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经验是数学的基础，问题是数学的心脏，思考是数学的核心，发展是数学的目标，思想方法是数学的灵魂，是知识转化为能力的桥梁. 在概率知识中蕴含着丰富的数学思想，运用这些数学思想，不仅可使我们深刻理解和掌握概率的基础知识，而且可以使我们学会用数学思想进行推理，为解决数学问题起到促进和深化的作用.
一、 建模思想
经过七年级、八年级的学习，我们已经具备了一些概率模型，如抛硬币、摸小球、掷骰子等，现实生活中抓阄、抽签等问题都可以转化为这样的数学模型，这样我们就可以用列表法或者画树状图的方法列出等可能的各种结果，求出随机事件的概率，从而也可判断游戏的公平性. 想一想，下面的问题可以转化为怎样的数学模型呢？
例1 只有一张电影票，小明和小丽用抽签的方法来决定谁可以去看电影，于是准备了两张相同的小纸条，一张写“去”，另一张写“不去”，谁抽到“去”，则这个人就去看电影，这种方法公平吗？
例2 我们用抽签的方法从3名同学中选一名去参加某音乐会. 事先准备3张相同的小纸条，并在1张纸条上画上记号，其余两张纸条不画. 把3张纸条放在一个盒子中搅匀，然后让3名同学去摸纸条，这种方法公平吗？
【分析】例1实际上就是：抛一枚硬币，求正面朝上（或反面朝上）的概率问题；例2可以转化为摸球问题，如：一只小袋子装有两个白球和一个红球，这三个球除了颜色外完全一样.甲、乙、丙三人依次从袋子中摸出一个球，求每人摸到红球的概率.
二、 数形结合的思想
有关概率的问题层出不穷，解决的方法也多种多样，我们常用的方法是列举法，即用列表或画树状图的方法来解决问题，这种图文并茂的解题方法直观形象地展示了随机事件的所有等可能结果，可以说是数形结合的完美体现，而现在又出现了很多概率问题与几何知识相结合的例子，真可谓是“数缺形时少直觉，形少数时难入微，数形结合百般好，隔断分家万事难”.
例3 如图，在方格纸中，△ABC的三个顶点及D，E，F，G，H五个点分别位于小正方形的顶点上.
（1） 现以D，E，F，G，H中的三个点为顶点画三角形，在所画的三角形中与△ABC不全等但面积相等的三角形是______；（只需要填一个三角形）
（2） 先从D，E两个点中任意取一个点，再从F，G，H三个点中任意取两个不同的点，以所取的这三个点为顶点画三角形，求所画三角形与△ABC面积相等的概率（用画树状图或列表格求解）.
【分析】（1） ∵△ABC的面积为×3×4=6，只有△DFG或△DHF的面积也为6且不与△ABC全等，故填△DFG或△DHF；
（2） 画树状图：
由树状图可知：共有六种等可能的结果，其中与△ABC面积相等的三角形有3种，即：△DFG、△DHF、△EGF，所以所画三角形与△ABC面积相等的概率P==.
三、 方程思想
方程思想是数学解题的重要思想方法，在解决概率问题时，如能根据题目中所给的数量关系，列出方程或方程组，则可使问题圆满解决.
例4 不透明的口袋里装有红、黄、蓝三种颜色的小球（除颜色外其余都相同），其中红球有两个，蓝球有一个，现从中任意摸出一个是红球的概率为.
（1） 求袋中黄球的个数；
（2） 第一次摸出一个球（不放回），第二次再摸一个球，请用画树状图或列表法求两次摸到都是红球的概率；
（3） 若规定摸到红球得5分，摸到黄球得3分，摸到蓝球得1分，小明共摸6次小球（每次摸一个球，摸后放回）得20分，问小明有哪几种摸法？
【分析】（1） 设口袋中黄球的个数为未知数m，根据摸到红球的概率=，列方程=，解得m=1；
（2） 通过列表或画树状图来计算两次都摸到红球的概率为；
（3） 设小明摸到红球有x次，摸到黄球有y次，则摸到蓝球有（6-x-y）次，根据摸到三种球的分数和等于20，列出关于x、y的二元一次方程5x+3y+（6-x-y）=20，即2x+y=7，所以y=7-2x，然后讨论二元一次方程组的自然数解的个数来确定摸法种数. 因为x、y、6-x-y均为自然数，当x=1时，y=5，6-x-y=0；当x=2时，y=3，6-x-y=1；当x=3时，y=1，6-x-y=2. 综上，小明共有三种摸法：摸到红、黄、蓝三种球分别为1次、5次、0次或2次、3次、1次或3次、1次、2次.
在“有形”的数学知识中，蕴含着“无形”的数学思想方法. 数学知识是一条明线，写在教材里；数学思想方法是一条暗线，体现在知识与技能的形成过程中. 若我们能在解决问题的过程中充分发挥数学思想方法的解题功能，不仅可少走弯路，而且还可大大提高我们的数学能力与综合素质. 通过以上问题的阐述，你是否已经掌握了这把开启数学神奇之门的金钥匙呢？
（作者单位：常熟市孝友中学）
一、 建模思想
经过七年级、八年级的学习，我们已经具备了一些概率模型，如抛硬币、摸小球、掷骰子等，现实生活中抓阄、抽签等问题都可以转化为这样的数学模型，这样我们就可以用列表法或者画树状图的方法列出等可能的各种结果，求出随机事件的概率，从而也可判断游戏的公平性. 想一想，下面的问题可以转化为怎样的数学模型呢？
例1 只有一张电影票，小明和小丽用抽签的方法来决定谁可以去看电影，于是准备了两张相同的小纸条，一张写“去”，另一张写“不去”，谁抽到“去”，则这个人就去看电影，这种方法公平吗？
例2 我们用抽签的方法从3名同学中选一名去参加某音乐会. 事先准备3张相同的小纸条，并在1张纸条上画上记号，其余两张纸条不画. 把3张纸条放在一个盒子中搅匀，然后让3名同学去摸纸条，这种方法公平吗？
【分析】例1实际上就是：抛一枚硬币，求正面朝上（或反面朝上）的概率问题；例2可以转化为摸球问题，如：一只小袋子装有两个白球和一个红球，这三个球除了颜色外完全一样.甲、乙、丙三人依次从袋子中摸出一个球，求每人摸到红球的概率.
二、 数形结合的思想
有关概率的问题层出不穷，解决的方法也多种多样，我们常用的方法是列举法，即用列表或画树状图的方法来解决问题，这种图文并茂的解题方法直观形象地展示了随机事件的所有等可能结果，可以说是数形结合的完美体现，而现在又出现了很多概率问题与几何知识相结合的例子，真可谓是“数缺形时少直觉，形少数时难入微，数形结合百般好，隔断分家万事难”.
例3 如图，在方格纸中，△ABC的三个顶点及D，E，F，G，H五个点分别位于小正方形的顶点上.
（1） 现以D，E，F，G，H中的三个点为顶点画三角形，在所画的三角形中与△ABC不全等但面积相等的三角形是______；（只需要填一个三角形）
（2） 先从D，E两个点中任意取一个点，再从F，G，H三个点中任意取两个不同的点，以所取的这三个点为顶点画三角形，求所画三角形与△ABC面积相等的概率（用画树状图或列表格求解）.
【分析】（1） ∵△ABC的面积为×3×4=6，只有△DFG或△DHF的面积也为6且不与△ABC全等，故填△DFG或△DHF；
（2） 画树状图：
由树状图可知：共有六种等可能的结果，其中与△ABC面积相等的三角形有3种，即：△DFG、△DHF、△EGF，所以所画三角形与△ABC面积相等的概率P==.
三、 方程思想
方程思想是数学解题的重要思想方法，在解决概率问题时，如能根据题目中所给的数量关系，列出方程或方程组，则可使问题圆满解决.
例4 不透明的口袋里装有红、黄、蓝三种颜色的小球（除颜色外其余都相同），其中红球有两个，蓝球有一个，现从中任意摸出一个是红球的概率为.
（1） 求袋中黄球的个数；
（2） 第一次摸出一个球（不放回），第二次再摸一个球，请用画树状图或列表法求两次摸到都是红球的概率；
（3） 若规定摸到红球得5分，摸到黄球得3分，摸到蓝球得1分，小明共摸6次小球（每次摸一个球，摸后放回）得20分，问小明有哪几种摸法？
【分析】（1） 设口袋中黄球的个数为未知数m，根据摸到红球的概率=，列方程=，解得m=1；
（2） 通过列表或画树状图来计算两次都摸到红球的概率为；
（3） 设小明摸到红球有x次，摸到黄球有y次，则摸到蓝球有（6-x-y）次，根据摸到三种球的分数和等于20，列出关于x、y的二元一次方程5x+3y+（6-x-y）=20，即2x+y=7，所以y=7-2x，然后讨论二元一次方程组的自然数解的个数来确定摸法种数. 因为x、y、6-x-y均为自然数，当x=1时，y=5，6-x-y=0；当x=2时，y=3，6-x-y=1；当x=3时，y=1，6-x-y=2. 综上，小明共有三种摸法：摸到红、黄、蓝三种球分别为1次、5次、0次或2次、3次、1次或3次、1次、2次.
在“有形”的数学知识中，蕴含着“无形”的数学思想方法. 数学知识是一条明线，写在教材里；数学思想方法是一条暗线，体现在知识与技能的形成过程中. 若我们能在解决问题的过程中充分发挥数学思想方法的解题功能，不仅可少走弯路，而且还可大大提高我们的数学能力与综合素质. 通过以上问题的阐述，你是否已经掌握了这把开启数学神奇之门的金钥匙呢？
（作者单位：常熟市孝友中学）