初中教材已经对二次函数作了较详细的研究，但由于初中学生认识的局限性，这部份内容的学习多是单一而机械的，很难从本质上加以理解。进入高中以后，尤其是高三复习阶段，要对他们的基本概念和基本性质（图象以及单调性、奇偶性、有界性）灵活应用，对二次函数还需再作深入学习。下面谈谈笔者对二次函数的一些认识。
　　 一、进一步深入理解函数的概念
　　 函数的定义在初中阶段已经讲述过，进入高中后在学习集合的基础上又学习了映射，接着重新学习函数概念，主要是用映射观点来阐明函数，这时就可以用学生已经有一定了解的函数，特别是二次函数为例来更深认识函数的概念。二次函数是从一个集合A（定义域）到集合B（值域）上的映射ｆ：A→B，使得集合B中的元素y=ax2+bx+c（a≠0）与集合A的元素X对应，记为ｆ（x）=ax2+ bx+c（a≠0）这里ax2+bx+c表示对应法则，又表示定义域中的元素X在值域中的象，从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识，在学生掌握函数值的记号后，可以让学生进一步处理如下问题：
　　 例1：已知ｆ（x）＝2x2+x+2，求ｆ（x+1）
　　 分析：这里不能把ｆ(x+1)理解为x=x+1时的函数值，只能理解为自变量为x+1的函数值。
　　 例2：设ｆ（x+1）=x2－4x+1，求ｆ（x）
　　 分析：这个问题理解为在已知对应法则ｆ下，定义域中的元素x+1的象是x2－4x+1，求定义域中元素X的象，其本质是求对应法则，即求解析式。一般有两种方法：
　　 （1）拼凑法：把所给表达式表示成x+1的多项式。
　　 ｆ（x+1）=x2－4x+1=（x+1）2－6（x+1）+6，再用x代x+1
　　 得：ｆ（x）=x2－6x+6
　　 （2）换元法：对一般函数都可适用。
　　 令t=x+1，则x=t-1
　　 ∴ｆ（ｔ）=（t-1）2－4（t-1）+1=t2－6t+6从而f（x）＝x2－6x+6
　　 二、二次函数的单调性，最值与图象
　　 在高中阶段学习单调性时，必须让学生对二次函数y=ax2+bx+c在区间（－∞，－■ ]及[－■，+∞）上的单调性的结论用定义进行严格的论证，使它建立在严密理论的基础上，与此同时，进一步充分利用函数图象的直观性，给学生配以适当的练习，使学生逐步自觉地利用图象学习二次函数的单调性。
　　 例3：画出下列函数的图象，并通过图象研究其单调性：
　　 （1）y=x2+2|x－1|－1；（2）y=|x2－1|
　　 这里要使学生注意这些函数与一般二次函数的差异和联系，掌握把含有绝对值记号的函数用分段函数去表示，然后画出其图象。
　　 例4：设ｆ（x）=x2－2x－1在区间[t，t+1]上的最小值是g（t），求：g（t）并画出y=g（t）的图象。
　　 解：ｆ（x）=x2－2x－1=(x－1)2－2，在x=1时取最小值－2
　　 当1∈[t，t+1]即0≤t≤1，g（t）=－2
　　 当t＞1时，g（t）=ｆ（t）=t2－2t－1
　　 当t＜0时，g（t）=ｆ（t+1）=t2－2
　　 ｇ（ｔ）＝ｔ■－２，（ｔ＜０）－２，（０≤ｔ≤１）ｔ■－２ｔ－１（ｔ>1)
　　 首先要使学生弄清楚题意，一个二次函数在实数集合R上或是只有最小值或是只有最大值，但当定义域发生变化时，取最大或最小值的情况也随之变化，为了巩固和熟悉这方面知识，可以再给学生补充一些练习。如：y=3x2－5x+7（-3≤x≤－2），求该函数的值域。
　　 总之二次函数的内容涉及很广，有丰富的内涵和外延。在中学阶段占有重要的地位，是最基本的初等函数之一。以此为载体，可以编拟出层出不穷、灵活多变的数学问题，考查学生的数学基础知识和综合数学素质，在教学中应该引起足够的重视。