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摘 要：基于多相连续介质力学的理论，把土体抽象为叠合连续体，建立了有限变形下固-流耦合渗透固结问题的数学模型，模型中反映了固-流相的相互耦合作用。
关键词：固流耦合； 多相介质； 有限变形； 数学模型
中图分类号：O14文献标识码：A文章编号：1672-3198（2009）01-0284-02
1 基本假设
在以固相为宿主相的三相介质固结问题中，作如下假设：
(1)平衡及临界状态以前，固相骨架为准静态的；
(2)流相在固相骨架中的渗流服从达西定律；
(3)固相骨架处理为均质各向同性体；
(4)流相为理想流体。
2 有效应力原理
以固相为宿主相的骨架的变形主要由有效应力控制，有效应力原理表示为
σ=σ′-pm（1）
其中，σ为总应力，σ′为有效应力，都是以拉应力为正，p为流体应力，以压应力为正。许多学者提出了适用于岩土修正的有效应力原理
σ=σ′-am（2）
其中，α为修正系数。
3 固相骨架的应力平衡方程
由假设1，忽略固相骨架的惯性力，利用多相介质的动量守恒定律，得到固相骨架的有效应力表示的平衡方程为：
gσse+ρsbs-grad（p）=0（3）
式中，σse为固相骨架的有效应力，以拉应力为正，P为平均孔隙压力，其表达式为
p=sfpf=sgp（4）
sg=sf=1（5）
式中：sf，sf分别为水相和气相流体的饱和度，而pf，ps分别为岩土中水相压力和气相压力。方程（3）是以固相骨架为脱离体建立的平衡方程，σse实际上是有效应力。由于现实状态，通常都是需要求解的状态，一般知道的是初始状态的边界条件和状态，对现实状态的初始条件和状态是未知的，是需要求解的。为了求解，还需要把方程（3）转化到初始状态下的物质描述中。
假设体力和面力在物体的变形过程中保持不变，可以用Lagrange应力得到平衡方程：
Tseij，j+ρs0bs0i-p,j=0（6）
Lagrange应力张量是非对称的应力张量，使用起来很不方便，把上式变换到Kirchhoff应力所表示的平衡方程为：
XjSsekixjXk+ρs0bsoc-p，i=0（7）
式中，Xi为Lagrangian坐标，Xj为Eulerian坐标；ρs和ρs0分别为现实构形和初始构形的固体质量密度；b0，bs0分别为现实构形和初始构形的外体力密度；Sse表示固相有效的Kirchhoff应力。
4 在变形多孔介质中的流相控制方程
流体渗流运动是由流体流动的连续方程（质量守恒）、流体状态方程、流体渗流方程组成。
假设渗流速度满足达西定律：
V=-KUgrad（p）（8）
由多相介质的质量守恒定律，流相的连续方程为：
ρgm+ρmdiv（Vm）=C)m（9）
4.1 气相控制方程
令式（9）中m=g ，便得到气相流动的连续方程：
ρgg+ρgdiv（Vg）=C)g（10）
式中：C)g为气体的质量增加速率，它可以反映相之间的相互作用。由Vsg的物理意义，有：Vg=Vs+Vsg=Vs-Kgρg
krgugBg+RsfkrfufBfgrad（pg）
（11）
代入上式（10），有：
ρgg+ρgdiv（Vg=Vs+Vsg）=
Vs-KgρgkrgugBg+RsfkrfufBfgrad（pg）=C)g（12）
divKgρgkrgugBg+RsfkrfufBfgrad（pg）-θgS-
ρggρg+C)gρg=0（13）
其中：
θgS=Vsk，k=t（mTe）=
tusxx+usyy+uszz
为固相骨架的体积变形。
4.2 液相控制方程
令式（10）中m=l，便得到液相流动的连续方程：
ρgl+ρldiv（Vl）=C)l（14）
式中：C)l为液相的质量增加速率，它可以反映相之间的相互作用。
由Vsl的物理意义，有：
Vl=Vs=Vsl=Vs-KlkrlρlulBlgrad（pl）（15）
代入式(14)，有：
ρgl+ρldivVs-KlkrlρtulBlgrad（pl）=C)l（16）
化简后，得
divklkrlρlulBlgrad（pl）
-θgs-pglpl+C)lρl=0（17）
方程(18)即为以孔隙液相和固相骨架体积变形表示的连续方程，方程中的θgS项反映固体变形对孔隙液相压力的作用。
4.3 物性方程和几何方程
在多相连续介质中，把有效应力和骨架变形联系起来的本构方程与孔隙压力无关。在有限变形理论中，对于次弹性类物质增量形式的本构关系为：
VSseij=DtijklEkl（18）
式中，VSseij是Kirchhoff应力增量，VEkl是Green应变增量，DTijkl是参考初始位形的本构张量。在本文中，由于时间有限，只考虑土体发生的是线弹性变形的情形。对于土体材料是弹塑性的情况，本构矩阵DTijkl要发生变化，且需要选择合适的屈服函数，考虑流动法则和硬化规律。
固相的几何方程由固相(土体)的应变-位移关系来表示。在有限变形中，几何关系在直角坐标系中可以表示为：
ESKL=12［USKL+USLK+USNLUSNL］（19）
式中，US表示固相的位移分量。
5 固-流耦合固结问题的数学模型
5.1 固相的应力平衡方程
σse+ρsbs-grad（p=0）（20）
该方程是基于现实构形的平衡方程，σse为固相骨架的有效应力，以拉应力为正，p为平均压力。
p=sfpf+sgpg
sg+sf=1
式中：pf为液相压力，pg为气相压力，以压力为正。sg为气相的饱和度，sf为液相的饱和度。
用Kirchhoff应力表示的平衡方程为：
XkSselkxixt+ρs0bs0i-p,i=0(21)
5.2 气相渗流控制方程
考虑理想气体，不考虑气相的吸附与解吸时，其控制方程为：
divkgkrgρgugBggrad（pg）-
θgs-1pspgg=0（22）
5.3 液相渗流控制方程
考虑液体是不可压缩的理想流体，其控制方程为：
divklkrlρlulBlgrad（pl）-
θgs=0(23)
5.4 几何方程
Eskl=12［usK,L+usL,K+usN,LusN,l］
(24)
5.5 本构方程
考虑固相骨架为次弹性物质，其率形式为：
σ)se=σ)s（D,Am）(25)
Sse=S)s（Eg，Am）(26)
其中：Am为变形路径函数。其增量形式为：
VSseij=C0ijklVEkl(27)
Sseij=DepijklEgkl(28)
5.6 边界条件
σlknl=Fk
Sclkxixlnk=
uK=uk 在Γu上
pg=pg 在Γgv上
Vgs=Vgs 在Γvg上
pf=pf 在Γjp上
Vfs=Vfs 在ΓVF上
5.7 初始条件
σs|t=0=σ0
Ss|t=0=S0(29)
初始Lagrangian坐标坐标与Eulerian坐标重合时，σ0=s0
pg|t=0=pg0(30)
pf|t=0=Vf0(31)
Vg|t=0=Vg0(32)
以上(6.1)-(6.7)便构成了固-液-气三相介质相互耦合作用的力学边值问题。
参考文献
［1］董平川.储层流固耦合的数学模型及其有限元方程［J］.石油学报，1998，19(1)：64-70.
［2］李宁，陈飞熊.饱和土体固-液两相介质动力耦合问题有限元解析［J］.西安公路交通大学学报，1999，19（4）：6-10.
关键词：固流耦合； 多相介质； 有限变形； 数学模型
中图分类号：O14文献标识码：A文章编号：1672-3198（2009）01-0284-02
1 基本假设
在以固相为宿主相的三相介质固结问题中，作如下假设：
(1)平衡及临界状态以前，固相骨架为准静态的；
(2)流相在固相骨架中的渗流服从达西定律；
(3)固相骨架处理为均质各向同性体；
(4)流相为理想流体。
2 有效应力原理
以固相为宿主相的骨架的变形主要由有效应力控制，有效应力原理表示为
σ=σ′-pm（1）
其中，σ为总应力，σ′为有效应力，都是以拉应力为正，p为流体应力，以压应力为正。许多学者提出了适用于岩土修正的有效应力原理
σ=σ′-am（2）
其中，α为修正系数。
3 固相骨架的应力平衡方程
由假设1，忽略固相骨架的惯性力，利用多相介质的动量守恒定律，得到固相骨架的有效应力表示的平衡方程为：
gσse+ρsbs-grad（p）=0（3）
式中，σse为固相骨架的有效应力，以拉应力为正，P为平均孔隙压力，其表达式为
p=sfpf=sgp（4）
sg=sf=1（5）
式中：sf，sf分别为水相和气相流体的饱和度，而pf，ps分别为岩土中水相压力和气相压力。方程（3）是以固相骨架为脱离体建立的平衡方程，σse实际上是有效应力。由于现实状态，通常都是需要求解的状态，一般知道的是初始状态的边界条件和状态，对现实状态的初始条件和状态是未知的，是需要求解的。为了求解，还需要把方程（3）转化到初始状态下的物质描述中。
假设体力和面力在物体的变形过程中保持不变，可以用Lagrange应力得到平衡方程：
Tseij，j+ρs0bs0i-p,j=0（6）
Lagrange应力张量是非对称的应力张量，使用起来很不方便，把上式变换到Kirchhoff应力所表示的平衡方程为：
XjSsekixjXk+ρs0bsoc-p，i=0（7）
式中，Xi为Lagrangian坐标，Xj为Eulerian坐标；ρs和ρs0分别为现实构形和初始构形的固体质量密度；b0，bs0分别为现实构形和初始构形的外体力密度；Sse表示固相有效的Kirchhoff应力。
4 在变形多孔介质中的流相控制方程
流体渗流运动是由流体流动的连续方程（质量守恒）、流体状态方程、流体渗流方程组成。
假设渗流速度满足达西定律：
V=-KUgrad（p）（8）
由多相介质的质量守恒定律，流相的连续方程为：
ρgm+ρmdiv（Vm）=C)m（9）
4.1 气相控制方程
令式（9）中m=g ，便得到气相流动的连续方程：
ρgg+ρgdiv（Vg）=C)g（10）
式中：C)g为气体的质量增加速率，它可以反映相之间的相互作用。由Vsg的物理意义，有：Vg=Vs+Vsg=Vs-Kgρg
krgugBg+RsfkrfufBfgrad（pg）
（11）
代入上式（10），有：
ρgg+ρgdiv（Vg=Vs+Vsg）=
Vs-KgρgkrgugBg+RsfkrfufBfgrad（pg）=C)g（12）
divKgρgkrgugBg+RsfkrfufBfgrad（pg）-θgS-
ρggρg+C)gρg=0（13）
其中：
θgS=Vsk，k=t（mTe）=
tusxx+usyy+uszz
为固相骨架的体积变形。
4.2 液相控制方程
令式（10）中m=l，便得到液相流动的连续方程：
ρgl+ρldiv（Vl）=C)l（14）
式中：C)l为液相的质量增加速率，它可以反映相之间的相互作用。
由Vsl的物理意义，有：
Vl=Vs=Vsl=Vs-KlkrlρlulBlgrad（pl）（15）
代入式(14)，有：
ρgl+ρldivVs-KlkrlρtulBlgrad（pl）=C)l（16）
化简后，得
divklkrlρlulBlgrad（pl）
-θgs-pglpl+C)lρl=0（17）
方程(18)即为以孔隙液相和固相骨架体积变形表示的连续方程，方程中的θgS项反映固体变形对孔隙液相压力的作用。
4.3 物性方程和几何方程
在多相连续介质中，把有效应力和骨架变形联系起来的本构方程与孔隙压力无关。在有限变形理论中，对于次弹性类物质增量形式的本构关系为：
VSseij=DtijklEkl（18）
式中，VSseij是Kirchhoff应力增量，VEkl是Green应变增量，DTijkl是参考初始位形的本构张量。在本文中，由于时间有限，只考虑土体发生的是线弹性变形的情形。对于土体材料是弹塑性的情况，本构矩阵DTijkl要发生变化，且需要选择合适的屈服函数，考虑流动法则和硬化规律。
固相的几何方程由固相(土体)的应变-位移关系来表示。在有限变形中，几何关系在直角坐标系中可以表示为：
ESKL=12［USKL+USLK+USNLUSNL］（19）
式中，US表示固相的位移分量。
5 固-流耦合固结问题的数学模型
5.1 固相的应力平衡方程
σse+ρsbs-grad（p=0）（20）
该方程是基于现实构形的平衡方程，σse为固相骨架的有效应力，以拉应力为正，p为平均压力。
p=sfpf+sgpg
sg+sf=1
式中：pf为液相压力，pg为气相压力，以压力为正。sg为气相的饱和度，sf为液相的饱和度。
用Kirchhoff应力表示的平衡方程为：
XkSselkxixt+ρs0bs0i-p,i=0(21)
5.2 气相渗流控制方程
考虑理想气体，不考虑气相的吸附与解吸时，其控制方程为：
divkgkrgρgugBggrad（pg）-
θgs-1pspgg=0（22）
5.3 液相渗流控制方程
考虑液体是不可压缩的理想流体，其控制方程为：
divklkrlρlulBlgrad（pl）-
θgs=0(23)
5.4 几何方程
Eskl=12［usK,L+usL,K+usN,LusN,l］
(24)
5.5 本构方程
考虑固相骨架为次弹性物质，其率形式为：
σ)se=σ)s（D,Am）(25)
Sse=S)s（Eg，Am）(26)
其中：Am为变形路径函数。其增量形式为：
VSseij=C0ijklVEkl(27)
Sseij=DepijklEgkl(28)
5.6 边界条件
σlknl=Fk
Sclkxixlnk=
uK=uk 在Γu上
pg=pg 在Γgv上
Vgs=Vgs 在Γvg上
pf=pf 在Γjp上
Vfs=Vfs 在ΓVF上
5.7 初始条件
σs|t=0=σ0
Ss|t=0=S0(29)
初始Lagrangian坐标坐标与Eulerian坐标重合时，σ0=s0
pg|t=0=pg0(30)
pf|t=0=Vf0(31)
Vg|t=0=Vg0(32)
以上(6.1)-(6.7)便构成了固-液-气三相介质相互耦合作用的力学边值问题。
参考文献
［1］董平川.储层流固耦合的数学模型及其有限元方程［J］.石油学报，1998，19(1)：64-70.
［2］李宁，陈飞熊.饱和土体固-液两相介质动力耦合问题有限元解析［J］.西安公路交通大学学报，1999，19（4）：6-10.