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〔关键词〕 转化思想；辅助命题；函数；代换
〔中图分类号〕 G633.62〔文献标识码〕 C
〔文章编号〕 1004—0463（2009）02（B）—0025—01
在解答高考数学试题时，学生常会遇到一些问题直接求解较为困难，需将原问题转化成一个新问题（相对来说，对自己较熟悉的），通过新问题的求解，从而达到解决原问题的目的.这一思想，我们称之为“转化思想”.
转化思想的特点是实现问题的规范化、模式化，以便应用已知的理论、方法和技巧达到问题的解决.下面谈谈在高考试题的求解过程中转化思想的运用.
借助辅助命题进行转化
对于某些数学问题，在求解时，如果缺乏现成的依据，不能由问题的条件简捷地推出其结论，那么，我们不妨构造或借用一个辅助命题作为依据.只要证明了这个辅助命题是真命题，以它为依据，就可以使原问题迎刃而 ∴常数项为20-5=15.
借助函数进行转化
有些数学问题，本身并无明显的函数关系，但经过仔细分析后，可以找到一个函数.通过对此函数的研究，并运用函数的有关性质，可以打通解题的思路.
例2（1993年全国高考题）已知关于x的实系数二次方程x2+ax+b=0有两个实数根?琢，?茁，证明：（1）如果|?琢|＜2，|?茁|＜2，那么2|a|＜4+b且|b|＜4；（2）如果2|a|＜4+b且|b|＜4，那么|?琢|＜2，|?茁|＜2.
分析：由于二次方程x2+ax+b=0的两个实数根为二次函数y=x2+ax+b的图象与x轴交点的横坐标，因此，本题可通过研究二次函数y=x2+ax+b的图象获解.
证明：（1）∵二次函数f（x）=x2+ax+b的开口向上，且|?琢|＜2，|?茁|＜2，故必有f（±2）＞0，即4+2a+b＞0，4－2a+b＞0. ∴ 2a＞-（4+b），2a＜4+b，∴ 2|a|＜4+b.
由韦达定理，得|b|=|α·β|＜4，即|b|＜4.
（2）由2|a|＜4+b，可得4+2a+b＞0，4-2a+b＞0.
∴ f （-2）＞0.
由f（x）=x2+ax+b的图象可知，f（x）=0的每个实根或者均在区间（－∞，－2）之内，或者均在区间（－2，2）之内，或者均在区间（2，+∞）之内.
若两根α，β均在区间（－∞，－2）之内，或者均在区间（2，+∞）之内，则有|α|＞2，|β|＞2，而|b|=|α·β|＞4，这与已知条件|b|＜4矛盾，所以α，β均在区间（－2，2）之内，即|α|＜2，|β|＜2.
借助方程（组）进行转化
方程（组）是数学解题中的一个极为重要的解题工具.在解决某些数学问题时，可直接运用方程的某些性质，或可先设定一些未知数，根据题 设本身各数量之间的制约关系，列出方程，求得未知数.
例3（2002年高考题）点P（1，0）到曲线x=t2y=2t（其中参数t∈R）上的点的最短距离为（ ）.
解析：反函数的参数方程可转化为直角坐标系的抛物线方程y2=4x，而点P（1，0）又恰好是此抛物线的焦点F（1，0），显然，焦点到抛物线的顶点（0，0）的距离最短，故选B.
借助代换进行转化
解：对于△ABC有余弦定理c2=a2+b2－2abcosC，又由正弦定理得a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，故有sin2A+sin2B－2sinAsinBcosC=sin2C.在上式
〔中图分类号〕 G633.62〔文献标识码〕 C
〔文章编号〕 1004—0463（2009）02（B）—0025—01
在解答高考数学试题时，学生常会遇到一些问题直接求解较为困难，需将原问题转化成一个新问题（相对来说，对自己较熟悉的），通过新问题的求解，从而达到解决原问题的目的.这一思想，我们称之为“转化思想”.
转化思想的特点是实现问题的规范化、模式化，以便应用已知的理论、方法和技巧达到问题的解决.下面谈谈在高考试题的求解过程中转化思想的运用.
借助辅助命题进行转化
对于某些数学问题，在求解时，如果缺乏现成的依据，不能由问题的条件简捷地推出其结论，那么，我们不妨构造或借用一个辅助命题作为依据.只要证明了这个辅助命题是真命题，以它为依据，就可以使原问题迎刃而 ∴常数项为20-5=15.
借助函数进行转化
有些数学问题，本身并无明显的函数关系，但经过仔细分析后，可以找到一个函数.通过对此函数的研究，并运用函数的有关性质，可以打通解题的思路.
例2（1993年全国高考题）已知关于x的实系数二次方程x2+ax+b=0有两个实数根?琢，?茁，证明：（1）如果|?琢|＜2，|?茁|＜2，那么2|a|＜4+b且|b|＜4；（2）如果2|a|＜4+b且|b|＜4，那么|?琢|＜2，|?茁|＜2.
分析：由于二次方程x2+ax+b=0的两个实数根为二次函数y=x2+ax+b的图象与x轴交点的横坐标，因此，本题可通过研究二次函数y=x2+ax+b的图象获解.
证明：（1）∵二次函数f（x）=x2+ax+b的开口向上，且|?琢|＜2，|?茁|＜2，故必有f（±2）＞0，即4+2a+b＞0，4－2a+b＞0. ∴ 2a＞-（4+b），2a＜4+b，∴ 2|a|＜4+b.
由韦达定理，得|b|=|α·β|＜4，即|b|＜4.
（2）由2|a|＜4+b，可得4+2a+b＞0，4-2a+b＞0.
∴ f （-2）＞0.
由f（x）=x2+ax+b的图象可知，f（x）=0的每个实根或者均在区间（－∞，－2）之内，或者均在区间（－2，2）之内，或者均在区间（2，+∞）之内.
若两根α，β均在区间（－∞，－2）之内，或者均在区间（2，+∞）之内，则有|α|＞2，|β|＞2，而|b|=|α·β|＞4，这与已知条件|b|＜4矛盾，所以α，β均在区间（－2，2）之内，即|α|＜2，|β|＜2.
借助方程（组）进行转化
方程（组）是数学解题中的一个极为重要的解题工具.在解决某些数学问题时，可直接运用方程的某些性质，或可先设定一些未知数，根据题 设本身各数量之间的制约关系，列出方程，求得未知数.
例3（2002年高考题）点P（1，0）到曲线x=t2y=2t（其中参数t∈R）上的点的最短距离为（ ）.
解析：反函数的参数方程可转化为直角坐标系的抛物线方程y2=4x，而点P（1，0）又恰好是此抛物线的焦点F（1，0），显然，焦点到抛物线的顶点（0，0）的距离最短，故选B.
借助代换进行转化
解：对于△ABC有余弦定理c2=a2+b2－2abcosC，又由正弦定理得a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，故有sin2A+sin2B－2sinAsinBcosC=sin2C.在上式