分段函数：对于自变量的不同的取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数.分段函数由几部分组成，但表示的是一个函数，所以，我们在研究分段函数性质时，一定要从整体上研究.在对分段函数的题型考察中，分段函数的各段你中有我，我中有你，很少孤立考察.现例析分段函数中常出现的题型，供大家参考.
　　一、求分段函数函数值
　　例1 设f （x）=
　　|x|-2 （|x≤1），
　　11+x2 （|x|>1），
　　则f （f （12））=（ ）
　　（A） 12 （B） 413 （C） -95 （D） 2541
　　解：由|12
　　|≤1，得f （12）=-32，则
　　f （f （12））=
　　f （-32）=
　　11+（-32）2=
　　413.应选（B）.
　　二、求分段函数值域
　　例2 已知函数f （x）=
　　3x+5，x≤0.
　　4x+3，0　　-2x+8，x≥1，
　　求函数f （x）的值域.
　　解：
　　图1
　　x≤0时，f （x）=3x+5∈（-∞，5]；0　　f （x）=4x+3∈（3，7）；x≥1时，f （x）=-2x+8∈（-∞，6].所以x∈
　　R时，f （x）的值是（-∞，7）.
　　本题也可以根据函数图象判断，如图1.
　　三、求分段函数解析式
　　例3 已知函数f （x）=2x-1，
　　g （x）=
　　x2（x≥0），
　　-1（x<0），
　　求g[f （x）]的表达式.
　　解：当
　　f （x）=2x-1≥0，即
　　x≥12时，g[f （x）]=（2x-1）2；当
　　f （x）<0，即
　　x<12时，
　　g[f （x）]=-1，
　　所以
　　g[f （x）]=
　　（2x-1）2 （x≥12），
　　-1 （x<12）.
　　四、分段函数单调性
　　例4 已知函数f （x）=
　　2x2-8a+3 （x<1），
　　logax （x≥1）
　　在x∈
　　R
　　上单调递减，求a的取值范围.
　　解：函数
　　f （x）在
　　R上单调递减，当
　　x<1时，
　　f （x）=2x2-8a+3为减函数，则
　　2a≥1，a≥12；
　　x≥1时，f （x）=logax为减函数，则0　　2-8a+3≥0，得
　　a≤58.
　　综上知
　　12≤a≤58.
　　五、分段函数奇偶性
　　例5 判断函数f （x）=
　　x2+x （x<0），
　　-x2+x （x>0）
　　的奇偶性并证明.
　　解：函数f （x）为奇函数.
　　f （-x）=
　　（-x）2+（-x）（-x<0），
　　-（-x）2+（-x）（-x>0）
　　=
　　x2-x（x>0），
　　-x2-x（x<0）
　　=
　　-x2-x（x<0），
　　x2-x（x>0）.
　　又
　　-f （x）=
　　-x2-x （x<0），
　　x2-x （x>0），
　　得
　　f （-x）=-f （x）
　　，所以函数
　　f （x）为奇函数.
　　六、分段函数周期性
　　例6 定义在
　　R上的函数f （x）满足，
　　f （x）=
　　log2（1-x） （x≤0），
　　f （x-1）-f （x-2）（x>0），
　　则f （2009）的值为.
　　解：当x>0时，f （x）=f （x-1）-f （x-2），同理
　　f （x+1）=f （x）-f （x-1），有
　　f （x+1）=-f （x-2），即
　　f （x+3）=-f （x）.所以
　　f （x+6）=-f （x+3）=f （x），周期T=6.故
　　f （2009）=f （334×6+5）=f （5）=f （-1）=log 22=1.
　　七、解方程
　　例7 设f （x）=
　　x+2，x≤-1，
　　2x，-1　　x2-6，x≥2，
　　若
　　f （x）=3，则x=.
　　解：
　　x≤-1时，
　　x+2=3，x=1>-1，舍.
　　-1　　时，2x=3，x=32∈（-1，2）.
　　x>2时，x2-6=3，x=3或-3.因为3>2，所以x=3.
　　综上知
　　x=32
　　或x=3.