论文部分内容阅读
角变换有讲究，看“角”看“名”看“结构”.抓住特点巧化归，复杂问题不用愁.统一思想是个“纲”，纲举目张万难消.欲知究竟咋回事，劝君听我说一说.
一、看“角”
所谓“看角”，就是看三角函数式中角的特点，本着统一的原则，如果某些三角函数式子不统一的时候，我们将努力使其角向着和谐统一的方向发展，问题往往就可迎刃而解.
例1．（2011•浙江卷）若0<α<，－<β<0，cos（＋α）＝，cos（－）＝，则cos（α＋）＝()
A. B． －C. D． －
分析：观察题目特点.已知条件中的角与所求角虽然不同，但它们之间有内在联系，即a+=（+α）-（-）.于是我们可由α、β角的取值范围，分别求出+α、-的正弦值，再利用两角差的余弦公式即可求解.
解析： ∵cos（+α）=>0，0<α<，∴＜+α＜ ，sin（+α）=.
又∵cos（－）＝＞0，－<β<0，∴<-<， sin（－）＝，
∴cos（α+）＝cos[（+α）-（－）]＝cos（+α）cos（－）＋sin（+α）sin（－）＝×＋×＝.
故本题选C.
评注：在三角的计算与证明中，往往要进行角之间的变换，为了得到合理的角的变换式，就必须考察待求问题中的角与已知条件中的角之间的联系.三角中的变角代换具有很强技巧性，主要有以下几种情形：（1）单角化复角，如α=（α-β）+β，β=（α+β）-α，α=+，β=+；（2）单角化倍角，如α=2α-α；（3）倍角化复角，如2α=（α+β）+（α-β），2β=（α+β）-（α-β）；（4）复角化复角，如2α+β= （α+β）+α，2α-β= （α-β）+α，=（α-）-（α-β），=（α+）-（+β） 等.
变式1：已知cos（α-）＝-，sin（－β）＝，并且<α<，0<β<，试求cos之值.
点拨：注意到=（α-）-（－β），故可将“单角”的三角函数值转化为“复角”的三角函数值.
因为<α<，0<β<，所以<α-<，-<-β<.
因为cos（α-）＝-，sin（－β）＝,
所以sin（α-）===.
cos（-β）＝==，
所以cos=cos[（α-）-（－β）]
= cos（α-）cos（－β）+sin（α-）sin（－β）
=（-）×+×=.
二、看“名”
所谓“看名”，就是看各种角的函数名.常言道：“物以类聚，人以群分”，数学解题也是如此.在解决数学问题时我们就要使被解决的问题在表现形式上趋于和谐，在数量关系方面趋于统一，从而使问题的条件与结论表现得更对称完美.这就要求我们在解决一个三角函数的化简、求值、证明问题时，如果三角函数的名称、种类太多，应该利用各种关系式转化函数种类，以力达统一为目的.
例2．（2011•北京卷）已知函数f(x)＝4cosxsin（x+）－1.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在区间[-，]上的最大值和最小值．
分析：本题函数f(x)的表达式中，函数名不统一，角也不统一，为此我们可以将两种三角函数名“合二为一”，把原表达式转化为y=Asin（?棕x+?渍）+B，进而再利用三角函数的性质求解.
解析：(1)因为f(x)＝4cosxsin(x+)－1＝4cosx(sinx+cosx)－1＝sin2x＋2cos2x－1＝sin2x＋cos2x＝2sin(2x+)，所以f(x)的最小正周期为π.
(2)因为－≤x≤，所以－≤2x＋≤.
于是，当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最大值2；
当2x＋＝－，即x＝－时，f(x)取得最小值－1.
评注：在高考中，探讨含有多种三角函数名的三角函数的性质（如周期性，单调性，对称性与最值等）或求三角函数值，是一类经久不衰的经典考题，这类问题虽然难度不大，但离不开三角变换.往往需要解题者具有化归意识，将解析式中不同的三角函数名转化为.只含有一种函数名三角函数，最常见的是转化为y=Asin（?棕x+?渍）+?茁或y=Acos（?棕x+?渍）+?茁（其中A，?棕，?渍，B是常数）.
变式2：已知tanα，tan?茁是方程x2-5x+6=0的两个实根，试求2sin2（α+β）-3sin（α+β）cos（α+β）+cos2（α+β）的值.
点拨：由题目条件容易得到tanα+tanβ=5，tanαtanβ=6，利用两角和的正切公式得到tan（α+β）=-1，再来观察要求解的全是弦函数，我们利用平方和等于一的关系式求解，必定会遇到开方的麻烦，所以，为了避开这一大麻烦，可采用“弦化切”的方法.
原式=2sin2（α+β）-3sin（α+β）cos（α+β）+cos2（α+β）
=
=
= ==3.
三、看“结构”
当看到数学题后，不要急于下手，首先应仔细观察；分析条件与结论的关系；分析题目隐含着的各种信息；分析它属于数学中哪部分、要用到什么样的数学知识点、公式及方法（要注意的是同一个公式在解题过程中可能会用到多次）等.而对于三角函数题来说，第一步就是要先找式子的结构，找出式子结构再思考要运用哪些公式，此时最好就是能回忆起平时曾经做过的题型，以及化简的方向，再结合实际题型来解题.
例3． （2011•辽宁卷）△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB＋bcos2A＝a.
(1)求；
(2)若c2＝b2＋a2，求B.
分析：本题是个解三角形问题.对于(1)求的值，联想到正弦定理的结构，即=，于是考虑用正弦定理转化.对于（2），c2＝b2＋a2有余弦定理的结构，故想到用余弦定理.
解析：(1)由正弦定理，得sin2AsinB＋sinBcos2A＝sinA，即sinB（sin2A＋cos2A）＝sinA.
故sinB＝sinA，所以=.
(2)由余弦定理和c2＝b2＋a2，得cosB＝.
由(1)知b2＝2a2，故c2＝(2＋)a2.
可得cos2B＝，又cosB＞0，故cosB＝，所以B＝45°.
评注：解三角函数问题往往离不开三角变换，而三角变换又离不开三角公式.面对名目繁多的三角公式，我们究竟选择哪一个？我们应对题设中提供的条件等式与所求结果的“结构”进行分析，联想相关的三角公式，这样可以少走弯路，直达胜利.
变式3：（2011•四川卷）在△ABC中，sin2A≤sin2B＋sin2C－sinBsinC，则A的取值范围是()
A.（０，］ B.[，）
C.（０，］D.［，）
点拨：根据正弦定理有a2≤b2＋c2－bc，由余弦定理可知a2＝b2＋c2－2bccosA，所以b2＋c2－2bccosA≤b2＋c2－bc，即有cosA≥，所以角A的取值范围为（0，]，故选择C.
看“角”看“名”看“结构”，求解三角乐悠悠！
（作者单位：江苏省太仓高级中学）
责任编校 徐国坚
“本文中所涉及到的图表、公式、注解等请以PDF格式阅读”
一、看“角”
所谓“看角”，就是看三角函数式中角的特点，本着统一的原则，如果某些三角函数式子不统一的时候，我们将努力使其角向着和谐统一的方向发展，问题往往就可迎刃而解.
例1．（2011•浙江卷）若0<α<，－<β<0，cos（＋α）＝，cos（－）＝，则cos（α＋）＝()
A. B． －C. D． －
分析：观察题目特点.已知条件中的角与所求角虽然不同，但它们之间有内在联系，即a+=（+α）-（-）.于是我们可由α、β角的取值范围，分别求出+α、-的正弦值，再利用两角差的余弦公式即可求解.
解析： ∵cos（+α）=>0，0<α<，∴＜+α＜ ，sin（+α）=.
又∵cos（－）＝＞0，－<β<0，∴<-<， sin（－）＝，
∴cos（α+）＝cos[（+α）-（－）]＝cos（+α）cos（－）＋sin（+α）sin（－）＝×＋×＝.
故本题选C.
评注：在三角的计算与证明中，往往要进行角之间的变换，为了得到合理的角的变换式，就必须考察待求问题中的角与已知条件中的角之间的联系.三角中的变角代换具有很强技巧性，主要有以下几种情形：（1）单角化复角，如α=（α-β）+β，β=（α+β）-α，α=+，β=+；（2）单角化倍角，如α=2α-α；（3）倍角化复角，如2α=（α+β）+（α-β），2β=（α+β）-（α-β）；（4）复角化复角，如2α+β= （α+β）+α，2α-β= （α-β）+α，=（α-）-（α-β），=（α+）-（+β） 等.
变式1：已知cos（α-）＝-，sin（－β）＝，并且<α<，0<β<，试求cos之值.
点拨：注意到=（α-）-（－β），故可将“单角”的三角函数值转化为“复角”的三角函数值.
因为<α<，0<β<，所以<α-<，-<-β<.
因为cos（α-）＝-，sin（－β）＝,
所以sin（α-）===.
cos（-β）＝==，
所以cos=cos[（α-）-（－β）]
= cos（α-）cos（－β）+sin（α-）sin（－β）
=（-）×+×=.
二、看“名”
所谓“看名”，就是看各种角的函数名.常言道：“物以类聚，人以群分”，数学解题也是如此.在解决数学问题时我们就要使被解决的问题在表现形式上趋于和谐，在数量关系方面趋于统一，从而使问题的条件与结论表现得更对称完美.这就要求我们在解决一个三角函数的化简、求值、证明问题时，如果三角函数的名称、种类太多，应该利用各种关系式转化函数种类，以力达统一为目的.
例2．（2011•北京卷）已知函数f(x)＝4cosxsin（x+）－1.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在区间[-，]上的最大值和最小值．
分析：本题函数f(x)的表达式中，函数名不统一，角也不统一，为此我们可以将两种三角函数名“合二为一”，把原表达式转化为y=Asin（?棕x+?渍）+B，进而再利用三角函数的性质求解.
解析：(1)因为f(x)＝4cosxsin(x+)－1＝4cosx(sinx+cosx)－1＝sin2x＋2cos2x－1＝sin2x＋cos2x＝2sin(2x+)，所以f(x)的最小正周期为π.
(2)因为－≤x≤，所以－≤2x＋≤.
于是，当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最大值2；
当2x＋＝－，即x＝－时，f(x)取得最小值－1.
评注：在高考中，探讨含有多种三角函数名的三角函数的性质（如周期性，单调性，对称性与最值等）或求三角函数值，是一类经久不衰的经典考题，这类问题虽然难度不大，但离不开三角变换.往往需要解题者具有化归意识，将解析式中不同的三角函数名转化为.只含有一种函数名三角函数，最常见的是转化为y=Asin（?棕x+?渍）+?茁或y=Acos（?棕x+?渍）+?茁（其中A，?棕，?渍，B是常数）.
变式2：已知tanα，tan?茁是方程x2-5x+6=0的两个实根，试求2sin2（α+β）-3sin（α+β）cos（α+β）+cos2（α+β）的值.
点拨：由题目条件容易得到tanα+tanβ=5，tanαtanβ=6，利用两角和的正切公式得到tan（α+β）=-1，再来观察要求解的全是弦函数，我们利用平方和等于一的关系式求解，必定会遇到开方的麻烦，所以，为了避开这一大麻烦，可采用“弦化切”的方法.
原式=2sin2（α+β）-3sin（α+β）cos（α+β）+cos2（α+β）
=
=
= ==3.
三、看“结构”
当看到数学题后，不要急于下手，首先应仔细观察；分析条件与结论的关系；分析题目隐含着的各种信息；分析它属于数学中哪部分、要用到什么样的数学知识点、公式及方法（要注意的是同一个公式在解题过程中可能会用到多次）等.而对于三角函数题来说，第一步就是要先找式子的结构，找出式子结构再思考要运用哪些公式，此时最好就是能回忆起平时曾经做过的题型，以及化简的方向，再结合实际题型来解题.
例3． （2011•辽宁卷）△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB＋bcos2A＝a.
(1)求；
(2)若c2＝b2＋a2，求B.
分析：本题是个解三角形问题.对于(1)求的值，联想到正弦定理的结构，即=，于是考虑用正弦定理转化.对于（2），c2＝b2＋a2有余弦定理的结构，故想到用余弦定理.
解析：(1)由正弦定理，得sin2AsinB＋sinBcos2A＝sinA，即sinB（sin2A＋cos2A）＝sinA.
故sinB＝sinA，所以=.
(2)由余弦定理和c2＝b2＋a2，得cosB＝.
由(1)知b2＝2a2，故c2＝(2＋)a2.
可得cos2B＝，又cosB＞0，故cosB＝，所以B＝45°.
评注：解三角函数问题往往离不开三角变换，而三角变换又离不开三角公式.面对名目繁多的三角公式，我们究竟选择哪一个？我们应对题设中提供的条件等式与所求结果的“结构”进行分析，联想相关的三角公式，这样可以少走弯路，直达胜利.
变式3：（2011•四川卷）在△ABC中，sin2A≤sin2B＋sin2C－sinBsinC，则A的取值范围是()
A.（０，］ B.[，）
C.（０，］D.［，）
点拨：根据正弦定理有a2≤b2＋c2－bc，由余弦定理可知a2＝b2＋c2－2bccosA，所以b2＋c2－2bccosA≤b2＋c2－bc，即有cosA≥，所以角A的取值范围为（0，]，故选择C.
看“角”看“名”看“结构”，求解三角乐悠悠！
（作者单位：江苏省太仓高级中学）
责任编校 徐国坚
“本文中所涉及到的图表、公式、注解等请以PDF格式阅读”