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摘 要：在此，笔者结合自身教学经验，以浅例探讨几个数学思想在解推理与证明问题中的具体应用，以供参考。
关键词：推理与证明问题;数学思想;应用
中图分类号：G427 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2015）04-052-2
一、函数思想
函数的思想方法，就是运用运动和变化的观点，集合与对应的思想分析和研究要解决的问题中的数量关系，建立函数关系或者构造函数，然后运用函数的图象和性质解决问题，从而使问题得到解决。
例1 已知曲线系Ck的方程为x29-k y24-k=1，试证明坐标平面内任意一点（a，b）（a、b≠0），总存在Ck中的一个椭圆和一个双曲线通过该点。
分析：若从曲线方程考虑难度较大，可以从k入手，显然当k<4，或4 解：设点（a，b）（a、b≠0）在曲线Ck上，则a29-k b24-k=1，整理，得k2 （a2 b2-13）k （36-4a2-9b2）=0 （※）.令f（k）=k2 （a2 b2-13）k （36-4a2-9b2）。所以f（4）=-5b2<0，f（9）=5a2>0。可知f（k）=0，即方程（※）在区间（-∞，4）和（4，9）内分别有一个根，即坐标平面内任意一点（a，b）（a、b≠0），总存在Ck中的一个椭圆和一个双曲线通过该点。
说明：本题巧妙地把圆锥曲线问题转化为二次函数问题，降低了解题难度，使解题思路清晰、过程简洁。
二、数形结合思想
在解决数学问题时，可以根据问题的背景，使“数”的问题借助“形”去考虑，而“形”的问题也可利用“数”去思考，采用这种思想方法来解决问题的策略，我们称为数形结合的思想方法。
例2 已知{an}是等差数列，an>0，且公差d≠0;{bn}是等比数列，bn>0，且公比q>1.
（1）若a1=b1，a2n 1=b2n 1，请比较an 1与bn 1的大小，并证明你的结论。
（2）若a1=b1，a2=b2，当n>2时，请比较an 1与bn 1的大小，并证明你的结论。
分析：由数列的通项公式，知等差数列{an}满足an=nd （a1-d），所以图象都在同一直线上，等比数列{bn}满足bn=b1qqn，所以图象在一“指数函数”图象上。借助函数图象讨论数列项之间的大小关系。
解：因为等差数列满足an>0，所以d>0，即{an}是单调递增数列;因为bn>0，且公比q>1，所以{bn}也是单调递增数列。根据（1）可得图11，此时an 1>bn 1;由（2）可得图12，此时an 1 （1）由a2n 1=b2n 1，得a1 2nd=b1q2n，nd=12（b1q2n-a1）。an 1-bn 1=a1 nd-b1qn=a1 12（b1q2n-a1）-b1qn=a12（q2n-2qn 1）=a12（qn-1）2>0，所以an 1>bn 1。
（2）由a1=b1，a2=b2，可得a1 d=b1q，d=a1（q-1）.bn 1-an 1=b1qn-a1-nd=a1qn-a1-na1（q-1）=a1[（qn-1）-n（q-1）]，因为1 q q2 … qn-1=1-qn1-q，所以qn-1=（q-1）（1 q q2 … qn-1）。所以bn 1-an 1=a1[（q-1）（1 q q2 … qn-1）-n（q-1）]=a1（q-1）（1 q q2 … qn-1-n）。因为q>1，所以qi>1（i=0，1，2，…，n-1）.所以1 q q2 … qn-1>1 1 … 1=n。所以bn 1-an 1>0，即bn 1>an 1。
说明：本题是先利用函数的图象判断出an 1和bn 1的关系，得到结论后，给出证明的。
三、分类讨论思想
在解决数学问题时，由于数学对象的本质属性有相同点和不同点，为了解题方便，将对象分为不同种类，然后逐类研究解决，从而达到解决问题的目的，这一思想方法称为分类讨论的思想方法。
例3 已知直线l过抛物线y2=2px（p≠0）的焦点，并且与抛物线相交于A（x1，y1）和B（x2，y2）两点，求证：对于该抛物线任意给定的一条弦CD，直线l不是CD的垂直平分线。
分析：由于CD是抛物线y2=2px（p≠0）的弦，显然CD不能平行x轴，因此应首先考虑直线l垂直或不垂直x轴两种情况。只有在直线l不垂直x轴的情况下，直线l才可能与CD垂直。由此再分为l垂直与不垂直CD两种情况，在l垂直CD的假设下证明l不是CD的中垂线，就可得出结论。
证明：（1）若直线l与x轴垂直，由于CD是抛物线y2=2px的弦，所以CD不可能平行于x轴，因此直线l不垂直CD，即不是CD的垂直平分线。
（2）若直线l不与x轴垂直，设它的斜率为k，因为它过焦点（p2，0），故直线l的方程y=k（x-p2）（k≠0）。
以下分两种情况讨论：
①若直线l不垂直CD，则直线l不是CD的垂直平分线;
②若直线l垂直CD，因为C、D在抛物线上，C、D的坐标可分别表示为（c22p，c）、（d22p，d）（c≠d），其斜率k′=c-dc22p-d22p=2pc d，CD的中点坐标为（c24p d24p，c2 d2）。
下面证明CD的中点不在直线l上：
因为直线l垂直CD，所以k=-1k′=-c d2p，将CD的中点坐标代入l的方程y=k（x-p2）（k≠0）中验证，左端y=12（c d），右端k（x-p2）=-c d2p[14p（c2 d2）-p2]=（c d）[14-18p2（c2 d2）]。因为18p2（c2 d2）
关键词：推理与证明问题;数学思想;应用
中图分类号：G427 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2015）04-052-2
一、函数思想
函数的思想方法，就是运用运动和变化的观点，集合与对应的思想分析和研究要解决的问题中的数量关系，建立函数关系或者构造函数，然后运用函数的图象和性质解决问题，从而使问题得到解决。
例1 已知曲线系Ck的方程为x29-k y24-k=1，试证明坐标平面内任意一点（a，b）（a、b≠0），总存在Ck中的一个椭圆和一个双曲线通过该点。
分析：若从曲线方程考虑难度较大，可以从k入手，显然当k<4，或4
说明：本题巧妙地把圆锥曲线问题转化为二次函数问题，降低了解题难度，使解题思路清晰、过程简洁。
二、数形结合思想
在解决数学问题时，可以根据问题的背景，使“数”的问题借助“形”去考虑，而“形”的问题也可利用“数”去思考，采用这种思想方法来解决问题的策略，我们称为数形结合的思想方法。
例2 已知{an}是等差数列，an>0，且公差d≠0;{bn}是等比数列，bn>0，且公比q>1.
（1）若a1=b1，a2n 1=b2n 1，请比较an 1与bn 1的大小，并证明你的结论。
（2）若a1=b1，a2=b2，当n>2时，请比较an 1与bn 1的大小，并证明你的结论。
分析：由数列的通项公式，知等差数列{an}满足an=nd （a1-d），所以图象都在同一直线上，等比数列{bn}满足bn=b1qqn，所以图象在一“指数函数”图象上。借助函数图象讨论数列项之间的大小关系。
解：因为等差数列满足an>0，所以d>0，即{an}是单调递增数列;因为bn>0，且公比q>1，所以{bn}也是单调递增数列。根据（1）可得图11，此时an 1>bn 1;由（2）可得图12，此时an 1
（2）由a1=b1，a2=b2，可得a1 d=b1q，d=a1（q-1）.bn 1-an 1=b1qn-a1-nd=a1qn-a1-na1（q-1）=a1[（qn-1）-n（q-1）]，因为1 q q2 … qn-1=1-qn1-q，所以qn-1=（q-1）（1 q q2 … qn-1）。所以bn 1-an 1=a1[（q-1）（1 q q2 … qn-1）-n（q-1）]=a1（q-1）（1 q q2 … qn-1-n）。因为q>1，所以qi>1（i=0，1，2，…，n-1）.所以1 q q2 … qn-1>1 1 … 1=n。所以bn 1-an 1>0，即bn 1>an 1。
说明：本题是先利用函数的图象判断出an 1和bn 1的关系，得到结论后，给出证明的。
三、分类讨论思想
在解决数学问题时，由于数学对象的本质属性有相同点和不同点，为了解题方便，将对象分为不同种类，然后逐类研究解决，从而达到解决问题的目的，这一思想方法称为分类讨论的思想方法。
例3 已知直线l过抛物线y2=2px（p≠0）的焦点，并且与抛物线相交于A（x1，y1）和B（x2，y2）两点，求证：对于该抛物线任意给定的一条弦CD，直线l不是CD的垂直平分线。
分析：由于CD是抛物线y2=2px（p≠0）的弦，显然CD不能平行x轴，因此应首先考虑直线l垂直或不垂直x轴两种情况。只有在直线l不垂直x轴的情况下，直线l才可能与CD垂直。由此再分为l垂直与不垂直CD两种情况，在l垂直CD的假设下证明l不是CD的中垂线，就可得出结论。
证明：（1）若直线l与x轴垂直，由于CD是抛物线y2=2px的弦，所以CD不可能平行于x轴，因此直线l不垂直CD，即不是CD的垂直平分线。
（2）若直线l不与x轴垂直，设它的斜率为k，因为它过焦点（p2，0），故直线l的方程y=k（x-p2）（k≠0）。
以下分两种情况讨论：
①若直线l不垂直CD，则直线l不是CD的垂直平分线;
②若直线l垂直CD，因为C、D在抛物线上，C、D的坐标可分别表示为（c22p，c）、（d22p，d）（c≠d），其斜率k′=c-dc22p-d22p=2pc d，CD的中点坐标为（c24p d24p，c2 d2）。
下面证明CD的中点不在直线l上：
因为直线l垂直CD，所以k=-1k′=-c d2p，将CD的中点坐标代入l的方程y=k（x-p2）（k≠0）中验证，左端y=12（c d），右端k（x-p2）=-c d2p[14p（c2 d2）-p2]=（c d）[14-18p2（c2 d2）]。因为18p2（c2 d2）