论文部分内容阅读
【摘 要】数学知识之间具有内在的、紧密的联系，数学知识发展的过程就是一个类比、推广、特殊化等化归与转化的过程。数学问题解决的过程，本质上也是不断地化归与转化的过程。因此，化归与转化是数学学科特有的一种学习策略，有利于学生数学核心素养的培养。研究者以人教版教科书正弦定理和余弦定理证明过程为例，说明如何运用化归与转化学习策略培养学生的数学核心素养。
【关键词】化归与转化;数学思维;学习策略;核心素养
【作者简介】师轶，正高级教师，广西数学特级教师。
【基金项目】广西教育科学“十三五”规划课题“基于核心素养的高中数学学习策略研究”（2017A004）
数学学习的本质是对数学思维方式的学习。学而不思则罔，学生只有通过自己的独立思考，并掌握科学的思维方法才能真正学好数学。数学学习必须从数学知识发生发展的思维过程、数学性质的合理猜想与论证的思维过程出发，让学生学会用抽象、概括、分析、综合、化归、转化等数学思维方法去思考问题、解决问题。只有运用数学的思维方法进行数学学习，才能有效锻炼数学思维能力，才能学会用数学的眼光观察世界，用数学的思维思考世界，用数学的语言表达世界。可见，数学学习主要是通过数学思维活动来实现的，数学学习的过程就是以数学知识为载体对学生进行系统的数学思维训练的过程。学会运用数学思维方式进行数学学习是高中数学学习策略的核心。因此，笔者认为，高中数学学习策略，就是在数学思想的指导下，运用数学思维方式进行高中数学学习（考察数学对象、认识数学本质、把握数学规律）的策略。
一、化归与转化学习策略的内涵
化归与转化思想是高中数学基本思想之一。数形结合的思想、函数与方程的思想、分类讨论的思想、一般与特殊的思想等都是化归与转化思想的具体体现，各种变换的方法、分析法、待定系数法、参数法、换元法、反证法、解析法、向量法等都是转化的手段。数学问题解决的过程，就是不断地化归与转化的过程，几乎所有数学问题的解决都离不开化归与转化。因此，数学活动的实质就是数学思维的转化过程。
胡炯涛提出了十个基本数学思想，他认为化归法是一种哲学方法，是一种更为一般的数学思想[1]。任子朝将数学思想方法划分为三个层次：一是数学思想，如数形结合的思想、分类讨论的思想、函数与方程的思想等;二是数学中的逻辑方法，如分析法、综合法、归纳法等;三是具体的数学方法，如配方法、换元法、参数法等。[2]
可见，化归与转化不仅具有哲学层面的数学思想的特点，也具有逻辑学层面的思维方法的特点，还具有操作层面的具体数学方法的特点。化归与转化是数学学科特有的一种学习策略。
化归，就是把待解决的问题通过某种转化过程归结为一类已经解决或比较容易解决的问题。转化，就是将数学问题（命题）由一种形式向另一种形式变换的过程。
化归与转化的学习策略，是指运用化归与转化的思维方式学习数学知识、解决数学问题的一种策略。
二、运用化归与转化学习策略培养数学核心素养
运用化归与转化学习策略，可以发现知识之间的联系，建立知识结构，完善数学知识体系，也可以通过细致观察、合理联想、知识提取、信息加工、思路选择、缜密推理等思维过程，解决数学问题。因此，运用化归与转化的学习策略，能够较好地落实数学核心素养的培养。下面以人教版教科书正弦定理和余弦定理的发现与证明过程的学习为例，说明如何运用化归与转化学习策略培养学生的数学核心素养。
（一）在定理发现与证明的过程中，运用化归与转化策略培养数学核心素养
1.提出一般性问题，培养数学抽象素养
人教社A版高中数学教科书必修5第一章的“正弦定理”首先提出一般性的抽象问题：我们知道，在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系。我们是否能得到这个边、角关系准确量化的表示呢？
教材不是提出特殊的具体问题，而是提出一般性的抽象问题，有利于启发学生从宏观的、整体的角度去思考问题，探究一般性的联系、结论和规律，引导学生学会如何思考抽象问题，以及从哪些方面入手，逐步把抽象问题转化为具体问题，运用化归与转化的学习策略培养学生的数学抽象素养。
2.问题数学化，培养数学抽象素养
教材通过符号化，把上面一般性的问题数学化，用符号重新表征，将问题转化为一个数学问题：在△ABC中，如果已知∠A所对的边BC长为a，∠B所对的边AC长为b，∠C所对的边AB长为c，我们研究∠A，∠B，∠C，a，b，c之间有怎样的数量关系。
文字语言比较形象，而符号语言比较抽象。将文字语言转化为符号语言，将一般性问题通过数学化转化为数学问题，这是运用化归与转化学习策略解决数学问题的基本思路。把一般性的问题数学化有利于联系有关数学知识，有利于探究具有具体意义的符号之间的关系，让思维有了抓手，培养学生的数学抽象和逻辑推理素养。
3.分类转化，培养逻辑推理素养
教材對该数学问题进行分类转化：一般三角形分为直角三角形、锐角三角形和钝角三角形。由于我们不容易直接得到一般三角形中边和角的数量关系，因此，我们可以尝试分类探究，优先考虑直角三角形，寻求突破。
在此，教材运用分类转化的策略将一般三角形的问题分解为几类特殊三角形的问题，先从最简单的情形入手得到结论，再将其他情形转化为最简单的情形，逐个突破得到一般性结论，有利于培养学生的逻辑推理素养。
4.数形转化，培养直观想象素养
教材画出了一个Rt△ABC的图形（如图1），其中∠C=90°。要考虑边长之间的数量关系，联想到锐角三角函数的定义，根据正弦函数的定义，有ac=sinA，bc=sinB。
图1
图2
当△ABC是锐角三角形时，如图2，教材通过作AB边上的高，将锐角三角形化归为直角三角形，再根据三角函数的定义，得出结论;当△ABC是钝角三角形时，通过作高转化，同理可以证明结论成立。 在这里教材运用了数形转化的策略，将“数”的问题转化为“形”的问题，先是借助几何直观观察直角三角形中边角的关系，联想到正弦函数的定义，发现结论;再对非直角三角形通过作高转化为直角三角形，运用同样的知识和方法得到结论。教材把直观想象素养的培养落实在对图形进行观察、分析、联想、变化等过程之中，把逻辑推理素养的培养落实在结论的推导过程之中。
5.类比转化，培养数学抽象素养
教材在余弦定理部分先分析正弦定理所能解决的问题类型，再通过类比提出以下新问题。
如果已知一个三角形的两条边及其所夹的角，那么如何求出三角形的另一边和另两个角呢？
该问题是正弦定理解决不了的问题，必须寻找新的思路：先考虑怎样计算出三角形第三条边的长，把问题转化为如何用已知的两条边及其所夹的角来表示第三条边。即在△ABC中，已知两边的长BC=a，AC=b，边BC和边AC所夹的角是∠C。求第三边c。
分析已有知识的特点和用途，通过类比提出新问题，将新问题符号化、數学化，这有利于培养学生的数学抽象、逻辑推理等核心素养。
6.向量转化，培养数学运算素养
由于涉及边长的问题，于是会联想到利用向量的模、向量的数量积来研究这个问题。
如图3，设CB=a，CA=b，AB=c，根据向量减法法则，有c=a-b。
c2=c·c=（a-b）·（a-b）
=a·a+b·b-2a·b
=a2+b2-2abcosC。
图3
所以c2=a2+b2-2abcosC。
同样可以证明：a2=b2+c2-2bccosA，b2=c2+a2-2accosB。
于是，得到余弦定理。
证明余弦定理的过程中，教材通过将三角形的边向量化，以向量作为工具，把所要解决的问题转化为向量的运算问题，通过向量的运算使问题得到解决，把数学运算素养的培养落实在向量化、向量运算、概括结论等问题解决的过程之中。
（二）在定理形式变换的过程中，运用化归与转化的学习策略培养数学核心素养
在得出定理之后，教师运用化归与转化的学习策略，对定理的形式进行变换，引导学生学会从不同的侧面观察、阅读、理解定理，加深学生对定理的理解，提高学生的数学能力，落实数学核心素养的培养。
1.恒等变换，培养逻辑推理素养
恒等变换是一种只变其形不变其质的化归与转化，目的是为了从“好”的形式看出其本质。如因式分解、代数的恒等变换、三角函数的恒等变换、方程的同解变形、一组数据的不同形式的组合;等等。这些恒等变换根据变换对象的不同，有利于学生数学核心素养的培养。
对正弦定理asinA=bsinB=csinC=2R进行变形，可以得到正弦定理的推论：a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，或者sinA=a2R，sinB=b2R，sinC=c2R。这样的恒等变形能够实现边与角的互相转化。
对余弦定理a2=b2+c2-2bccosA进行变形，可得到cosA=b2+c2-a22bc。同理，还可以得到余弦定理的其他两个推论。在这里，恒等变换帮助我们发现余弦定理的推论。
在余弦定理中，若∠C=90°，则有c2=a2+b2，这是勾股定理。勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系。从余弦定理和余弦函数的性质可知，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角;如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角;如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角。因此，余弦定理是勾股定理的推广。可见，这样的恒等变换，有利于培养学生的逻辑推理素养。
2.语言变换，培养数学抽象等核心素养
正弦定理和余弦定理有文字语言和符号语言两种形式，在学习和应用这两个定理时，要考虑已知条件和所求元素的情况合理选择表达形式，才能够准确自如地在两种语言之间实现转化。
文字语言、图形语言、符号语言是数学语言的三种基本形式。培养和发展学生运用三种数学语言进行交流是高中数学课程标准的基本要求，是培养学生数学核心素养的主要途径。运用化归与转化的学习策略进行数学语言之间的转化时，要注意培养文字语言的自然性、图形语言的直观性和符号语言的准确性，对任何一种语言都能运用另外两种语言进行准确的描述与刻画，培养三种数学语言灵活互译的能力，并且在数学语言之间变换的过程中落实数学抽象、逻辑推理、直观想象等核心素养。
3.图形变换，培养直观想象素养
在证明正弦定理的过程中，教材为了将锐角三角形化归为直角三角形，运用了作高转化，即作出三角形某条边上的高，将锐角三角形转化为直角三角形，从而得到结论，实现了陌生问题向熟悉问题的化归与转化。
其实，作高转化是图形变换的一种技巧。图形变换的技巧还有作辅助线、作辅助图、等积变换（等面积、等体积）、折叠、展开、切割、补形、组合、平移、对称、翻转、旋转等。
联想到与三角形有关联的图形有三角形的外接圆和内切圆。下面先研究三角形的外接圆。
例1 在△ABC中，如果已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的外接圆半径是R，那么asinA=bsinB=csinC=2R。
可见，运用正弦定理可以求得三角形外接圆半径的长。那么，如何求三角形内切圆半径的长度呢？
例2 在△ABC中，如果已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，求△ABC的内切圆半径r。 如图4，将△ABC的内心O与各顶点连接，将原三角形分割成三个小三角形：△OAB，△OBC，△OCA，则
S=S△OAB+S△OBC+S△OCA
图4
=12rc+12ra+12rb
=12r（a+b+c），
∴r=2Sa+b+c。
该题通过三角形的外接圆与内切圆等辅助图形的转化，不仅把正弦定理进行了推广，还得到了三角形的边、角与其他元素之间的一些基本关系式，使得对正弦定理的研究更加系统、更加完整。可见，通过图形变换实施化归与转化的策略，有利于培养学生直观想象、逻辑推理等核心素养。
4.联想变换，培养数学建模素养
余弦定理主要用于求解三角形的有关问题。由于它是一个二次三项式的结构，与代数中的重要模型“a2+b2±ab”的结构非常相似，这样就可以通过配方法将二次三项式模型转化为完全平方模型来实现模型转化，或者通过构造法将二次三项式模型转化为余弦定理模型来实现模型转化。
例3 设a>b>0，c>b>0，求证：a2-ab+b2+b2-bc+c2≥a2+ac+c2。
分析：a2-ab+b2，b2-bc+c2，a2+ac+c2与余弦定理的形式相似，
∵a2-ab+b2=a2-2abcos60°+b2，b2-bc+c2=b2-2bccos60°+c2，a2+ac+c2=a2-2accos120°+c2，
于是可構造出以a、b为两边，夹角为60°的△ABD;以b、c为两边，夹角为60°的△DAC;以a、c为两边，夹角为120°的△ABC。由此，问题将转化为三角形三边之间的关系问题。
解：构造如图5所示的平面图形。
图5
则BD=a2+b2-2abcos60°=a2-ab+b2，
DC=b2+c2-2bccos60°=b2-bc+c2，
BC=a2+c2-2ac·cos120°=a2+ac+c2。
在△BDC中，因为BD+DC>BC，
所以，a2-ab+b2+b2-bc+c2>a2+ac+c2。
若D在BC上，则BD+DC=BC，即a2-ab+b2+b2-bc+c2=a2+ac+c2。
综上可知，a2-ab+b2+b2-bc+c2≥a2+ac+c2。
对定理的模型（结构）越熟悉、认识得越深刻，就越容易产生联想，越容易实现化归与转化。对同一个数学模型（结构）从不同的角度进行分析，对不同的数学模型（结构）不断地进行比较、提炼，形成新的、更广的模型（结构），有利于深化对这些数学模型（结构）的认识，有利于实现模型（结构）之间的化归与转化，有利于培养学生的数学建模、逻辑推理、数学抽象等核心素养。
5.元素变换，培养数学抽象素养
正弦定理的结构是一个连比型的比例式结构，即每个分式的分子都是边长，分母是该边所对角的正弦;余弦定理是二次型的结构，即三项都是二次的，两项是平方和，一项是乘积的两倍。从正弦定理和余弦定理中的某一个式子出发，对其元素按照a→b→c→a及A→B→C→A的顺序同时进行轮换，就可以得到其他的公式。这体现了正弦定理和余弦定理具有数学的对称美和轮换对称美。
利用三角形的外接圆可以发现，正弦定理中比例的值恰恰是三角形外接圆直径的长度;勾股定理是余弦定理的特殊形式，余弦定理是勾股定理的推广。这些都体现了数学的统一美。
通过外接圆的直径2R，正弦定理可以实现边与角的转化;利用余弦定理及其推论也可以实现边与角的转化。这就为我们解三角形问题提供了三种化归与转化的思路：边化角，角化边，或边角同时互化，体现了数学的和谐美。
对数学结构从不同的侧面、不同的角度进行解读、欣赏，会感受到数学美的不同表现形式，这就需要发挥观察、分析、想象、联想、类比、化归、推理、重构等数学思维的作用，培养学生的数学抽象、数学建模、逻辑推理、直观想象等核心素养。
（三）在提炼数学方法的过程中，运用化归与转化的学习策略培养数学核心素养
教材在证明余弦定理时，将三角形的边转化为向量，通过向量的数量积以及向量模的概念，把几何证明问题化归为向量的运算问题。由此可以抽象概括出一种重要的数学方法——向量法。
向量既是代数的对象，又是几何的对象，它是沟通代数、几何与三角的桥梁，也是化归与转化数学问题、解决数学问题的重要工具。
利用向量法进行化归与转化，其实质是通过向量运算进行逻辑推理。推理的思路相对单一，就是把问题向量化;推理的步骤相对固定，就是实施向量运算;推理的结论可靠，就在于运算步骤的准确性。运用向量法进行化归与转化，包括将问题向量化、实施向量运算、抽象概括结论三个步骤。
1.将问题向量化，培养数学建模素养
对问题进行向量化的过程，就是构建向量模型的过程。例如，向量加法与向量减法的几何模型、数乘向量的几何意义模型、向量模的公式模型、向量的模与向量运算的公式模型、向量数量积的模型。在这个向量化的过程中，需要根据问题中数学对象的结构特点，联想向量的有关知识，将数学对象抽象为向量的某个模型，再运用这个模型进行计算。因此，将问题向量化的过程，有利于培养学生数学建模、数学抽象的核心素养。
2.实施向量运算，培养数学运算素养
实施向量运算，就是根据向量的运算法则，对构建出来的向量模型中的有关向量实施运算，这是一个利用运算进行推理的过程。要注意运算的条件、运算的方向、运算的方法、运算的准确性，这也是一个培养数学运算的合理性、精细性、准确性素养的过程。
3.抽象概括结论，培养数学抽象素养
抽象概括结论的过程，就是对实施向量运算得到的结果做出符合题意或者实际的解释，添加限制条件（如漏解）或者删除多余结论（如增解），从而归结出原问题的结论。这样的化归与转化的过程，有利于培养学生数学抽象、逻辑推理等核心素养。
向量法在数学中的运用非常广泛。运用向量法可以证明立体几何中的平行、垂直问题，求空间角、空间距离，证明正弦定理、余弦定理、射影定理、三垂线定理、线面平行或垂直的判定定理等。
三、结语
运用化归与转化学习策略进行数学学习，有助于提高学生对数学的整体认识，通过对新知识的特殊化发现与已有知识的联系，对新知识的推广探求新的事实和论证猜想，以及对新知识的类比提出新的探究问题，使不同模块的数学知识相互沟通。在学习中，学生体会数学探索活动的基本规律，逐步学会借助数学符号和逻辑关系进行抽象思维、数学推理和探究，养成逻辑思维的习惯，能够有条理地、符合逻辑地进行思考、推理、表达和交流，从而发展学生处理相应的数学关系的悟性和潜能，把培养学生数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等核心素养落实在化归与转化的过程中。
参考文献：
[1]胡炯涛.数学教学论[M].南宁：广西教育出版社，1996.
[2]任子朝.改进高考命题 推进素质教育：数学高考命题回顾与展望[J].中学数学月刊，1997（9）：1-3.
（责任编辑：陆顺演）
【关键词】化归与转化;数学思维;学习策略;核心素养
【作者简介】师轶，正高级教师，广西数学特级教师。
【基金项目】广西教育科学“十三五”规划课题“基于核心素养的高中数学学习策略研究”（2017A004）
数学学习的本质是对数学思维方式的学习。学而不思则罔，学生只有通过自己的独立思考，并掌握科学的思维方法才能真正学好数学。数学学习必须从数学知识发生发展的思维过程、数学性质的合理猜想与论证的思维过程出发，让学生学会用抽象、概括、分析、综合、化归、转化等数学思维方法去思考问题、解决问题。只有运用数学的思维方法进行数学学习，才能有效锻炼数学思维能力，才能学会用数学的眼光观察世界，用数学的思维思考世界，用数学的语言表达世界。可见，数学学习主要是通过数学思维活动来实现的，数学学习的过程就是以数学知识为载体对学生进行系统的数学思维训练的过程。学会运用数学思维方式进行数学学习是高中数学学习策略的核心。因此，笔者认为，高中数学学习策略，就是在数学思想的指导下，运用数学思维方式进行高中数学学习（考察数学对象、认识数学本质、把握数学规律）的策略。
一、化归与转化学习策略的内涵
化归与转化思想是高中数学基本思想之一。数形结合的思想、函数与方程的思想、分类讨论的思想、一般与特殊的思想等都是化归与转化思想的具体体现，各种变换的方法、分析法、待定系数法、参数法、换元法、反证法、解析法、向量法等都是转化的手段。数学问题解决的过程，就是不断地化归与转化的过程，几乎所有数学问题的解决都离不开化归与转化。因此，数学活动的实质就是数学思维的转化过程。
胡炯涛提出了十个基本数学思想，他认为化归法是一种哲学方法，是一种更为一般的数学思想[1]。任子朝将数学思想方法划分为三个层次：一是数学思想，如数形结合的思想、分类讨论的思想、函数与方程的思想等;二是数学中的逻辑方法，如分析法、综合法、归纳法等;三是具体的数学方法，如配方法、换元法、参数法等。[2]
可见，化归与转化不仅具有哲学层面的数学思想的特点，也具有逻辑学层面的思维方法的特点，还具有操作层面的具体数学方法的特点。化归与转化是数学学科特有的一种学习策略。
化归，就是把待解决的问题通过某种转化过程归结为一类已经解决或比较容易解决的问题。转化，就是将数学问题（命题）由一种形式向另一种形式变换的过程。
化归与转化的学习策略，是指运用化归与转化的思维方式学习数学知识、解决数学问题的一种策略。
二、运用化归与转化学习策略培养数学核心素养
运用化归与转化学习策略，可以发现知识之间的联系，建立知识结构，完善数学知识体系，也可以通过细致观察、合理联想、知识提取、信息加工、思路选择、缜密推理等思维过程，解决数学问题。因此，运用化归与转化的学习策略，能够较好地落实数学核心素养的培养。下面以人教版教科书正弦定理和余弦定理的发现与证明过程的学习为例，说明如何运用化归与转化学习策略培养学生的数学核心素养。
（一）在定理发现与证明的过程中，运用化归与转化策略培养数学核心素养
1.提出一般性问题，培养数学抽象素养
人教社A版高中数学教科书必修5第一章的“正弦定理”首先提出一般性的抽象问题：我们知道，在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系。我们是否能得到这个边、角关系准确量化的表示呢？
教材不是提出特殊的具体问题，而是提出一般性的抽象问题，有利于启发学生从宏观的、整体的角度去思考问题，探究一般性的联系、结论和规律，引导学生学会如何思考抽象问题，以及从哪些方面入手，逐步把抽象问题转化为具体问题，运用化归与转化的学习策略培养学生的数学抽象素养。
2.问题数学化，培养数学抽象素养
教材通过符号化，把上面一般性的问题数学化，用符号重新表征，将问题转化为一个数学问题：在△ABC中，如果已知∠A所对的边BC长为a，∠B所对的边AC长为b，∠C所对的边AB长为c，我们研究∠A，∠B，∠C，a，b，c之间有怎样的数量关系。
文字语言比较形象，而符号语言比较抽象。将文字语言转化为符号语言，将一般性问题通过数学化转化为数学问题，这是运用化归与转化学习策略解决数学问题的基本思路。把一般性的问题数学化有利于联系有关数学知识，有利于探究具有具体意义的符号之间的关系，让思维有了抓手，培养学生的数学抽象和逻辑推理素养。
3.分类转化，培养逻辑推理素养
教材對该数学问题进行分类转化：一般三角形分为直角三角形、锐角三角形和钝角三角形。由于我们不容易直接得到一般三角形中边和角的数量关系，因此，我们可以尝试分类探究，优先考虑直角三角形，寻求突破。
在此，教材运用分类转化的策略将一般三角形的问题分解为几类特殊三角形的问题，先从最简单的情形入手得到结论，再将其他情形转化为最简单的情形，逐个突破得到一般性结论，有利于培养学生的逻辑推理素养。
4.数形转化，培养直观想象素养
教材画出了一个Rt△ABC的图形（如图1），其中∠C=90°。要考虑边长之间的数量关系，联想到锐角三角函数的定义，根据正弦函数的定义，有ac=sinA，bc=sinB。
图1
图2
当△ABC是锐角三角形时，如图2，教材通过作AB边上的高，将锐角三角形化归为直角三角形，再根据三角函数的定义，得出结论;当△ABC是钝角三角形时，通过作高转化，同理可以证明结论成立。 在这里教材运用了数形转化的策略，将“数”的问题转化为“形”的问题，先是借助几何直观观察直角三角形中边角的关系，联想到正弦函数的定义，发现结论;再对非直角三角形通过作高转化为直角三角形，运用同样的知识和方法得到结论。教材把直观想象素养的培养落实在对图形进行观察、分析、联想、变化等过程之中，把逻辑推理素养的培养落实在结论的推导过程之中。
5.类比转化，培养数学抽象素养
教材在余弦定理部分先分析正弦定理所能解决的问题类型，再通过类比提出以下新问题。
如果已知一个三角形的两条边及其所夹的角，那么如何求出三角形的另一边和另两个角呢？
该问题是正弦定理解决不了的问题，必须寻找新的思路：先考虑怎样计算出三角形第三条边的长，把问题转化为如何用已知的两条边及其所夹的角来表示第三条边。即在△ABC中，已知两边的长BC=a，AC=b，边BC和边AC所夹的角是∠C。求第三边c。
分析已有知识的特点和用途，通过类比提出新问题，将新问题符号化、數学化，这有利于培养学生的数学抽象、逻辑推理等核心素养。
6.向量转化，培养数学运算素养
由于涉及边长的问题，于是会联想到利用向量的模、向量的数量积来研究这个问题。
如图3，设CB=a，CA=b，AB=c，根据向量减法法则，有c=a-b。
c2=c·c=（a-b）·（a-b）
=a·a+b·b-2a·b
=a2+b2-2abcosC。
图3
所以c2=a2+b2-2abcosC。
同样可以证明：a2=b2+c2-2bccosA，b2=c2+a2-2accosB。
于是，得到余弦定理。
证明余弦定理的过程中，教材通过将三角形的边向量化，以向量作为工具，把所要解决的问题转化为向量的运算问题，通过向量的运算使问题得到解决，把数学运算素养的培养落实在向量化、向量运算、概括结论等问题解决的过程之中。
（二）在定理形式变换的过程中，运用化归与转化的学习策略培养数学核心素养
在得出定理之后，教师运用化归与转化的学习策略，对定理的形式进行变换，引导学生学会从不同的侧面观察、阅读、理解定理，加深学生对定理的理解，提高学生的数学能力，落实数学核心素养的培养。
1.恒等变换，培养逻辑推理素养
恒等变换是一种只变其形不变其质的化归与转化，目的是为了从“好”的形式看出其本质。如因式分解、代数的恒等变换、三角函数的恒等变换、方程的同解变形、一组数据的不同形式的组合;等等。这些恒等变换根据变换对象的不同，有利于学生数学核心素养的培养。
对正弦定理asinA=bsinB=csinC=2R进行变形，可以得到正弦定理的推论：a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，或者sinA=a2R，sinB=b2R，sinC=c2R。这样的恒等变形能够实现边与角的互相转化。
对余弦定理a2=b2+c2-2bccosA进行变形，可得到cosA=b2+c2-a22bc。同理，还可以得到余弦定理的其他两个推论。在这里，恒等变换帮助我们发现余弦定理的推论。
在余弦定理中，若∠C=90°，则有c2=a2+b2，这是勾股定理。勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系。从余弦定理和余弦函数的性质可知，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角;如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角;如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角。因此，余弦定理是勾股定理的推广。可见，这样的恒等变换，有利于培养学生的逻辑推理素养。
2.语言变换，培养数学抽象等核心素养
正弦定理和余弦定理有文字语言和符号语言两种形式，在学习和应用这两个定理时，要考虑已知条件和所求元素的情况合理选择表达形式，才能够准确自如地在两种语言之间实现转化。
文字语言、图形语言、符号语言是数学语言的三种基本形式。培养和发展学生运用三种数学语言进行交流是高中数学课程标准的基本要求，是培养学生数学核心素养的主要途径。运用化归与转化的学习策略进行数学语言之间的转化时，要注意培养文字语言的自然性、图形语言的直观性和符号语言的准确性，对任何一种语言都能运用另外两种语言进行准确的描述与刻画，培养三种数学语言灵活互译的能力，并且在数学语言之间变换的过程中落实数学抽象、逻辑推理、直观想象等核心素养。
3.图形变换，培养直观想象素养
在证明正弦定理的过程中，教材为了将锐角三角形化归为直角三角形，运用了作高转化，即作出三角形某条边上的高，将锐角三角形转化为直角三角形，从而得到结论，实现了陌生问题向熟悉问题的化归与转化。
其实，作高转化是图形变换的一种技巧。图形变换的技巧还有作辅助线、作辅助图、等积变换（等面积、等体积）、折叠、展开、切割、补形、组合、平移、对称、翻转、旋转等。
联想到与三角形有关联的图形有三角形的外接圆和内切圆。下面先研究三角形的外接圆。
例1 在△ABC中，如果已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的外接圆半径是R，那么asinA=bsinB=csinC=2R。
可见，运用正弦定理可以求得三角形外接圆半径的长。那么，如何求三角形内切圆半径的长度呢？
例2 在△ABC中，如果已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，求△ABC的内切圆半径r。 如图4，将△ABC的内心O与各顶点连接，将原三角形分割成三个小三角形：△OAB，△OBC，△OCA，则
S=S△OAB+S△OBC+S△OCA
图4
=12rc+12ra+12rb
=12r（a+b+c），
∴r=2Sa+b+c。
该题通过三角形的外接圆与内切圆等辅助图形的转化，不仅把正弦定理进行了推广，还得到了三角形的边、角与其他元素之间的一些基本关系式，使得对正弦定理的研究更加系统、更加完整。可见，通过图形变换实施化归与转化的策略，有利于培养学生直观想象、逻辑推理等核心素养。
4.联想变换，培养数学建模素养
余弦定理主要用于求解三角形的有关问题。由于它是一个二次三项式的结构，与代数中的重要模型“a2+b2±ab”的结构非常相似，这样就可以通过配方法将二次三项式模型转化为完全平方模型来实现模型转化，或者通过构造法将二次三项式模型转化为余弦定理模型来实现模型转化。
例3 设a>b>0，c>b>0，求证：a2-ab+b2+b2-bc+c2≥a2+ac+c2。
分析：a2-ab+b2，b2-bc+c2，a2+ac+c2与余弦定理的形式相似，
∵a2-ab+b2=a2-2abcos60°+b2，b2-bc+c2=b2-2bccos60°+c2，a2+ac+c2=a2-2accos120°+c2，
于是可構造出以a、b为两边，夹角为60°的△ABD;以b、c为两边，夹角为60°的△DAC;以a、c为两边，夹角为120°的△ABC。由此，问题将转化为三角形三边之间的关系问题。
解：构造如图5所示的平面图形。
图5
则BD=a2+b2-2abcos60°=a2-ab+b2，
DC=b2+c2-2bccos60°=b2-bc+c2，
BC=a2+c2-2ac·cos120°=a2+ac+c2。
在△BDC中，因为BD+DC>BC，
所以，a2-ab+b2+b2-bc+c2>a2+ac+c2。
若D在BC上，则BD+DC=BC，即a2-ab+b2+b2-bc+c2=a2+ac+c2。
综上可知，a2-ab+b2+b2-bc+c2≥a2+ac+c2。
对定理的模型（结构）越熟悉、认识得越深刻，就越容易产生联想，越容易实现化归与转化。对同一个数学模型（结构）从不同的角度进行分析，对不同的数学模型（结构）不断地进行比较、提炼，形成新的、更广的模型（结构），有利于深化对这些数学模型（结构）的认识，有利于实现模型（结构）之间的化归与转化，有利于培养学生的数学建模、逻辑推理、数学抽象等核心素养。
5.元素变换，培养数学抽象素养
正弦定理的结构是一个连比型的比例式结构，即每个分式的分子都是边长，分母是该边所对角的正弦;余弦定理是二次型的结构，即三项都是二次的，两项是平方和，一项是乘积的两倍。从正弦定理和余弦定理中的某一个式子出发，对其元素按照a→b→c→a及A→B→C→A的顺序同时进行轮换，就可以得到其他的公式。这体现了正弦定理和余弦定理具有数学的对称美和轮换对称美。
利用三角形的外接圆可以发现，正弦定理中比例的值恰恰是三角形外接圆直径的长度;勾股定理是余弦定理的特殊形式，余弦定理是勾股定理的推广。这些都体现了数学的统一美。
通过外接圆的直径2R，正弦定理可以实现边与角的转化;利用余弦定理及其推论也可以实现边与角的转化。这就为我们解三角形问题提供了三种化归与转化的思路：边化角，角化边，或边角同时互化，体现了数学的和谐美。
对数学结构从不同的侧面、不同的角度进行解读、欣赏，会感受到数学美的不同表现形式，这就需要发挥观察、分析、想象、联想、类比、化归、推理、重构等数学思维的作用，培养学生的数学抽象、数学建模、逻辑推理、直观想象等核心素养。
（三）在提炼数学方法的过程中，运用化归与转化的学习策略培养数学核心素养
教材在证明余弦定理时，将三角形的边转化为向量，通过向量的数量积以及向量模的概念，把几何证明问题化归为向量的运算问题。由此可以抽象概括出一种重要的数学方法——向量法。
向量既是代数的对象，又是几何的对象，它是沟通代数、几何与三角的桥梁，也是化归与转化数学问题、解决数学问题的重要工具。
利用向量法进行化归与转化，其实质是通过向量运算进行逻辑推理。推理的思路相对单一，就是把问题向量化;推理的步骤相对固定，就是实施向量运算;推理的结论可靠，就在于运算步骤的准确性。运用向量法进行化归与转化，包括将问题向量化、实施向量运算、抽象概括结论三个步骤。
1.将问题向量化，培养数学建模素养
对问题进行向量化的过程，就是构建向量模型的过程。例如，向量加法与向量减法的几何模型、数乘向量的几何意义模型、向量模的公式模型、向量的模与向量运算的公式模型、向量数量积的模型。在这个向量化的过程中，需要根据问题中数学对象的结构特点，联想向量的有关知识，将数学对象抽象为向量的某个模型，再运用这个模型进行计算。因此，将问题向量化的过程，有利于培养学生数学建模、数学抽象的核心素养。
2.实施向量运算，培养数学运算素养
实施向量运算，就是根据向量的运算法则，对构建出来的向量模型中的有关向量实施运算，这是一个利用运算进行推理的过程。要注意运算的条件、运算的方向、运算的方法、运算的准确性，这也是一个培养数学运算的合理性、精细性、准确性素养的过程。
3.抽象概括结论，培养数学抽象素养
抽象概括结论的过程，就是对实施向量运算得到的结果做出符合题意或者实际的解释，添加限制条件（如漏解）或者删除多余结论（如增解），从而归结出原问题的结论。这样的化归与转化的过程，有利于培养学生数学抽象、逻辑推理等核心素养。
向量法在数学中的运用非常广泛。运用向量法可以证明立体几何中的平行、垂直问题，求空间角、空间距离，证明正弦定理、余弦定理、射影定理、三垂线定理、线面平行或垂直的判定定理等。
三、结语
运用化归与转化学习策略进行数学学习，有助于提高学生对数学的整体认识，通过对新知识的特殊化发现与已有知识的联系，对新知识的推广探求新的事实和论证猜想，以及对新知识的类比提出新的探究问题，使不同模块的数学知识相互沟通。在学习中，学生体会数学探索活动的基本规律，逐步学会借助数学符号和逻辑关系进行抽象思维、数学推理和探究，养成逻辑思维的习惯，能够有条理地、符合逻辑地进行思考、推理、表达和交流，从而发展学生处理相应的数学关系的悟性和潜能，把培养学生数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等核心素养落实在化归与转化的过程中。
参考文献：
[1]胡炯涛.数学教学论[M].南宁：广西教育出版社，1996.
[2]任子朝.改进高考命题 推进素质教育：数学高考命题回顾与展望[J].中学数学月刊，1997（9）：1-3.
（责任编辑：陆顺演）