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摘 要：从最优期权赎回策略的角度探讨了借款人的提前清偿行为，从理论上推导了一般债券定价的偏微分方程，分析了住房抵押贷款支持证券及其它四类债券定价的边界条件，利用隐形差分法求解了在CIR模型下的偏微分方程并获得了MBS的最优赎回利率，比较分析了MBS和其它债券的价格关系。
关键词：最优期权赎回策略；住房抵押贷款支持证券；数值分析
中图分类号：F830.593
文献标识码： A
文章编号：1003-7217(2007)02-0061-05
一、引言
2005年12月15日，中国建设银行在全国银行间债券市场发行了国内首只“住房抵押贷款支持证券”(mortgagebacked security，MBS)“建元2005-1个人住房抵押贷款支持证券”，这标志着国内住房抵押贷款证券化已经进入实际操作阶段。按照中国银监会的要求，为深化银行改革，进一步匹配和优化银行的资产负债结构，提高资本充足率，防范、分散、转移风险，推进信贷资产业务标准化和规范化，试点MBS的银行将会进一步扩大，最终形成一个完备的住房抵押贷款二级交易市场。
在MBS方面，自1998年起，国内学术界和各金融机构就为住房抵押贷款证券化的具体实施和操作做了大量积极的研究和探索，这主要集中在证券化模式的选择和操作过程中的制度安排等问题。勿庸置疑，这些研究从制度上保证了住房抵押贷款证券化的顺利推进。然而应当看到的是，对MBS定价方面的研究还相当缺乏，目前仅有陈颖和屠梅曾以及陈柏东综述了国外MBS的定价方法[1，2]，施方虽然定量分析了MBS的价格，但缺乏MBS与其他含权债券的系统比较[3]。就国外的研究现状而言，Dunn-McConnell最早利用期权定价理论求解了MBS所满足的偏微分方程，从而开创了基于期权的MBS定价方法[4]。Stanton在这两位学者的基础上，进一步考虑了借款人异质、交易成本等影响借款人提前清偿行为的因素[5]。Brennan和Schwartz将长期利率作为影响MBS价格的另一潜在要素，考虑了基于双要素的MBS定价模型[6]。与Dunn和McConnell相比，Schwartz和Torous认为基于期权的MBS定价方法不能完全解释借款人的提前清偿行为。因此，利用30多年的美国MBS提前清偿数据，在生存分析(survival analysis)的基础上，将COX模型并入偏微分方程来求解MBS的价格，从而开创了基于实证分析的MBS定价法[7, 8]。与实际市场数据相比，两种方法求得的价格都与其存在一定差距，而造成这些差异的主要原因是由于借款人的提前清偿行为较难用模型加以刻画，同时交易成本、借款人异质、抵押贷款违约率等因素也会造成两者的差异。因此，Downing, Stanton和Wallace在其最新的研究中将抵押的房屋价格、借款人异质、交易成本等因素同时纳入定价模型中，发现两者的差异变得很小[9]。
应当看到，由于市场之间的差异，国外的定价模型不能照搬到中国的市场来直接利用，同时，并非所有的定价模型都能很好地加以利用，如基于实证的MBS定价方法。这主要是因为中国还缺乏抵押贷款借款人提前清偿行为的数据，虽然理论上既可以利用抵押证券群的还款数据(目前还没有)，也可以利用各银行单笔抵押贷款还款人的数据，但由于后者对各银行来说属于机密数据，一般的学术研究很难获得这些资料，这些现实困难使得目前国内对MBS的定价研究方法，只能利用基于期权的定价方法。
以下将从理论上利用期权思想来对MBS进行价值分析，由于没有实际的还款数据，借款人提前清偿行为将从最优期权赎回策略的角度来加以解决。作为定价模型的一个应用，在假设要素动态过程的基础上利用隐形差分法来求解偏微分方程，并获得借款人的最优赎回利率，再对MBS和其它各类含权和无权债券进行比较。
二、MBS的定价模型和求解方法
（一）MBS的价值分析
假设一只MBS，票面利率为c0，住房抵押贷款每月等额偿还，那么,月利息率为c0/12，将单利转换为连续复利，它的年连续复利为c=12ln(1+c0/12)。假设债券面值为f(0)，当前时刻为0，债券到期日为T，在不考虑提前清偿的情况下，这只债券是每月等额偿还。在连续时间下，可以将每月的等额偿还转换为连续等额偿还，假设每时刻该债券的等额偿还额为x，根据现值关系，那么,x与f(0)和连续复利c存在以下关系：
MBS定价之所以复杂，主要是由于支撑MBS现金流的是住房抵押贷款，而住房抵押借款人存在提前清偿和违约行为。从期权的角度分析，在一个不存在摩擦的市场下，当借款人向银行申请住房抵押贷款成功后，银行同时给予住房抵押借款人提前清偿贷款和违约的权利，当市场的利率不断下跌，抵押贷款的价值高于未偿还的本金时，住房抵押借款人将会执行赎回期权(call option)，即从其他银行以更低的成本借入相应的资金来偿还未支付的本金，致使住房抵押贷款提前结束，这将导致MBS的现金流发生剧烈变化；而当抵押的房屋市价不断下跌，跌至未偿还本金以下时，借款人将会执行回售期权(put option)，即发生违约行为，这使得银行不得不处理抵押的房屋来挽回损失，从而影响MBS的现金流。从以上的分析可以看到，基于期权的MBS定价方法，其提前清偿行为是从最优赎回策略的角度来加以考虑的，即在任一时点上，存在一个最优的赎回利率，当市场利率低于最优赎回利率以下时，所有的住房抵押贷款将会发生提前清偿；而当市场利率高于最优赎回利率时，所有的借款人都不会提前清偿。
（二）基于最优赎回策略的MBS定价模型
假设在一个不存在摩擦的经济里，整个经济的状态可以由m个状态变量来加以描述，t时刻这m个状态变量形成了状态向量（t)＝（Ｘ1（t),…，Ｘm(t))，考虑最一般的情况，这m个状态变量服从如下的随机微分方程：
式(4)中，βi和ηi表示第i个状态变量随机微分方程的漂移项和扩散项，dwi表示维纳增量财经理论与实践(双月刊)2007年第2期2007年第2期(总第146期)谢 赤等：“住房抵押贷款支持证券”定价模型及其应用基于最优期权赎回策略的分析过程，不同状态变量的扰动项可能存在相关性，即dwidwj=ρijdt。由于整个经济的状态都可以由这m个状态变量来加以描述，那么，t时刻任意债券的价格可以表示为状态向量和时间的函数，即Ｖ（（t),t)。
在极短的时间内，债券自身价格的变化可以表示为dV：
上式被定义为债券的瞬时收益率。用r(t)表示t时刻的无风险利率，为了满足市场不存在套利机会，根据CIR，债券的瞬时收益率应当满足以下条件[10]：
式(8)中λi表示风险的市场价格，由于Vi一般为负，为了保证正的风险溢价，λi一般应大于0，由于有m个状态变量，那么，必须有m个风险的市场价格来描述债券收益与无风险利率之间的均衡关系。将式(7)带入式(8)，可以得到任意债券价格所满足的偏微分方程：
式(9)是所有债券价格必须满足的偏微分方程。差别只是不同的边界条件限定了不同类型的债券价格变化过程。下面逐一分析MBS及其它含权和无权债券定价的边界条件。
1. MBS的边界条件。以V1表示MBS的价格，其期限为T，由于抵押贷款具有分期等额偿还和可提前清偿的性质，因此，MBS债券到期价格为0，在债券期限的任意时点上，债券都有可能被赎回(call),而且该期权的执行价格是时变的，等于债券的未偿还本金f(t)。当利率趋近于无穷大时，MBS的价格为0。因此，可以得到以下3个边界条件：
2. 无权债券边界条件。以V2表示无权债券的价格，其期限为T，无权债券是普通的附息债券，按期支付利息，到期还本。因此，到期日其价格为面值(假设为100)，当利率趋近于无穷大时，MBS的价格为0。其它边界条件需要根据状态模型来加以确定。
3. 可赎回债券边界条件。以V3表示可赎回债券的价格，并且这种权利是美式的，债券期限为T，其执行价格为E，由于在债券期限的任意时点上，债券都有可能被赎回(call)。当利率趋近于无穷大时，MBS的价格为0。因此，可以得到以下3个边界条件：
4. 可回售债券边界条件。以V4表示可赎回债券的价格，并且这种权利是美式的，债券期限为T，其执行价格为E，由于在债券期限的任意时点上，债券都有可能被回售(put)。可回售债券的利率不能趋近于无穷大，由于在期限内的任意时点上都存在一个最优回售利率，当利率高于最优回售利率时，债券都将会被回售，因此，其利率的取值只能在某一利率边界以下。因此，可以得到以下2个边界条件：
5. 分期不含权债券边界条件。以V5表示分期不含权债券的价格，其期限为T，分期不含权债券具有MBS的性质，即在债券期限内本金和利息同时等额加以支付，在到期日，债券的价格为0，其他性质类似于普通附息债券。因此，其边界定价条件为：
在不同的状态变量随机微分方程和风险市场价格的假设条件下，可以通过求解偏微分方程(8)获得各类型债券的解。在绝大多数状态变量随机过程下，式(9)并不存在解析解，这意味着必须利用数值方法才能求得各种债券的数值解。目前，求解偏微分方程的方法主要有显性差分法、隐性差分法和利率树图法。Brenha和Schwartz证明了在时间网格趋近于0的条件下，显性差分法等价于利率三叉树法[11]。Geske和Shastri[12]进一步比较了显性差分法和隐性差分法在求解偏微分方程过程中的能力，发现隐性差分法比显性差分法更可靠，求得的数值解均会收敛于方程的解，而显性差分法虽然求解过程较快，但需要保证网格间距在一定条件下，求得的数值解才会收敛于方程的解[13]。因此，可以利用隐性差分法来求解式(9)。
三、模型的数值求解和比较
理论上，模型(9)很好地解决了各类债券的定价问题。然而，在实际应用过程中还存在一些障碍：一方面用来描述整个经济的状态变量个数和状态变量服从的随机微分方程如何设定；另一方面对风险市场价格λ的设定既可以采用外生假定的形式，也可以从整个经济均衡的角度，根据极大化投资者期望效用函数来求得。对于这两个问题目前学术界都还没有达成共识。这里，假设状态变量个数为1，并设定这个状态变量为短期无风险利率r(t)，其随机微分方程服从CIR过程[10]：
其中，a表示短期利率的均值回复速度，b表示均值回复水平，σ表示利率的波动系数。CIR能较好地描述利率的动态行为，它克服了Vasicek和其他一些短期利率模型可能取负值的缺点，同时利率的波动项与利率水平相关，能够描述部分利率变化过程中的波动群聚(volatility clustering)行为。
在后续的数值分析中，设定a＝0.1，b=0.06，σ=0.05，λ=0.1,债券的期限为30年，票面利率为8%，面值为100，期权的执行价格为100。通过隐性差分法求解在(10)～(14)的边界条件下偏微分方程(9)的数值解，可以得到如表1的计算结果。表1中仅列出了当前利率初值为1%～15%的条件下，30年期各类债券的理论价格。同时在图1中，画出了这5种债券在不同利率初值下的价格关系图。
表1 不同利率初值下MBS和其它债券的价格比较
图1 不同利率初值下MBS和其它债券的价格关系
将表1和图1结合起来考虑，可以发现以下几个特点：
(1)5种债券中无权债券和分期支付债券是不含有任何其他权利的债券，分期支付债券由于可以提前获得现金流，因此，在较小的利率初值时无权债券价格应当高于分期支付债券，随着利率的提升，分期支付债券价格将超过无权债券价格，并且这种差距越来越大。然而，这种价格关系将会受到利率均值回复速度、波动系数和风险市场价格的影响，并非所有的价格关系都包含这两种情况。这里，当初始利率处于较小值时，分期支付债券的价格就已经高于无权债券，而且随着利率的提升，两者差距进一步加大，出现这种情况主要是由于设定的均值回复速度和波动系数偏大，造成未来利率变化大，从而在初始利率较小时无权债券价格就高于分期支付债券。
(2)5种债券中，可回售债券由于是投资者持有权利，因此在相同条款下，其价格均大于其他含权债券，大于或者等于无权债券，表1和图1清楚的说明了这点。对于回售债券，在债券期限内任一时点上均存在一最优回售利率，当市场利率高于该利率时，该债券将会发生回售。表1的计算表明，在0时刻，该债券回售的最优利率处于9.1%～10%之间。当初始利率高于这一利率时，债券价格等于回售价格100。当利率波动较小，在初始利率前期，可回售债券价格将等于无权债券，随着初始利率的增大，两者的差距越来越大。由于数值分析部分波动系数偏大，造成期权价值大，因此，图1中没有完全显现出两者在前期发生收敛的情况。
(3)MBS和可赎回债券具有类似性，除了两者支付利息和本金的方式不同，对于MBS和可赎回债券，两者在0时刻均存在一个最优赎回利率。表1的计算表明，可赎回债券的最优赎回利率在2%～3.1%之间，而MBS的最优赎回利率在3.1%～4.1%，这表明由于MBS现金流的等额支付性造成其最优赎回利率将会高于可赎回债券的最优赎回利率。图1也进一步说明了这种关系。在0时刻，当初始利率较小时，MBS和可赎回债券的价格相等，等于其面值。当初始利率进一步加大，MBS和可赎回债券的隐含期权价格越来越小，这造成MBS的价格将会收敛于分期支付债券，而可赎回债券价格将会收敛于无权债券价格。
图2 MBS的最优赎回利率
由于住房抵押贷款内涵赎回期权的美式性，因此，在MBS期限内的任意时点上，均存在一个最优赎回利率。利用隐性差分法，求得在假设条件下MBS的最优赎回利率，如图2。从图2可以看到，求得的最优赎回利率表现为一个阶梯函数，这是由于在差分求解过程中，网格的间距所造成的，随着网格间距越来越短，最优赎回利率曲线将会越来越光滑。图2中，MBS的最优赎回利率是不断上升的，随着到期日的临近，触发借款人赎回的利率不断提高。这主要是由于随着债券期限越来越短，期权执行价格越来越低，因此,需要更大的利率来使得贴现的现金流等于其执行价格，从而造成最优赎回利率的不断提高。
四、结论和后续研究建议
以上从最优期权赎回策略的角度来分析借款人的提前清偿行为，经过理论和数值方面的分析，主要得到以下结论：
(1)推导的偏微分方程理论上可以为任意债券定价，不同类型的债券可以通过不同的偏微分方程边界条件来体现。这里利用的隐性差分法能较好地解决这一方程的数值求解问题。
(2)MBS和分析的4类债券，它们的价格存在一定关系。基于最优赎回策略的MBS与可赎回债券最相似，MBS的最优执行利率高于可赎回债券的最优赎回利率。当初始利率处于最优赎回利率以下时候，MBS的价格等于其未偿还本金，可赎回债券价格等于其指定赎回价格。当利率超过最优赎回利率并进一步加大，MBS的价格将会收敛于分期支付债券，而可赎回债券价格将会收敛于无权债券价格。
(3)住房抵押贷款隐含期权可以在贷款期限的任意时点上执行，其最优执行利率随着期限的变小而不断变大。
可以看到，以上从最优赎回策略的角度来对MBS定价，由于数据方面的原因，还没有考虑交易成本、借款人异质等问题，借款人提前清偿行为没有考虑非利率等其他变量的影响。随着数据库建设的不断完善，在模型中进一步考虑其它因素将是以后研究的重点。
参考文献：
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[14]于瑾．线析含嵌入期权的证券实价方程的数值解法[Ｊ]．改革，2002，(4)：98－101．
The Pricing Model of the MBS Based on the Optimal Option Call Policy and Numerical Analysis XIE Chi1, 2, TAN Wensheng1, YAN Ruizeng1
(1. College of Business Administration, Hunan University, Changsha,Hunan 410082, China;
2. Center of Finance and Investment Management, Hunan University, Changsha,Hunan 410082, China)Abstract：In this paper, we analyze the prepayment behavior of the borrower form the perspective of the optimal option call policy. We theoretically derive the generic pricing partial equation and analyze the boundary condition to the mortgage backed security (MBS) and other four bonds. Then we numerically solve the partial equation under the CIR model and get the optimal call interest rate for the MBS. After comparisons, the relationships between the prices of MBS and other bonds are also analyzed.
Key words： Optimal Option Call Policy; Mortgagebacked Security (MBS); Numerical Analysis
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关键词：最优期权赎回策略；住房抵押贷款支持证券；数值分析
中图分类号：F830.593
文献标识码： A
文章编号：1003-7217(2007)02-0061-05
一、引言
2005年12月15日，中国建设银行在全国银行间债券市场发行了国内首只“住房抵押贷款支持证券”(mortgagebacked security，MBS)“建元2005-1个人住房抵押贷款支持证券”，这标志着国内住房抵押贷款证券化已经进入实际操作阶段。按照中国银监会的要求，为深化银行改革，进一步匹配和优化银行的资产负债结构，提高资本充足率，防范、分散、转移风险，推进信贷资产业务标准化和规范化，试点MBS的银行将会进一步扩大，最终形成一个完备的住房抵押贷款二级交易市场。
在MBS方面，自1998年起，国内学术界和各金融机构就为住房抵押贷款证券化的具体实施和操作做了大量积极的研究和探索，这主要集中在证券化模式的选择和操作过程中的制度安排等问题。勿庸置疑，这些研究从制度上保证了住房抵押贷款证券化的顺利推进。然而应当看到的是，对MBS定价方面的研究还相当缺乏，目前仅有陈颖和屠梅曾以及陈柏东综述了国外MBS的定价方法[1，2]，施方虽然定量分析了MBS的价格，但缺乏MBS与其他含权债券的系统比较[3]。就国外的研究现状而言，Dunn-McConnell最早利用期权定价理论求解了MBS所满足的偏微分方程，从而开创了基于期权的MBS定价方法[4]。Stanton在这两位学者的基础上，进一步考虑了借款人异质、交易成本等影响借款人提前清偿行为的因素[5]。Brennan和Schwartz将长期利率作为影响MBS价格的另一潜在要素，考虑了基于双要素的MBS定价模型[6]。与Dunn和McConnell相比，Schwartz和Torous认为基于期权的MBS定价方法不能完全解释借款人的提前清偿行为。因此，利用30多年的美国MBS提前清偿数据，在生存分析(survival analysis)的基础上，将COX模型并入偏微分方程来求解MBS的价格，从而开创了基于实证分析的MBS定价法[7, 8]。与实际市场数据相比，两种方法求得的价格都与其存在一定差距，而造成这些差异的主要原因是由于借款人的提前清偿行为较难用模型加以刻画，同时交易成本、借款人异质、抵押贷款违约率等因素也会造成两者的差异。因此，Downing, Stanton和Wallace在其最新的研究中将抵押的房屋价格、借款人异质、交易成本等因素同时纳入定价模型中，发现两者的差异变得很小[9]。
应当看到，由于市场之间的差异，国外的定价模型不能照搬到中国的市场来直接利用，同时，并非所有的定价模型都能很好地加以利用，如基于实证的MBS定价方法。这主要是因为中国还缺乏抵押贷款借款人提前清偿行为的数据，虽然理论上既可以利用抵押证券群的还款数据(目前还没有)，也可以利用各银行单笔抵押贷款还款人的数据，但由于后者对各银行来说属于机密数据，一般的学术研究很难获得这些资料，这些现实困难使得目前国内对MBS的定价研究方法，只能利用基于期权的定价方法。
以下将从理论上利用期权思想来对MBS进行价值分析，由于没有实际的还款数据，借款人提前清偿行为将从最优期权赎回策略的角度来加以解决。作为定价模型的一个应用，在假设要素动态过程的基础上利用隐形差分法来求解偏微分方程，并获得借款人的最优赎回利率，再对MBS和其它各类含权和无权债券进行比较。
二、MBS的定价模型和求解方法
（一）MBS的价值分析
假设一只MBS，票面利率为c0，住房抵押贷款每月等额偿还，那么,月利息率为c0/12，将单利转换为连续复利，它的年连续复利为c=12ln(1+c0/12)。假设债券面值为f(0)，当前时刻为0，债券到期日为T，在不考虑提前清偿的情况下，这只债券是每月等额偿还。在连续时间下，可以将每月的等额偿还转换为连续等额偿还，假设每时刻该债券的等额偿还额为x，根据现值关系，那么,x与f(0)和连续复利c存在以下关系：
MBS定价之所以复杂，主要是由于支撑MBS现金流的是住房抵押贷款，而住房抵押借款人存在提前清偿和违约行为。从期权的角度分析，在一个不存在摩擦的市场下，当借款人向银行申请住房抵押贷款成功后，银行同时给予住房抵押借款人提前清偿贷款和违约的权利，当市场的利率不断下跌，抵押贷款的价值高于未偿还的本金时，住房抵押借款人将会执行赎回期权(call option)，即从其他银行以更低的成本借入相应的资金来偿还未支付的本金，致使住房抵押贷款提前结束，这将导致MBS的现金流发生剧烈变化；而当抵押的房屋市价不断下跌，跌至未偿还本金以下时，借款人将会执行回售期权(put option)，即发生违约行为，这使得银行不得不处理抵押的房屋来挽回损失，从而影响MBS的现金流。从以上的分析可以看到，基于期权的MBS定价方法，其提前清偿行为是从最优赎回策略的角度来加以考虑的，即在任一时点上，存在一个最优的赎回利率，当市场利率低于最优赎回利率以下时，所有的住房抵押贷款将会发生提前清偿；而当市场利率高于最优赎回利率时，所有的借款人都不会提前清偿。
（二）基于最优赎回策略的MBS定价模型
假设在一个不存在摩擦的经济里，整个经济的状态可以由m个状态变量来加以描述，t时刻这m个状态变量形成了状态向量（t)＝（Ｘ1（t),…，Ｘm(t))，考虑最一般的情况，这m个状态变量服从如下的随机微分方程：
式(4)中，βi和ηi表示第i个状态变量随机微分方程的漂移项和扩散项，dwi表示维纳增量财经理论与实践(双月刊)2007年第2期2007年第2期(总第146期)谢 赤等：“住房抵押贷款支持证券”定价模型及其应用基于最优期权赎回策略的分析过程，不同状态变量的扰动项可能存在相关性，即dwidwj=ρijdt。由于整个经济的状态都可以由这m个状态变量来加以描述，那么，t时刻任意债券的价格可以表示为状态向量和时间的函数，即Ｖ（（t),t)。
在极短的时间内，债券自身价格的变化可以表示为dV：
上式被定义为债券的瞬时收益率。用r(t)表示t时刻的无风险利率，为了满足市场不存在套利机会，根据CIR，债券的瞬时收益率应当满足以下条件[10]：
式(8)中λi表示风险的市场价格，由于Vi一般为负，为了保证正的风险溢价，λi一般应大于0，由于有m个状态变量，那么，必须有m个风险的市场价格来描述债券收益与无风险利率之间的均衡关系。将式(7)带入式(8)，可以得到任意债券价格所满足的偏微分方程：
式(9)是所有债券价格必须满足的偏微分方程。差别只是不同的边界条件限定了不同类型的债券价格变化过程。下面逐一分析MBS及其它含权和无权债券定价的边界条件。
1. MBS的边界条件。以V1表示MBS的价格，其期限为T，由于抵押贷款具有分期等额偿还和可提前清偿的性质，因此，MBS债券到期价格为0，在债券期限的任意时点上，债券都有可能被赎回(call),而且该期权的执行价格是时变的，等于债券的未偿还本金f(t)。当利率趋近于无穷大时，MBS的价格为0。因此，可以得到以下3个边界条件：
2. 无权债券边界条件。以V2表示无权债券的价格，其期限为T，无权债券是普通的附息债券，按期支付利息，到期还本。因此，到期日其价格为面值(假设为100)，当利率趋近于无穷大时，MBS的价格为0。其它边界条件需要根据状态模型来加以确定。
3. 可赎回债券边界条件。以V3表示可赎回债券的价格，并且这种权利是美式的，债券期限为T，其执行价格为E，由于在债券期限的任意时点上，债券都有可能被赎回(call)。当利率趋近于无穷大时，MBS的价格为0。因此，可以得到以下3个边界条件：
4. 可回售债券边界条件。以V4表示可赎回债券的价格，并且这种权利是美式的，债券期限为T，其执行价格为E，由于在债券期限的任意时点上，债券都有可能被回售(put)。可回售债券的利率不能趋近于无穷大，由于在期限内的任意时点上都存在一个最优回售利率，当利率高于最优回售利率时，债券都将会被回售，因此，其利率的取值只能在某一利率边界以下。因此，可以得到以下2个边界条件：
5. 分期不含权债券边界条件。以V5表示分期不含权债券的价格，其期限为T，分期不含权债券具有MBS的性质，即在债券期限内本金和利息同时等额加以支付，在到期日，债券的价格为0，其他性质类似于普通附息债券。因此，其边界定价条件为：
在不同的状态变量随机微分方程和风险市场价格的假设条件下，可以通过求解偏微分方程(8)获得各类型债券的解。在绝大多数状态变量随机过程下，式(9)并不存在解析解，这意味着必须利用数值方法才能求得各种债券的数值解。目前，求解偏微分方程的方法主要有显性差分法、隐性差分法和利率树图法。Brenha和Schwartz证明了在时间网格趋近于0的条件下，显性差分法等价于利率三叉树法[11]。Geske和Shastri[12]进一步比较了显性差分法和隐性差分法在求解偏微分方程过程中的能力，发现隐性差分法比显性差分法更可靠，求得的数值解均会收敛于方程的解，而显性差分法虽然求解过程较快，但需要保证网格间距在一定条件下，求得的数值解才会收敛于方程的解[13]。因此，可以利用隐性差分法来求解式(9)。
三、模型的数值求解和比较
理论上，模型(9)很好地解决了各类债券的定价问题。然而，在实际应用过程中还存在一些障碍：一方面用来描述整个经济的状态变量个数和状态变量服从的随机微分方程如何设定；另一方面对风险市场价格λ的设定既可以采用外生假定的形式，也可以从整个经济均衡的角度，根据极大化投资者期望效用函数来求得。对于这两个问题目前学术界都还没有达成共识。这里，假设状态变量个数为1，并设定这个状态变量为短期无风险利率r(t)，其随机微分方程服从CIR过程[10]：
其中，a表示短期利率的均值回复速度，b表示均值回复水平，σ表示利率的波动系数。CIR能较好地描述利率的动态行为，它克服了Vasicek和其他一些短期利率模型可能取负值的缺点，同时利率的波动项与利率水平相关，能够描述部分利率变化过程中的波动群聚(volatility clustering)行为。
在后续的数值分析中，设定a＝0.1，b=0.06，σ=0.05，λ=0.1,债券的期限为30年，票面利率为8%，面值为100，期权的执行价格为100。通过隐性差分法求解在(10)～(14)的边界条件下偏微分方程(9)的数值解，可以得到如表1的计算结果。表1中仅列出了当前利率初值为1%～15%的条件下，30年期各类债券的理论价格。同时在图1中，画出了这5种债券在不同利率初值下的价格关系图。
表1 不同利率初值下MBS和其它债券的价格比较
图1 不同利率初值下MBS和其它债券的价格关系
将表1和图1结合起来考虑，可以发现以下几个特点：
(1)5种债券中无权债券和分期支付债券是不含有任何其他权利的债券，分期支付债券由于可以提前获得现金流，因此，在较小的利率初值时无权债券价格应当高于分期支付债券，随着利率的提升，分期支付债券价格将超过无权债券价格，并且这种差距越来越大。然而，这种价格关系将会受到利率均值回复速度、波动系数和风险市场价格的影响，并非所有的价格关系都包含这两种情况。这里，当初始利率处于较小值时，分期支付债券的价格就已经高于无权债券，而且随着利率的提升，两者差距进一步加大，出现这种情况主要是由于设定的均值回复速度和波动系数偏大，造成未来利率变化大，从而在初始利率较小时无权债券价格就高于分期支付债券。
(2)5种债券中，可回售债券由于是投资者持有权利，因此在相同条款下，其价格均大于其他含权债券，大于或者等于无权债券，表1和图1清楚的说明了这点。对于回售债券，在债券期限内任一时点上均存在一最优回售利率，当市场利率高于该利率时，该债券将会发生回售。表1的计算表明，在0时刻，该债券回售的最优利率处于9.1%～10%之间。当初始利率高于这一利率时，债券价格等于回售价格100。当利率波动较小，在初始利率前期，可回售债券价格将等于无权债券，随着初始利率的增大，两者的差距越来越大。由于数值分析部分波动系数偏大，造成期权价值大，因此，图1中没有完全显现出两者在前期发生收敛的情况。
(3)MBS和可赎回债券具有类似性，除了两者支付利息和本金的方式不同，对于MBS和可赎回债券，两者在0时刻均存在一个最优赎回利率。表1的计算表明，可赎回债券的最优赎回利率在2%～3.1%之间，而MBS的最优赎回利率在3.1%～4.1%，这表明由于MBS现金流的等额支付性造成其最优赎回利率将会高于可赎回债券的最优赎回利率。图1也进一步说明了这种关系。在0时刻，当初始利率较小时，MBS和可赎回债券的价格相等，等于其面值。当初始利率进一步加大，MBS和可赎回债券的隐含期权价格越来越小，这造成MBS的价格将会收敛于分期支付债券，而可赎回债券价格将会收敛于无权债券价格。
图2 MBS的最优赎回利率
由于住房抵押贷款内涵赎回期权的美式性，因此，在MBS期限内的任意时点上，均存在一个最优赎回利率。利用隐性差分法，求得在假设条件下MBS的最优赎回利率，如图2。从图2可以看到，求得的最优赎回利率表现为一个阶梯函数，这是由于在差分求解过程中，网格的间距所造成的，随着网格间距越来越短，最优赎回利率曲线将会越来越光滑。图2中，MBS的最优赎回利率是不断上升的，随着到期日的临近，触发借款人赎回的利率不断提高。这主要是由于随着债券期限越来越短，期权执行价格越来越低，因此,需要更大的利率来使得贴现的现金流等于其执行价格，从而造成最优赎回利率的不断提高。
四、结论和后续研究建议
以上从最优期权赎回策略的角度来分析借款人的提前清偿行为，经过理论和数值方面的分析，主要得到以下结论：
(1)推导的偏微分方程理论上可以为任意债券定价，不同类型的债券可以通过不同的偏微分方程边界条件来体现。这里利用的隐性差分法能较好地解决这一方程的数值求解问题。
(2)MBS和分析的4类债券，它们的价格存在一定关系。基于最优赎回策略的MBS与可赎回债券最相似，MBS的最优执行利率高于可赎回债券的最优赎回利率。当初始利率处于最优赎回利率以下时候，MBS的价格等于其未偿还本金，可赎回债券价格等于其指定赎回价格。当利率超过最优赎回利率并进一步加大，MBS的价格将会收敛于分期支付债券，而可赎回债券价格将会收敛于无权债券价格。
(3)住房抵押贷款隐含期权可以在贷款期限的任意时点上执行，其最优执行利率随着期限的变小而不断变大。
可以看到，以上从最优赎回策略的角度来对MBS定价，由于数据方面的原因，还没有考虑交易成本、借款人异质等问题，借款人提前清偿行为没有考虑非利率等其他变量的影响。随着数据库建设的不断完善，在模型中进一步考虑其它因素将是以后研究的重点。
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The Pricing Model of the MBS Based on the Optimal Option Call Policy and Numerical Analysis XIE Chi1, 2, TAN Wensheng1, YAN Ruizeng1
(1. College of Business Administration, Hunan University, Changsha,Hunan 410082, China;
2. Center of Finance and Investment Management, Hunan University, Changsha,Hunan 410082, China)Abstract：In this paper, we analyze the prepayment behavior of the borrower form the perspective of the optimal option call policy. We theoretically derive the generic pricing partial equation and analyze the boundary condition to the mortgage backed security (MBS) and other four bonds. Then we numerically solve the partial equation under the CIR model and get the optimal call interest rate for the MBS. After comparisons, the relationships between the prices of MBS and other bonds are also analyzed.
Key words： Optimal Option Call Policy; Mortgagebacked Security (MBS); Numerical Analysis
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