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DOI：10.16660/j.cnki.1674-098X.2012-5640-9014
摘 要：群上既是模糊左相容，又是模糊右相容的模糊等价关系称为群上的模糊同余关系。模糊同余关系属于模糊二元关系，是一种特殊形式的模糊集合，它具有模糊性，模糊性是客观事物中的不分明性和不确定性，其根源在于客观事物的差异之间存在着中介过渡。本文在模糊同余关系的基础上，给出了模糊同余关系下的相似关系、模糊相融、二元关系、模糊子群的概念，并讨论了模糊同余的一系列性质，得到了几个有意义的类似于群论基本定理的结论。
关键词：模糊关系 代数 模糊同余 模糊群
中图分类号：G64 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2021）03（c）-0223-04
Fuzzy Congruences and Fuzzy Groups
ZHAO Yunping
（School of Mathematics and Physics， West Yunnan University， Lincang， Yunnan Province， 677000 China）
Abstract： The fuzzy congruence refers to the fuzzy equivalence relation on the group compatible with the left and the right. As a special form of fuzzy set with fuzziness， it belongs to fuzzy binary relation. Fuzziness is the ambiguity and uncertainty in objective things which originates from the existence of differences between objective things and intermediary transition. Based on fuzzy congruence relations， this paper gives the concepts of similar relations， fuzzy fusion， binary relations， and fuzzy subgroups under fuzzy congruence relations， discusses a series of properties of fuzzy congruence， and obtains several meaningful conclusions similar to the basic theorem of group theory.
Key Words： Fuzzy relations; Algebra; Fuzzy congruences; Fuzzy groups
1965年美国控制论专家、数学家Zadeh教授创立了模糊集理论，为描述和研究模糊現象提供了有力的数学工具。1976年E.Sanchez利用模糊思想对模糊关系进行了研究。Zadeh最早介绍了模糊集的概念，后来Murali和Nemitz引出集合上的模糊等价关系。1993年，Samhan定义了半群上的模糊同余。此后不少学者将模糊数学理论与代数结构相结合，提出了模糊半群、模糊群等概念，这些理论丰富了模糊数学的内容。本文在模糊关系与模糊同余概念的基础上进一步研究了群的模糊同余的性质，得到了几个模糊同余的基本结论。
1 基本概念
定义1[1]：设X是非空集合，X上的模糊二元关系R称为相似关系，如果R满足：
定义2[2]：设G是一个群，G上的模糊二元关系R称为模糊左（右）相容的，当且仅当对任意，有。
定义3[2]：群G上的模糊二元关系R称为模糊相容的，当且仅当对任意，有。
定义4[3]：群G上的模糊相容的相似二元关系R称为模糊同余。
定义5[4]：设P为集合X到Y上的模糊二元关系，Q为集合Y到Z上的模糊二元关系，定义P与Q的合成关系为，使。
定义6[5]：设H是群G的子集，称H是G的模糊子群，当且仅当
显然，若H是G的模糊子群，。
定义7[5]：群G的模糊子群H，称为正规的当且仅当，有，设H是群G的模糊子群，对，下列结论等价：
（1）H是群G的模糊正规子群;
定义8[6]：设H是群G的模糊子群，，则gH（Hg）称为G的A左（右）陪集。
2 主要结论
定理1：如果P，Q是群G上的模糊同余，则
证明：设a，b∈G，则对于，使，从而
因而，
同理可证故
由格的定义，有定理2。
定理2：若是群G的模糊同余格，则是模格。
证明：设≤，若
则，且存在g∈G，使
因P≤R，则有≤。
由R的传递性，有
≤≤R（a，b）
从而有
又由
因此，，故而≤，从而，C（G）是模格。
定义9：设A是集合X上的模糊二元关系，令
为一函数，
定理3：若F是群G的模糊同余，则Fe是G的模糊正规子群。 证明：
因此，Fe是G的模糊子群.
又由
故Fe是G的模糊正规子群。
定理4：若P是群G的模糊同余，则P关于x的模糊同余类Px是Pe在G的模糊陪集，反之Pe在G的任意模糊陪集是P的模糊同余类.
证明：
因此，即Px是Pe在G的模糊陪集。反之，显然成立。
定理5：若Q是群G的模糊同余，则按运算构成群;对，映射定义为，则是G/Q的模糊子群。
证明：，故是群。
又由
从而，是G/Q的模糊子群。
記N（G）为G的所有模糊正规子群N的集合，且满足N（e）=1。定理6：对，存在双射，使得
证明：定义映射
于是对
因而≥，从而的是相似关系。
设，则
由于N是G的模糊正规子群，于是
故是G的模糊同余，且映射β是良定义。
对
从而，，反之，
则，即α是双射。
设，则有
即
由定理6可知
是格同构。
3 结语
模糊数学是一门新的学科，是崭新的数学分支。模糊集理论是对一类客观事物和性质进行更合理的抽象和描述，是传统集合理论的必然推广。L.A.Zade提出的模糊集概念将一般的集合以隶属函数的概念推广到模糊集，为模糊数学的发展与成熟奠定了深厚的基础。本文结合模糊等价关系与群的概念，研究了群的模糊同余的一些性质。考虑将条件拓宽，还可以进一步研究模糊同余的其它性质，进而产生更多有意义的结果，不断丰富模糊数学。
参考文献
[1] 谢季坚，刘承平.模糊数学方法及其应用[M].武汉：华中科技大学出版社，2020.
[2] 蒋泽军.模糊数学理论与方法[M].北京：电子工业出版社，2020.
[3] 范爱琴.基于模糊同余关系的模糊粗糙环及其应用[J].新乡学院学报，2020，37（3）： 6-8.
[4] 董丽.弱模糊等价关系下的半群结构[D].无锡：江南大学，2018.
[5] 刘春辉，何涛.FI代数的犹豫模糊滤子与犹豫模糊同余关系[J].数学的实践与认识，2018，48（7）：266-272.
[6] KHAN WAQAR CHEN GUIYUN.&Davvaz，Bijan.Fuzzy congruences on non-associative semigroups[J].Journal of Intelligent & Fuzzy Systems，2018， 35（3）：3783-3796.
摘 要：群上既是模糊左相容，又是模糊右相容的模糊等价关系称为群上的模糊同余关系。模糊同余关系属于模糊二元关系，是一种特殊形式的模糊集合，它具有模糊性，模糊性是客观事物中的不分明性和不确定性，其根源在于客观事物的差异之间存在着中介过渡。本文在模糊同余关系的基础上，给出了模糊同余关系下的相似关系、模糊相融、二元关系、模糊子群的概念，并讨论了模糊同余的一系列性质，得到了几个有意义的类似于群论基本定理的结论。
关键词：模糊关系 代数 模糊同余 模糊群
中图分类号：G64 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2021）03（c）-0223-04
Fuzzy Congruences and Fuzzy Groups
ZHAO Yunping
（School of Mathematics and Physics， West Yunnan University， Lincang， Yunnan Province， 677000 China）
Abstract： The fuzzy congruence refers to the fuzzy equivalence relation on the group compatible with the left and the right. As a special form of fuzzy set with fuzziness， it belongs to fuzzy binary relation. Fuzziness is the ambiguity and uncertainty in objective things which originates from the existence of differences between objective things and intermediary transition. Based on fuzzy congruence relations， this paper gives the concepts of similar relations， fuzzy fusion， binary relations， and fuzzy subgroups under fuzzy congruence relations， discusses a series of properties of fuzzy congruence， and obtains several meaningful conclusions similar to the basic theorem of group theory.
Key Words： Fuzzy relations; Algebra; Fuzzy congruences; Fuzzy groups
1965年美国控制论专家、数学家Zadeh教授创立了模糊集理论，为描述和研究模糊現象提供了有力的数学工具。1976年E.Sanchez利用模糊思想对模糊关系进行了研究。Zadeh最早介绍了模糊集的概念，后来Murali和Nemitz引出集合上的模糊等价关系。1993年，Samhan定义了半群上的模糊同余。此后不少学者将模糊数学理论与代数结构相结合，提出了模糊半群、模糊群等概念，这些理论丰富了模糊数学的内容。本文在模糊关系与模糊同余概念的基础上进一步研究了群的模糊同余的性质，得到了几个模糊同余的基本结论。
1 基本概念
定义1[1]：设X是非空集合，X上的模糊二元关系R称为相似关系，如果R满足：
定义2[2]：设G是一个群，G上的模糊二元关系R称为模糊左（右）相容的，当且仅当对任意，有。
定义3[2]：群G上的模糊二元关系R称为模糊相容的，当且仅当对任意，有。
定义4[3]：群G上的模糊相容的相似二元关系R称为模糊同余。
定义5[4]：设P为集合X到Y上的模糊二元关系，Q为集合Y到Z上的模糊二元关系，定义P与Q的合成关系为，使。
定义6[5]：设H是群G的子集，称H是G的模糊子群，当且仅当
显然，若H是G的模糊子群，。
定义7[5]：群G的模糊子群H，称为正规的当且仅当，有，设H是群G的模糊子群，对，下列结论等价：
（1）H是群G的模糊正规子群;
定义8[6]：设H是群G的模糊子群，，则gH（Hg）称为G的A左（右）陪集。
2 主要结论
定理1：如果P，Q是群G上的模糊同余，则
证明：设a，b∈G，则对于，使，从而
因而，
同理可证故
由格的定义，有定理2。
定理2：若是群G的模糊同余格，则是模格。
证明：设≤，若
则，且存在g∈G，使
因P≤R，则有≤。
由R的传递性，有
≤≤R（a，b）
从而有
又由
因此，，故而≤，从而，C（G）是模格。
定义9：设A是集合X上的模糊二元关系，令
为一函数，
定理3：若F是群G的模糊同余，则Fe是G的模糊正规子群。 证明：
因此，Fe是G的模糊子群.
又由
故Fe是G的模糊正规子群。
定理4：若P是群G的模糊同余，则P关于x的模糊同余类Px是Pe在G的模糊陪集，反之Pe在G的任意模糊陪集是P的模糊同余类.
证明：
因此，即Px是Pe在G的模糊陪集。反之，显然成立。
定理5：若Q是群G的模糊同余，则按运算构成群;对，映射定义为，则是G/Q的模糊子群。
证明：，故是群。
又由
从而，是G/Q的模糊子群。
記N（G）为G的所有模糊正规子群N的集合，且满足N（e）=1。定理6：对，存在双射，使得
证明：定义映射
于是对
因而≥，从而的是相似关系。
设，则
由于N是G的模糊正规子群，于是
故是G的模糊同余，且映射β是良定义。
对
从而，，反之，
则，即α是双射。
设，则有
即
由定理6可知
是格同构。
3 结语
模糊数学是一门新的学科，是崭新的数学分支。模糊集理论是对一类客观事物和性质进行更合理的抽象和描述，是传统集合理论的必然推广。L.A.Zade提出的模糊集概念将一般的集合以隶属函数的概念推广到模糊集，为模糊数学的发展与成熟奠定了深厚的基础。本文结合模糊等价关系与群的概念，研究了群的模糊同余的一些性质。考虑将条件拓宽，还可以进一步研究模糊同余的其它性质，进而产生更多有意义的结果，不断丰富模糊数学。
参考文献
[1] 谢季坚，刘承平.模糊数学方法及其应用[M].武汉：华中科技大学出版社，2020.
[2] 蒋泽军.模糊数学理论与方法[M].北京：电子工业出版社，2020.
[3] 范爱琴.基于模糊同余关系的模糊粗糙环及其应用[J].新乡学院学报，2020，37（3）： 6-8.
[4] 董丽.弱模糊等价关系下的半群结构[D].无锡：江南大学，2018.
[5] 刘春辉，何涛.FI代数的犹豫模糊滤子与犹豫模糊同余关系[J].数学的实践与认识，2018，48（7）：266-272.
[6] KHAN WAQAR CHEN GUIYUN.&Davvaz，Bijan.Fuzzy congruences on non-associative semigroups[J].Journal of Intelligent & Fuzzy Systems，2018， 35（3）：3783-3796.