由哪些频率的波组成的，它只是将这些信息铺开到整个频率轴上。但是地震资料f(t)组成的序列并不是平稳的，而是随时间不断变化，傅立叶变换并不能提取f(t)中的奇异性和突变点的信息。
2 地震资料选取
应变与构造应力和地震活动是联系紧密的物理量，在地震分期研究中较为常用（夏浩明，1987）。为了表征某个地区在不同时期的地震活动特征，根据该地区的应变积累和释放变化，可将强震活动划分为若干周期，每一周期包括一个应变能释放高潮和低潮。一个地区的地震能量释放是局部状态的表征，由于地震辐射能量的平方根与地震的应变释放成正比，在研究中常用应变释放来表征地震能量释放。根据历史地震目录可以推算出地震应变释放的大小。
本文采用贝尼奥夫曲线（Benioff，1951）来表征华北地区地震应变能的释放。计算贝尼奥夫应变时采用时振梁等（1997）的公式：
εb(t)=[KG-*3]∑10(4.8+1.5M)/2.[JX-*2] （7）
式中，εb(t)为以t时刻为中心的0.1 a之内的贝尼奥夫应变积累，即某一地区0.1 a内所有大于M级地震对应变释放的贡献；M为震级。地震目录资料的选取对研究结果有很大的影响。华北地区的地震资料在1480年以后是比较完整的（黄玮琼等，1994），因此笔者结合《中国历史强震目录（公元前23世纪—公元1911年）》（中国地震局震害防御司，1995）和中国地震地震台网中心地震目录选取了1480~2009年华北地区（110°～120°E，34°～42°N）1 449个M≥4.0的地震进行研究（图1）。
万永革，齐福荣，孟晓春，等.2003.中国大陆及华北地区地震资料的小波分析［J］.大地测量与地球动力学，23（4）：28-33.
万永革.2007.数字信号处理的matlab实现［M］.北京：科学出版社.
夏浩明.1987.大华北M≥4.0地震阶级性分区特征及其意义［J］.地球物理学报，30（3）：281-291.
徐义贤，王家映.2000.基于连续小波变换的大地电磁信号谱估计方法［J］.地球物理学报，43（5）：677～683.
张国民.1987.我国大陆强震活动的韵律特征［J］.地震地质，9（2）：27-37.
张国民，张培震.2000.大陆强震机理与预测中期学术进展［J］.中国基础科学，（10）：4-10.
张培震，邓起东，张国民，等.2003.中国大陆的强震活动与活动地块［J］.中国科学（D辑），33（增刊）：12-20.
中国地震局震害防御司.1995.中国历史强震目录（公元前23世纪—公元1911年）［M］.北京：地震出版社.
Benioff H.1951.Crustal strain characteristics derived from earthquake sequences［J］.Trans Amer Geophy Union，32（4）：203-208.
Logan B.1977.Information in the zero-crossirig of bandpass signals［J］.Bell Syst Tech J，56，510-532.
Mallat S.1991.Zero-crossing of a wavelet transform［J］.IEEE Trans，IT-37（1）：1019-1033.
Mallat S，Hwang W L .1992.Singularity detection and processing with wavelets［J］.IEEE Trans AMS，IT-38：617-643.
Research on the Characteristics of Seismic Activity in North
China Using Wavelet Transform
ZHANG Xiaotao1，2，FENG Xiangdong3，ZHANG Yuegang3，
ZHANG Shuangfeng1，YANG Yaqiong3，HAN Liping1
（1.Central Seismic station of Handan，Earthquake Administration of Hebei Province，Handan 056001，Hebei，China）
（2.Jilin University，Changchun 130026，Jilin，China）
（3.Earthquake Administration of Hebei Province，Shijiazhuang 050021，Hebei，China）
Abstract:Referring to the M≥5.0 earthquakes from 1500 to 2000 and the M≥4.0 earthquakes from 1970 to 2009 in North China，we analyze the Benioff strain using wavelet transform in various scales.Analysis shows that on a centuryscale the M≥5.0 earthquakeactivity period has just finished and now the stress is accumulating.And since 1970 there has existed activity cycle of about 7 years for the M≥4.0 earthquakes;now the M≥4.0 significant earthquakeactivity period is beginning in North China.
Key words：Benioff strain；wavelet transform；seismic active period；seismic quiet period；North China
关键词：贝尼奥夫应变；小波变换；地震活跃期；地震平静期；华北地区
中图分类号：P315.5 文献标识码：A 文章编号：1000-0666（2011）01-0024-06
0 引言
表征地震活动性的各种参数从不同角度对地震活动的特征进行了完整、系统的描述，成为地震预测预报的重要参考依据，但是地震活动在时间轴上的分布是否有规律可循，多年来一直是个有争议的问题。马宗晋等（1982）、张国民等（1987，2000）、张培震等（2003）对我国的地震活动作了分析，发现在不同的时期，地震活动显示了平静和活跃变化；同一地震区内的地震活动具有某种程度的自相似性，在时间分布上具有某种“似周期性”分布特征；在不同时期地震发生的频度和强度有较明显的不同（时振梁等，1997）。Benioff（1951）曾把1900～1950年全球的地震活动分为5个时段，指出地震活动存在地震活跃期和相对平静期；马宗晋等（1982）指出地震活动强弱随时间分段现象在我国大陆地区是相当普遍的，而且强弱变化的时间范围长短不一；张国民和张培震（2000）、傅征祥等（2000）讨论了华北地区M≥7.0强震的时间分布，发现在每一个地震活跃期内大地震的积累频度曲线随时间的变化大致呈指数函数形式；万永革等（2003）也分析了中国大陆地区M≥5.0地震活动的周期性，得到了不同时间尺度的地震平静期和地震活跃期；刘虹和苏有锦（2007）研究了1970年以来云南地区MS≥7.0地震的各种活动参数，发现震源区地震活动水平在大地震前后有很大的差异；苏有锦等（2001）研究了20世纪以来云南地区MS≥5.0地震的活跃期与平静期的交替过程。总之，活跃期和平静期的划分对地震预测预报，特别是强震的中短期分析预报甚至短临预报工作具有十分重要的意义，是我国地震预测研究中一个不可缺少的环节（马宏生等，2002，2005）。
华北地区作为中国内陆的地震多发区，一直备受地震学家的关注。如何从不同尺度上划分活跃期和平静期，并在大尺度活跃期（或平静期）中提取小尺度的活跃期和平静期，进一步为地震预测预报提供依据？在传统的Mt图上难以找到地震活动演化过程突变点。小波分析方法具有能够根据分析对象不同而自动调整有关参数的“自适应性”和能够根据观测对象不同而自动“调焦”的特性，因而被广泛应用于地震研究的各个领域（刘希强等，1998；吴忠良，1999；邵辉成等，2000；徐义贤，王家映，2000）。笔者采用小波变换方法，从不同时间尺度和震级尺度研究了华北地区的地震在时间上的分布规律，以期为地震预测预报提供参考。
1 小波变换的原理
一个地震时间序列f（t）是由不同强度的地震构成的，在t时刻地震的强度可以表示为
f(t)~ta.（1）
其中a为奇异性指数或标度指数。奇异性是指t→0时a的数值（特别是a<0）决定了f(t)→0的速度。标度性是指若变量t变成λt，则f(t)和f(λt)是自相似的，即[KH*1]
f(λt)=(λt)a=λata=λaf(t).（2）
式（2）常称为标度律。自相似的标度律是多种尺度（即无特征尺度）现象的特征。地震资料的时间序列含有多种不同尺度。直观地看f(t)是杂乱无章的，但小波变换好比显微镜，调节其中的放大倍数就可以清楚地看出f(t)在各个层次上的变化趋势。小波变换Tg是将f(t)分解成具有局部特性的小波g(t)：
Tg(a,t0)=1a∫∞[KG-1*4/9]∫-∞f(t)g(t-t0a)dt.（3）
其中，1ag(t-t0a)小波是将具有局部特性的小波函数g(t)通过平移t0和放大（放大倍数为1／a）而构成的。参数a具有时间的量纲，也称为小波尺度。
设θ(t)为具有低通性质的平滑函数，以它的一阶、二阶导数作为小波对f(t)作小波变换，可以证明（Logan，1977）
式中，*表示卷积。也就是说，用φ1(t)、φ2(t)对f(t)作小波变换， 分别相当于f(t)被θ(t)平滑后对t求一阶或二阶导数。因此，对某一固定a值，[KG*4]f(t)*θa(t)的拐点既是Wφ[HT4.5]1[HT5]f(a,τ)的极值点， 又是Wφ[HT4.5]2[HT5]f(a,τ)的过零点， 由此可检测地震活动信号的急剧变化之处（Mallat，1991；Mallat，Hwang，1992）。
本研究中采用具有低通滤波性质的平滑高斯函数，根据它的一阶导数、二阶导数作为小波基函数进行突变点分析。小波函数的表达式为
选择该函数是因为它对称、可微、可积，时域、频域都是高斯型且呈平方型指数衰减，在时、频两域均具有很好的局域性。运用小波变换可以准确地识别出突变点，运用高斯函数作为小波基的小波变换相当于对原来的信号做平滑处理，而运用高斯函数的一阶导数作为小波基的小波变换可精确地找到信号所对应的突变点：若脉冲向上则表示信号增大，反之表示信号减弱（万永革，2007）。如果使用傅立叶变换，就只能从频率轴来分析该信号是由哪些频率的波组成的，它只是将这些信息铺开到整个频率轴上。但是地震资料f(t)组成的序列并不是平稳的，而是随时间不断变化，傅立叶变换并不能提取f(t)中的奇异性和突变点的信息。
2 地震资料选取
应变与构造应力和地震活动是联系紧密的物理量，在地震分期研究中较为常用（夏浩明，1987）。为了表征某个地区在不同时期的地震活动特征，根据该地区的应变积累和释放变化，可将强震活动划分为若干周期，每一周期包括一个应变能释放高潮和低潮。一个地区的地震能量释放是局部状态的表征，由于地震辐射能量的平方根与地震的应变释放成正比，在研究中常用应变释放来表征地震能量释放。根据历史地震目录可以推算出地震应变释放的大小。
本文采用贝尼奥夫曲线（Benioff，1951）来表征华北地区地震应变能的释放。计算贝尼奥夫应变时采用时振梁等（1997）的公式：
εb(t)=[KG-*3]∑10(4.8+1.5M)/2.[JX-*2] （7）
式中，εb(t)为以t时刻为中心的0.1 a之内的贝尼奥夫应变积累，即某一地区0.1 a内所有大于M级地震对应变释放的贡献；M为震级。地震目录资料的选取对研究结果有很大的影响。华北地区的地震资料在1480年以后是比较完整的（黄玮琼等，1994），因此笔者结合《中国历史强震目录（公元前23世纪—公元1911年）》（中国地震局震害防御司，1995）和中国地震地震台网中心地震目录选取了1480~2009年华北地区（110°～120°E，34°～42°N）1 449个M≥4.0的地震进行研究（图1）。
万永革，齐福荣，孟晓春，等.2003.中国大陆及华北地区地震资料的小波分析［J］.大地测量与地球动力学，23（4）：28-33.
万永革.2007.数字信号处理的matlab实现［M］.北京：科学出版社.
夏浩明.1987.大华北M≥4.0地震阶级性分区特征及其意义［J］.地球物理学报，30（3）：281-291.
徐义贤，王家映.2000.基于连续小波变换的大地电磁信号谱估计方法［J］.地球物理学报，43（5）：677～683.
张国民.1987.我国大陆强震活动的韵律特征［J］.地震地质，9（2）：27-37.
张国民，张培震.2000.大陆强震机理与预测中期学术进展［J］.中国基础科学，（10）：4-10.
张培震，邓起东，张国民，等.2003.中国大陆的强震活动与活动地块［J］.中国科学（D辑），33（增刊）：12-20.
中国地震局震害防御司.1995.中国历史强震目录（公元前23世纪—公元1911年）［M］.北京：地震出版社.
Benioff H.1951.Crustal strain characteristics derived from earthquake sequences［J］.Trans Amer Geophy Union，32（4）：203-208.
Logan B.1977.Information in the zero-crossirig of bandpass signals［J］.Bell Syst Tech J，56，510-532.
Mallat S.1991.Zero-crossing of a wavelet transform［J］.IEEE Trans，IT-37（1）：1019-1033.
Mallat S，Hwang W L .1992.Singularity detection and processing with wavelets［J］.IEEE Trans AMS，IT-38：617-643.
Research on the Characteristics of Seismic Activity in North
China Using Wavelet Transform
ZHANG Xiaotao1，2，FENG Xiangdong3，ZHANG Yuegang3，
ZHANG Shuangfeng1，YANG Yaqiong3，HAN Liping1
（1.Central Seismic station of Handan，Earthquake Administration of Hebei Province，Handan 056001，Hebei，China）
（2.Jilin University，Changchun 130026，Jilin，China）
（3.Earthquake Administration of Hebei Province，Shijiazhuang 050021，Hebei，China）
Abstract:Referring to the M≥5.0 earthquakes from 1500 to 2000 and the M≥4.0 earthquakes from 1970 to 2009 in North China，we analyze the Benioff strain using wavelet transform in various scales.Analysis shows that on a centuryscale the M≥5.0 earthquakeactivity period has just finished and now the stress is accumulating.And since 1970 there has existed activity cycle of about 7 years for the M≥4.0 earthquakes;now the M≥4.0 significant earthquakeactivity period is beginning in North China.
Key words：Benioff strain；wavelet transform；seismic active period；seismic quiet period；North China