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一元二次方程的知识不仅可以用来解决实际问题，在解决许多几何图形问题时，若能运用所学知识，构造一元二次方程求解，也能起到避繁就简的作用.现举例说明.
一、用于判断三角形的形状
例1 已知a，b，c是△ABC的三条边，且满足a2+b2+c2=ab+bc+ca，试判断三角形的形状.
解：将a2+b2+c2=ab+bc+ca整理为主元为a的一元二次方程，得a2-（b+c）a+b2-bc+c2=0.
这个方程必有实数根，故Δ=（b+c）2-4（b2-bc+c2）=-3（b-c）2≥0.
∴（b-c）2≤0，又（b-c）2≥0，故b-c=0，即b=c.
把b=c代入原方程，得a2-2ac+c2=0.
∴（a-c）2=0，得a=c.
故a=b=c，即△ABC为等边三角形.
二、方案设计问题
例2 将一块长18 m、宽15 m的矩形荒地修建成一个花园，道路或四角活动地（阴影部分）所占的面积为原来荒地面积的三分之二.（精确到0.1 m）
（1） 设计方案1：如图1，花园中修两条互相垂直且宽度相等的小路.
（2） 设计方案2：如图2，花园中每个角的扇形都相同.
以上两种方案是否都符合条件？若符合，请计算出图1中的小路的宽和图2中扇形的半径；若不符合条件，请说明理由.
解：（1） 符合条件.设小路宽为x m.
可列方程18x+16x－x2＝ ×18×15.整理，得x2－34x+180＝0.
解这个方程，得x＝ ，取x≈6.6.即路宽6.6 m.
（2）符合条件.设扇形半径为r m，则3.14r2＝ ×18×15，即r2≈57.32.所以r≈7.6.即半径为7.6 m.
三、动态几何问题
例3 如图3所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1 cm/s的速度移动，点Q从C点出发沿CB边向点B以2 cm/s的速度移动.
（1） 如果P，Q同时出发，几秒钟后，可以使得△PCQ的面积为8 cm2？
（2） 点P，Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半？若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由.
解：因为∠C＝90°，所以AB＝ ＝ ＝10 （cm）.
（1） 设x s后，可使△PCQ的面积为8 cm2.
所以AP＝x cm，PC＝（6－x） cm，CQ＝2x cm.
根据题意，得 （6－x）•2x＝8.
整理，得x2－6x+8＝0.解这个方程，得x1＝2，x2＝4.
所以P，Q同时出发，移动2 s和4 s时△PCQ的面积为8 cm2.
（2）设点P移动x s时，△PCQ的面积等于△ABC面积的一半.
根据题意，得 （6－x）•2x＝ × ×6×8.整理，得x2－6x+12＝0.
由于此方程没有实数根，所以不存在使△PCQ的面積等于△ABC面积一半的时刻.
四、平分几何图形的周长与面积问题
例4 如图4，在等腰梯形ABCD中，AB＝DC＝5，AD＝4，BC＝10，点E在下底边BC上，点F在腰AB上.
（1） 若EF平分等腰梯形ABCD的周长，设BE长为x，试用含x的代数式表示△BEF的面积.
（2） 是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时平分？若存在，求出此时BE的长；若不存在，请说明理由.
（3） 是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1∶2的两部分？若存在，求此时BE的长；若不存在，请说明理由.
分析： 为了能正确求得图形的面积，不妨过点F作FG⊥BC于G，过点A作AK⊥BC于K.这样，由三角形的面积公式即可列出含x的代数式.
解：（1） 由已知条件，可得梯形周长为24，高为4，面积为28.
过点F作FG⊥BC于G，过点A作AK⊥BC于K.
由 = ，可得FG＝ ×4.
所以S△BEF ＝ BE•FG＝－ x2+ x（7≤x≤10）.
（2） 存在.由（1）得－ x2+ x＝14.解这个方程，得x1＝7，x2＝5（舍去）.
当BE=7时，FG= ×4=4，BF+BE=12.
所以存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长与面积同时平分，此时BE＝7.
（3） 不存在.假设存在，应该有S△BEF ∶S多边形AFECD＝1∶2和（BE+BF）∶（AF+AD+DC）＝1∶2同时成立.
由面积比例式，得－ x2+ x＝ .整理，得3x2－36x+70＝0.
由周长比例式，得BF+x= ×24=8.可知3≤x<8.
而方程3x2-36x+70=0的根不在这个范围内，所以不存在这样的实数x.即不存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1∶2的两部分.
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
一、用于判断三角形的形状
例1 已知a，b，c是△ABC的三条边，且满足a2+b2+c2=ab+bc+ca，试判断三角形的形状.
解：将a2+b2+c2=ab+bc+ca整理为主元为a的一元二次方程，得a2-（b+c）a+b2-bc+c2=0.
这个方程必有实数根，故Δ=（b+c）2-4（b2-bc+c2）=-3（b-c）2≥0.
∴（b-c）2≤0，又（b-c）2≥0，故b-c=0，即b=c.
把b=c代入原方程，得a2-2ac+c2=0.
∴（a-c）2=0，得a=c.
故a=b=c，即△ABC为等边三角形.
二、方案设计问题
例2 将一块长18 m、宽15 m的矩形荒地修建成一个花园，道路或四角活动地（阴影部分）所占的面积为原来荒地面积的三分之二.（精确到0.1 m）
（1） 设计方案1：如图1，花园中修两条互相垂直且宽度相等的小路.
（2） 设计方案2：如图2，花园中每个角的扇形都相同.
以上两种方案是否都符合条件？若符合，请计算出图1中的小路的宽和图2中扇形的半径；若不符合条件，请说明理由.
解：（1） 符合条件.设小路宽为x m.
可列方程18x+16x－x2＝ ×18×15.整理，得x2－34x+180＝0.
解这个方程，得x＝ ，取x≈6.6.即路宽6.6 m.
（2）符合条件.设扇形半径为r m，则3.14r2＝ ×18×15，即r2≈57.32.所以r≈7.6.即半径为7.6 m.
三、动态几何问题
例3 如图3所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1 cm/s的速度移动，点Q从C点出发沿CB边向点B以2 cm/s的速度移动.
（1） 如果P，Q同时出发，几秒钟后，可以使得△PCQ的面积为8 cm2？
（2） 点P，Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半？若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由.
解：因为∠C＝90°，所以AB＝ ＝ ＝10 （cm）.
（1） 设x s后，可使△PCQ的面积为8 cm2.
所以AP＝x cm，PC＝（6－x） cm，CQ＝2x cm.
根据题意，得 （6－x）•2x＝8.
整理，得x2－6x+8＝0.解这个方程，得x1＝2，x2＝4.
所以P，Q同时出发，移动2 s和4 s时△PCQ的面积为8 cm2.
（2）设点P移动x s时，△PCQ的面积等于△ABC面积的一半.
根据题意，得 （6－x）•2x＝ × ×6×8.整理，得x2－6x+12＝0.
由于此方程没有实数根，所以不存在使△PCQ的面積等于△ABC面积一半的时刻.
四、平分几何图形的周长与面积问题
例4 如图4，在等腰梯形ABCD中，AB＝DC＝5，AD＝4，BC＝10，点E在下底边BC上，点F在腰AB上.
（1） 若EF平分等腰梯形ABCD的周长，设BE长为x，试用含x的代数式表示△BEF的面积.
（2） 是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时平分？若存在，求出此时BE的长；若不存在，请说明理由.
（3） 是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1∶2的两部分？若存在，求此时BE的长；若不存在，请说明理由.
分析： 为了能正确求得图形的面积，不妨过点F作FG⊥BC于G，过点A作AK⊥BC于K.这样，由三角形的面积公式即可列出含x的代数式.
解：（1） 由已知条件，可得梯形周长为24，高为4，面积为28.
过点F作FG⊥BC于G，过点A作AK⊥BC于K.
由 = ，可得FG＝ ×4.
所以S△BEF ＝ BE•FG＝－ x2+ x（7≤x≤10）.
（2） 存在.由（1）得－ x2+ x＝14.解这个方程，得x1＝7，x2＝5（舍去）.
当BE=7时，FG= ×4=4，BF+BE=12.
所以存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长与面积同时平分，此时BE＝7.
（3） 不存在.假设存在，应该有S△BEF ∶S多边形AFECD＝1∶2和（BE+BF）∶（AF+AD+DC）＝1∶2同时成立.
由面积比例式，得－ x2+ x＝ .整理，得3x2－36x+70＝0.
由周长比例式，得BF+x= ×24=8.可知3≤x<8.
而方程3x2-36x+70=0的根不在这个范围内，所以不存在这样的实数x.即不存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1∶2的两部分.
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”