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[摘 要]
小学数学老师长期只接触浅层的数学知识，并同思维水平较低的小学生打交道，容易造成自身思维及知识结构的“固化”“浅化”和“童化”。“长方体的六个面都是长方形”和“0.7大于0.69”是两个常见的命题，反映了这种现象的现实普遍性。从加强业务学习、沟通新旧知识联系、着重知识本质教学三个方面介绍了规避和解决问题的方法。对转变教师的教学思维有一定的借鉴意义。
[关键词]
小学数学；教学思维；提升
[缘起]
在五年级的教学质量分析会上，笔者抛出了自己对试题中两道问题的疑问。未想，引来老师们的一边倒的“批评指责”。许多老师据“书”力争，结论似乎无可辩驳。
辩题一：“长方体的六个面都是长方形”这句话对吗？
大部分老师认为：这句话是错的。因为，在这句话的表述中，没有考虑到长方体的特殊情况，就像长方体的柱子，它是一个特殊的长方体，上下两个面都是正方形。教材中对此也有明确的表述：“长方体一般是由6个长方形（特殊情况下有两个相对的面是正方形）围成的立体图形”（人教版数学五年级下册第19页）。既然教材已做指定，生活中又有许多这样的实例，判断这句话的对错，应该是没有争议的了。大部分老师都倾向于判定这句话为错。
辩题二：0.7大于0.69·吗？
提出这个问题时，大部分老师认为这已经不是个问题了。在四年级的时候，教学《小数的大小比较》就总结出了这样的比较方法：“从高位比起，相同数位上的数相比较”。在人教版实验教科书的教学参考书中，也介绍了比较循环小数大小的方法：“比较循环小数的大小，与以前比较小数的大小方法相同，但比较时要把循环小数的简便记法进行还原，……为了便于比较，可让学生多写出几位小数来，再比较”。（人教版数学五年级上册《教师教学用书》第57页）。0.7与0.69·，整数部分相同，而0.7十分位上是“7”，大于0.69·的十分位上的“6”，所以，对于0.7大于0.69·的结论，老师们都坚信不疑。
[思考]
果真如“书”所言吗？老师们的结论与理由，引起了笔者对辩题结论及老师思维的较深入思考。
思考一：“长方体的六个面都是长方形”这句话错了吗？
诚然，特殊情况下，长方体有两个相对的面是正方形。但也不可置否：正方形是特殊的长方形，正方体是特殊的长方体。“长方体的六个面都是长方形”这句话本身并没有否定正方形。因为即使在特殊情况下，有两个面是正方形，但这两个正方形的面同样是属于长方形，只不过是有点特殊的长方形罢了。
为什么会引起这样的歧议呢？可能是生活经验的误导，也可能是与教材编排的特点有关。一年级时，由于考虑学生直观化的生活经验以及较差的抽象思维能力，教学《图形的认识》这一单元时，没有要求学生总结描述长方形和正方形的特征，教学中也没有要求认识长方形与正方形的关系。而只要求学生在提供的图形中，指认出哪些是长方形，哪些是正方形。这个阶段，学生受认知水平的局限，还没有正确认识“正方形是特殊的长方形”这一关系。这个时候，学生往往把长方形与正方形的关系认识为并列关系，认为长方形和正方形是相互排除、非此即彼的。这就是学生的生活经验。到了三年级，学生进一步认识了长方形和正方形的特征，发现正方形具备长方形的所有特征，从而认识到正方形是特殊的长方形。这时，正方形和长方形的关系已不再是并列关系，而成为一种属种关系，是长方形包含正方形的关系了。由生活经验中的并列关系到理论知识上的属种关系，是理论知识对生活经验的一种修正，是知识的更新、思维的发展。
上述教师的思维明显没有随教材的变化和年级的升高“与时俱进”，而被低年级教材与生活经验所“童化”了。
思考二：“0.7大于0.69·”真对吗？
是的，比较小数的大小，其方法与整数相同，都要从高位比起。并且，比较小数的大小时，不能根据小数位数的多少来比较。但0.7真大于0.69·吗？为便于表述，我们不妨先来比较1和0.9·的大小。其实，有很多方法可以证明1=0.9·。如：因为[13]=0.3，所以[13]×3=0.3×3，即1=0.9·。既然1=0.9·，0.7又怎么会不等于0.69·呢？
这不是与我们学过的比较方法相悖吗？其实不是这样的。这里涉及到一个对“无限”的认识问题。0.69·是一个循环小数，小数的后面有无数个“9”。为了突出对“无限”的理解，我们不妨从0.7与0.69·的差说起。从形式上看，0.7-0.6999……=0.0000……1。因为0.69·的后面有无数个“9”，所以差的小数点后面就有无数个“0”。既然小数点后面有无数个“0”，那么最后面的“1”，就永远没有机会出现了，因此，差应该是“0”。也就是：0.7-0.69·=0，即0.7=0.69·。这就是数学上的“极限思想”了。
老师们犯如上错误，反映了老师们对“无限”的认识还只限于其“形”，没有与时俱进到对其“质”的把握，进而形成对“极限思想”的认识。
[感悟]
上述两个案例，反映了老师们因循于教材而缺乏对数学知识本质的理解，守旧于低年级的“数学真理”，没有随年级升高、知识拓展而“与时俱进”。从而使自身的知识、思维渐渐被“童化”“退化”。如何使老师们常葆“与时俱进”的进化之态，避免退行变化，提升教学思维，提高教学实效？教师们应做到以下几点。
一、加强业务知识学习，避免知识思维“童化”
苏霍姆林斯基说：“不了解孩子，不了解他的智力发展，不了解他的思维、兴趣、爱好、才能、禀赋、倾向，就谈不上教育”。因此，要想取得好的教育教学效果，教师常常要换位思考，从儿童的视角来看问题、分析问题。但是，长期如此，教师自身的思维就可能被儿童所同化，“童化”后的教师就必然如上所述，表现为思维的“浅化”和学科主体性知识的“退化”。 学无止境，研无止境。因此，在长期的教学过程中，教师必须与时俱进，加强学习：一方面深入儿童的内心世界，熟悉儿童的思维特征，丰富自己的儿童语言，使自己的教学更切合儿童实际。另一方面也要不断学习相关数学知识，不断提高自己的数学素养，丰富学科主体性知识，葆有思维高度与深度。只有这样，老师才能居高临下，站在理性的视角，反思自己的教，审视学生的学。跳出“学生”教学生，跳出“数学”教数学。只有这样，老师才能驾轻就熟，在理性的数学世界和儿童的认知世界之间，来回穿梭，游刃有余。也只有这样，才能保证我们数学教学的高度、深度和效度，才能保证我们数学学科教学的价值。
二、着重知识本质理解，促进数学思想渗透
《义务教育数学课程标准（2011版）》提出：“教师还应揭示知识的数学实质及其体现的数学思想，帮助学生理清相关知识之间的区别和联系等”。因此，我们在数学教学中，要注意引导学生理解数学本质，渗透数学思想，从而帮助学生真正掌握数学知识。如《循环小数》的教学，我们不仅要让学生知道“无限”，更要通过对“无限”的直观认识，让学生逐步体会到“无限逼近”的极限思想。
三、沟通新旧知识联系，改造重组旧有经验
新知学习总是以一定的知识经验为基础的。或是对旧知的延伸拓展，或是对旧知的修正补充。正如《义务教育数学课程标准（2011版）》指出的：“数学知识的教学，要注重知识的‘生长点’与‘延伸点’，……引导学生感受数学的整体性，体会对于某些数学知识可以从不同的角度加以分析、从不同的层次进行理解”。因此，在教学中，我们关注知识的“生长点”和“延伸点”，就是要关注新旧知识的区别、联系，把旧有的知识体系不断进行改造、重组，使知识体系得以不断延伸、拓展。如本文所述的长方形与正方形的关系，在一年级旧有的知识经验中，他们是并列关系。三年级后，开始认识长方形和正方形的特征，经过比较，发现正方形具备长方形所有的特征，因此，就必须建构起新的知识体系：正方形是特殊的长方形。在类似情况的教学中，我们一定要深入了解学生，分析学生原有的知识经验，了解前后知识间的联系与区别，特别是已有知识、经验对新知学习的影响。再针对所掌握情况进行有效的教学设计，尽量联系新旧知识与生活经验实现正向迁移，避免负面效应。
[参 考 文 献]
[1]小学数学课程教材研究开发中心.义务教育教科书·数学五年级上册[M].北京：人民教育出版社，2012（1）.
[2]教育部制定.义务教育数学课程标准（2011版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012（1）.
[3]苏霍姆林斯基著，杜殿坤编译.给教师的建议[M].北京：教育科学出版社，1984（6）.
（责任编辑：李雪虹）
小学数学老师长期只接触浅层的数学知识，并同思维水平较低的小学生打交道，容易造成自身思维及知识结构的“固化”“浅化”和“童化”。“长方体的六个面都是长方形”和“0.7大于0.69”是两个常见的命题，反映了这种现象的现实普遍性。从加强业务学习、沟通新旧知识联系、着重知识本质教学三个方面介绍了规避和解决问题的方法。对转变教师的教学思维有一定的借鉴意义。
[关键词]
小学数学；教学思维；提升
[缘起]
在五年级的教学质量分析会上，笔者抛出了自己对试题中两道问题的疑问。未想，引来老师们的一边倒的“批评指责”。许多老师据“书”力争，结论似乎无可辩驳。
辩题一：“长方体的六个面都是长方形”这句话对吗？
大部分老师认为：这句话是错的。因为，在这句话的表述中，没有考虑到长方体的特殊情况，就像长方体的柱子，它是一个特殊的长方体，上下两个面都是正方形。教材中对此也有明确的表述：“长方体一般是由6个长方形（特殊情况下有两个相对的面是正方形）围成的立体图形”（人教版数学五年级下册第19页）。既然教材已做指定，生活中又有许多这样的实例，判断这句话的对错，应该是没有争议的了。大部分老师都倾向于判定这句话为错。
辩题二：0.7大于0.69·吗？
提出这个问题时，大部分老师认为这已经不是个问题了。在四年级的时候，教学《小数的大小比较》就总结出了这样的比较方法：“从高位比起，相同数位上的数相比较”。在人教版实验教科书的教学参考书中，也介绍了比较循环小数大小的方法：“比较循环小数的大小，与以前比较小数的大小方法相同，但比较时要把循环小数的简便记法进行还原，……为了便于比较，可让学生多写出几位小数来，再比较”。（人教版数学五年级上册《教师教学用书》第57页）。0.7与0.69·，整数部分相同，而0.7十分位上是“7”，大于0.69·的十分位上的“6”，所以，对于0.7大于0.69·的结论，老师们都坚信不疑。
[思考]
果真如“书”所言吗？老师们的结论与理由，引起了笔者对辩题结论及老师思维的较深入思考。
思考一：“长方体的六个面都是长方形”这句话错了吗？
诚然，特殊情况下，长方体有两个相对的面是正方形。但也不可置否：正方形是特殊的长方形，正方体是特殊的长方体。“长方体的六个面都是长方形”这句话本身并没有否定正方形。因为即使在特殊情况下，有两个面是正方形，但这两个正方形的面同样是属于长方形，只不过是有点特殊的长方形罢了。
为什么会引起这样的歧议呢？可能是生活经验的误导，也可能是与教材编排的特点有关。一年级时，由于考虑学生直观化的生活经验以及较差的抽象思维能力，教学《图形的认识》这一单元时，没有要求学生总结描述长方形和正方形的特征，教学中也没有要求认识长方形与正方形的关系。而只要求学生在提供的图形中，指认出哪些是长方形，哪些是正方形。这个阶段，学生受认知水平的局限，还没有正确认识“正方形是特殊的长方形”这一关系。这个时候，学生往往把长方形与正方形的关系认识为并列关系，认为长方形和正方形是相互排除、非此即彼的。这就是学生的生活经验。到了三年级，学生进一步认识了长方形和正方形的特征，发现正方形具备长方形的所有特征，从而认识到正方形是特殊的长方形。这时，正方形和长方形的关系已不再是并列关系，而成为一种属种关系，是长方形包含正方形的关系了。由生活经验中的并列关系到理论知识上的属种关系，是理论知识对生活经验的一种修正，是知识的更新、思维的发展。
上述教师的思维明显没有随教材的变化和年级的升高“与时俱进”，而被低年级教材与生活经验所“童化”了。
思考二：“0.7大于0.69·”真对吗？
是的，比较小数的大小，其方法与整数相同，都要从高位比起。并且，比较小数的大小时，不能根据小数位数的多少来比较。但0.7真大于0.69·吗？为便于表述，我们不妨先来比较1和0.9·的大小。其实，有很多方法可以证明1=0.9·。如：因为[13]=0.3，所以[13]×3=0.3×3，即1=0.9·。既然1=0.9·，0.7又怎么会不等于0.69·呢？
这不是与我们学过的比较方法相悖吗？其实不是这样的。这里涉及到一个对“无限”的认识问题。0.69·是一个循环小数，小数的后面有无数个“9”。为了突出对“无限”的理解，我们不妨从0.7与0.69·的差说起。从形式上看，0.7-0.6999……=0.0000……1。因为0.69·的后面有无数个“9”，所以差的小数点后面就有无数个“0”。既然小数点后面有无数个“0”，那么最后面的“1”，就永远没有机会出现了，因此，差应该是“0”。也就是：0.7-0.69·=0，即0.7=0.69·。这就是数学上的“极限思想”了。
老师们犯如上错误，反映了老师们对“无限”的认识还只限于其“形”，没有与时俱进到对其“质”的把握，进而形成对“极限思想”的认识。
[感悟]
上述两个案例，反映了老师们因循于教材而缺乏对数学知识本质的理解，守旧于低年级的“数学真理”，没有随年级升高、知识拓展而“与时俱进”。从而使自身的知识、思维渐渐被“童化”“退化”。如何使老师们常葆“与时俱进”的进化之态，避免退行变化，提升教学思维，提高教学实效？教师们应做到以下几点。
一、加强业务知识学习，避免知识思维“童化”
苏霍姆林斯基说：“不了解孩子，不了解他的智力发展，不了解他的思维、兴趣、爱好、才能、禀赋、倾向，就谈不上教育”。因此，要想取得好的教育教学效果，教师常常要换位思考，从儿童的视角来看问题、分析问题。但是，长期如此，教师自身的思维就可能被儿童所同化，“童化”后的教师就必然如上所述，表现为思维的“浅化”和学科主体性知识的“退化”。 学无止境，研无止境。因此，在长期的教学过程中，教师必须与时俱进，加强学习：一方面深入儿童的内心世界，熟悉儿童的思维特征，丰富自己的儿童语言，使自己的教学更切合儿童实际。另一方面也要不断学习相关数学知识，不断提高自己的数学素养，丰富学科主体性知识，葆有思维高度与深度。只有这样，老师才能居高临下，站在理性的视角，反思自己的教，审视学生的学。跳出“学生”教学生，跳出“数学”教数学。只有这样，老师才能驾轻就熟，在理性的数学世界和儿童的认知世界之间，来回穿梭，游刃有余。也只有这样，才能保证我们数学教学的高度、深度和效度，才能保证我们数学学科教学的价值。
二、着重知识本质理解，促进数学思想渗透
《义务教育数学课程标准（2011版）》提出：“教师还应揭示知识的数学实质及其体现的数学思想，帮助学生理清相关知识之间的区别和联系等”。因此，我们在数学教学中，要注意引导学生理解数学本质，渗透数学思想，从而帮助学生真正掌握数学知识。如《循环小数》的教学，我们不仅要让学生知道“无限”，更要通过对“无限”的直观认识，让学生逐步体会到“无限逼近”的极限思想。
三、沟通新旧知识联系，改造重组旧有经验
新知学习总是以一定的知识经验为基础的。或是对旧知的延伸拓展，或是对旧知的修正补充。正如《义务教育数学课程标准（2011版）》指出的：“数学知识的教学，要注重知识的‘生长点’与‘延伸点’，……引导学生感受数学的整体性，体会对于某些数学知识可以从不同的角度加以分析、从不同的层次进行理解”。因此，在教学中，我们关注知识的“生长点”和“延伸点”，就是要关注新旧知识的区别、联系，把旧有的知识体系不断进行改造、重组，使知识体系得以不断延伸、拓展。如本文所述的长方形与正方形的关系，在一年级旧有的知识经验中，他们是并列关系。三年级后，开始认识长方形和正方形的特征，经过比较，发现正方形具备长方形所有的特征，因此，就必须建构起新的知识体系：正方形是特殊的长方形。在类似情况的教学中，我们一定要深入了解学生，分析学生原有的知识经验，了解前后知识间的联系与区别，特别是已有知识、经验对新知学习的影响。再针对所掌握情况进行有效的教学设计，尽量联系新旧知识与生活经验实现正向迁移，避免负面效应。
[参 考 文 献]
[1]小学数学课程教材研究开发中心.义务教育教科书·数学五年级上册[M].北京：人民教育出版社，2012（1）.
[2]教育部制定.义务教育数学课程标准（2011版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012（1）.
[3]苏霍姆林斯基著，杜殿坤编译.给教师的建议[M].北京：教育科学出版社，1984（6）.
（责任编辑：李雪虹）