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摘要：离散数学课程是计算机科学基础理论的核心。对计算机专业的学生而言，学好这门课程，将为学习数据结构、操作系统等专业课程奠定坚实的基础。笔者通过教学实践发现，采用探究式、类比式教学方法，并及时对教学内容进行归纳总结，对提高离散数学课程的教学质量有很大的帮助。
关键词：离散数学；教学方法；探究式教学
作者简介：周建平（1982-），男，山东商河人，安徽工业大学计算机学院，讲师。（安徽 马鞍山 243002）
基金项目：本文系安徽工业大学青年科研基金项目（QZ200915）的研究成果。
中图分类号：G642.3 文献标识码：A 文章编号：1007-0079（2011）31-0117-02
离散数学以离散量的结构及其相互间的关系为研究目标，是现代数学的一个重要分支，并在未来的数学和精确科学的总的发展中起着至关重要的作用。[1]离散数学课程是计算机科学基础理论的核心和骨干，其教学内容（数理逻辑、集合论、代数系统、图论）与数据结构、操作系统、编译理论、算法分析、逻辑设计、系统结构、容错诊断、机器定理证明等课程紧密相关。譬如，“数据结构和算法分析与设计中含有大量离散结构的内容……图论中的概念被用于计算机网络、操作系统和编译系统等领域。集合论的概念被用在软件工程和数据库中”。[2]通过离散数学这门课程的教学，将有助于计算机专业的学生更好地学习其他专业课程，为以后从事软、硬件系统集成、开发、应用等研究打下坚实的基础。然而，离散数学课程中符号琐碎、概念繁多、理论抽象、解题时要求方法灵活、逻辑严密，容易导致学生产生消极、畏难情绪，进而降低学习效率。为解决以上问题，众多高校教师对离散数学课程的教学模式、教学方法乃至教学改革进行了探讨。例如，廖等将“任务驱动式”的教学模式引入离散数学的课堂教学，并提供了一个实际的教学案例；[3]薛等研究了离散数学课程课堂导入方法，阐明温故知新、故设悬念、讲述故事、激发讨论等导入方式，有助于活跃课堂气氛，激发学生的求知欲，进而提高教学质量；[4]刘等根据在三峡大学的教学实践，阐述了关于离散数学课程双语教学的认识和体会；[5]屈等则在对离散数学课程在计算机专业课程体系中的定位与教学情况进行调研后，对离散数学课程的教学目标、教学内容、教学设计等提出了一个分层的、模块化的教学实施方案。[6]这些研究工作对于改善离散数学课程的教学状况，提高这门课程的教学质量有着很大的现实意义。自2007年起，笔者开始在安徽工业大学为计算机科学与技术专业的学生讲授离散数学课程。通过这几个学年的离散数学教学，笔者发现，探究式教学能够在很大程度上调动学生的学习兴趣，类比式教学能够帮助学生对知识点的联系与区别加深理解，而对教学内容及时地归纳总结，则有助于学生把握知识脉络，提高学习效率。
一、探究式教学
探究是一种主动地、创造性地获取知识的方法。探究式教学指的是由教师提出问题及相关事例，对学生进行适当的点拨，引导学生通过观察、思考、讨论等途径去进行探究，自行提出假设并验证结论的一种教学方法。根据左等的定义，[7]在无孤立节点的图G中，若存在一条路经过每一条边一次且仅一次，则该路即为欧拉路。无向图G中具有一条欧拉路，当且仅当G是连通的且有零个或两个奇数度节点。笔者在讲授这部分内容时，即采用了探究式教学方法。
例1 对欧拉路的探究式学习。
（1）提出问题。在哥尼斯堡，有一条普莱格尔河横贯全城。在河上有七座桥，将河中的两个小岛与河岸联结起来。其示意图如图1所示。
该城市的居民提出了一个问题：能否不重复的遍游七桥，最后回到原地。用点来表示河岸和小岛，用边来表示桥梁，该问题可以转化为判断图2中是否存在欧拉路的问题。
（2）适当点拨。欧拉路问题相当于汉字书写的“一笔画”问题。能一笔书写出汉字“又”、“二”、“口”、“日”、“目”、“田” 吗？
（3）引导学生进行探究，提出假设。通过学生的观察，思考和讨论，判断出“又”、“口”、“日”中均存在欧拉路，而图F，“二”、“目”、“田”中则均没有欧拉路，并归纳出一个图中存在欧拉路的条件是该图联通，且奇数度节点个数为两个或零个。
（4）验证结论的有效性。学生自己画出另外一些简单的连通图，对所得结论的有效性进行验证。
此后，笔者对以上探究式教学过程进行了总结，讲解了证明过程。这种教学方式激发了学生的学习兴趣，以致在其学习后继内容 — 欧拉回路、欧拉图时，表现出较强的积极性。
二、类比式教学
类比，指的是一种推理方式，它将两个不同的对象进行比较，基于二者所具有的一些相同或相似的属性，来推测它们可能具有的其他相同或相似的属性。在离散数学教学中，小项与大项、析取范式与合取范式，划分与覆盖、等价关系与相容关系，同态与同构，欧拉回路与汉米尔顿路等知识点均可以用类比的方式进行讲解，帮助学生把握它们的区别和联系，进而加深其对相关知识的理解。需要提醒学生注意的是，类比推理是一种从特殊到特殊的推理方式，它隶属于或然性推理，其结论只具有一定程度上的可靠性。譬如，等价关系与集合的划分，相容关系与集合的覆盖均可以相互诱导，由一个等价关系可以唯一地确定一个集合的划分，若由此推出一个相容关系可以唯一地确定一个集合的覆盖则犯了"机械类比"的错误。
三、归纳总结
离散数学课程中概念、定理繁多、抽象，给教学带来了很大难度。因此，在讲课过程中教师应及时对教学内容进行归纳总结，使之条理化、系统化、结构化和形象化，以帮助学生把握知识脉络，加深对所学知识的理解，进而提高学习效率。在离散数学的课堂教学中，教师在讲解了二元关系的定义、性质、运算后，可基于此对自反关系、对称关系、传递关系的证明方法进行归纳总结。
例2 证明一个二元关系是自反关系、对称关系或传递关系的方法。
设R是A上关系，欲证R为自反关系，可应用方法1.1，1.2，1.3；欲证R为对称关系，可应用方法1.4，1.5，1.6；欲证R为传递关系，可应用方法1.7，1.8，1.9：
1.1任取 x∈A，证得∈R（根据自反关系的定义）；
1.2证得IAR（根据恒等关系IA的性质）；
1.3证得R∪IA=R（根据自反闭包的运算公式）；
1.4 任取x，y∈A，设∈R，证出 ∈R（根据对称关系的定义）；
1.5证得Rc=R（根据逆关系Rc的性质）；
1.6证得R∪Rc=R（根据对称闭包的运算公式）；
1.7任取 x，y，z∈A，设∈R，∈R，证出 ∈R（根据传递关系的定义）；
1.8证得R o RR（根据复合关系的性质）；
1.9证得R∪R2∪R3∪...=R（根据自反闭包的运算公式）。
值得注意的是，与文字表述方向相比，用图的方式对教学内容进行归纳总结更加直观、形象。在讲解格与布尔代数这部分内容后，可借助图3进行归纳知识脉络。
四、結束语
离散数学课程是计算机科学与技术专业的一门非常重要的基础课程。通过该课程的学习，不仅有助于学生提高抽象思维、逻辑推理以及缜密概括的能力，还将为其学习数据结构、操作系统、编译原理等后继课程奠定数学基础。在教学实践过程，教师应积极研究和借鉴先进的教学方法，充分调动学生的积极性和学习兴趣，从而提高这门课程的教学质量。
参考文献：
[1]许蔓苓.离散数学的方法和挑战[J].计算机研究与发展,2002,39(12):
1771-1772.
[2]教育部高等学校计算机科学与技术教学指导委员会.高等学校计算机科学与技术专业发展战略研究报告暨专业规范(试行)[M].北京:高等教育出版社,2006.
[3]廖伟志,李文敬,王汝凉.基于培养学生计算思维的任务驱动式“离散数学”教学模式研究[J].计算机教育,2009,(21):93-95.
[4]薛占熬,齐歌,杜浩翠,等.离散数学的课堂导入法研究[J].计算机教育,2010,(8):95-99.
[5]刘红美.浅谈离散数学双语教学[J].中国电力教育,2009,(2):60-61.
[6]屈婉玲,王元元,傅彦,等.“离散数学”课程教学实施方案[J].中国大学教学,2011,(1):39-41.
[7]左孝凌,李为鑑,刘永才.离散数学[M].上海:上海科学技术文献出版社,1982.
（责任编辑：麻剑飞）
关键词：离散数学；教学方法；探究式教学
作者简介：周建平（1982-），男，山东商河人，安徽工业大学计算机学院，讲师。（安徽 马鞍山 243002）
基金项目：本文系安徽工业大学青年科研基金项目（QZ200915）的研究成果。
中图分类号：G642.3 文献标识码：A 文章编号：1007-0079（2011）31-0117-02
离散数学以离散量的结构及其相互间的关系为研究目标，是现代数学的一个重要分支，并在未来的数学和精确科学的总的发展中起着至关重要的作用。[1]离散数学课程是计算机科学基础理论的核心和骨干，其教学内容（数理逻辑、集合论、代数系统、图论）与数据结构、操作系统、编译理论、算法分析、逻辑设计、系统结构、容错诊断、机器定理证明等课程紧密相关。譬如，“数据结构和算法分析与设计中含有大量离散结构的内容……图论中的概念被用于计算机网络、操作系统和编译系统等领域。集合论的概念被用在软件工程和数据库中”。[2]通过离散数学这门课程的教学，将有助于计算机专业的学生更好地学习其他专业课程，为以后从事软、硬件系统集成、开发、应用等研究打下坚实的基础。然而，离散数学课程中符号琐碎、概念繁多、理论抽象、解题时要求方法灵活、逻辑严密，容易导致学生产生消极、畏难情绪，进而降低学习效率。为解决以上问题，众多高校教师对离散数学课程的教学模式、教学方法乃至教学改革进行了探讨。例如，廖等将“任务驱动式”的教学模式引入离散数学的课堂教学，并提供了一个实际的教学案例；[3]薛等研究了离散数学课程课堂导入方法，阐明温故知新、故设悬念、讲述故事、激发讨论等导入方式，有助于活跃课堂气氛，激发学生的求知欲，进而提高教学质量；[4]刘等根据在三峡大学的教学实践，阐述了关于离散数学课程双语教学的认识和体会；[5]屈等则在对离散数学课程在计算机专业课程体系中的定位与教学情况进行调研后，对离散数学课程的教学目标、教学内容、教学设计等提出了一个分层的、模块化的教学实施方案。[6]这些研究工作对于改善离散数学课程的教学状况，提高这门课程的教学质量有着很大的现实意义。自2007年起，笔者开始在安徽工业大学为计算机科学与技术专业的学生讲授离散数学课程。通过这几个学年的离散数学教学，笔者发现，探究式教学能够在很大程度上调动学生的学习兴趣，类比式教学能够帮助学生对知识点的联系与区别加深理解，而对教学内容及时地归纳总结，则有助于学生把握知识脉络，提高学习效率。
一、探究式教学
探究是一种主动地、创造性地获取知识的方法。探究式教学指的是由教师提出问题及相关事例，对学生进行适当的点拨，引导学生通过观察、思考、讨论等途径去进行探究，自行提出假设并验证结论的一种教学方法。根据左等的定义，[7]在无孤立节点的图G中，若存在一条路经过每一条边一次且仅一次，则该路即为欧拉路。无向图G中具有一条欧拉路，当且仅当G是连通的且有零个或两个奇数度节点。笔者在讲授这部分内容时，即采用了探究式教学方法。
例1 对欧拉路的探究式学习。
（1）提出问题。在哥尼斯堡，有一条普莱格尔河横贯全城。在河上有七座桥，将河中的两个小岛与河岸联结起来。其示意图如图1所示。
该城市的居民提出了一个问题：能否不重复的遍游七桥，最后回到原地。用点来表示河岸和小岛，用边来表示桥梁，该问题可以转化为判断图2中是否存在欧拉路的问题。
（2）适当点拨。欧拉路问题相当于汉字书写的“一笔画”问题。能一笔书写出汉字“又”、“二”、“口”、“日”、“目”、“田” 吗？
（3）引导学生进行探究，提出假设。通过学生的观察，思考和讨论，判断出“又”、“口”、“日”中均存在欧拉路，而图F，“二”、“目”、“田”中则均没有欧拉路，并归纳出一个图中存在欧拉路的条件是该图联通，且奇数度节点个数为两个或零个。
（4）验证结论的有效性。学生自己画出另外一些简单的连通图，对所得结论的有效性进行验证。
此后，笔者对以上探究式教学过程进行了总结，讲解了证明过程。这种教学方式激发了学生的学习兴趣，以致在其学习后继内容 — 欧拉回路、欧拉图时，表现出较强的积极性。
二、类比式教学
类比，指的是一种推理方式，它将两个不同的对象进行比较，基于二者所具有的一些相同或相似的属性，来推测它们可能具有的其他相同或相似的属性。在离散数学教学中，小项与大项、析取范式与合取范式，划分与覆盖、等价关系与相容关系，同态与同构，欧拉回路与汉米尔顿路等知识点均可以用类比的方式进行讲解，帮助学生把握它们的区别和联系，进而加深其对相关知识的理解。需要提醒学生注意的是，类比推理是一种从特殊到特殊的推理方式，它隶属于或然性推理，其结论只具有一定程度上的可靠性。譬如，等价关系与集合的划分，相容关系与集合的覆盖均可以相互诱导，由一个等价关系可以唯一地确定一个集合的划分，若由此推出一个相容关系可以唯一地确定一个集合的覆盖则犯了"机械类比"的错误。
三、归纳总结
离散数学课程中概念、定理繁多、抽象，给教学带来了很大难度。因此，在讲课过程中教师应及时对教学内容进行归纳总结，使之条理化、系统化、结构化和形象化，以帮助学生把握知识脉络，加深对所学知识的理解，进而提高学习效率。在离散数学的课堂教学中，教师在讲解了二元关系的定义、性质、运算后，可基于此对自反关系、对称关系、传递关系的证明方法进行归纳总结。
例2 证明一个二元关系是自反关系、对称关系或传递关系的方法。
设R是A上关系，欲证R为自反关系，可应用方法1.1，1.2，1.3；欲证R为对称关系，可应用方法1.4，1.5，1.6；欲证R为传递关系，可应用方法1.7，1.8，1.9：
1.1任取 x∈A，证得
1.2证得IAR（根据恒等关系IA的性质）；
1.3证得R∪IA=R（根据自反闭包的运算公式）；
1.4 任取x，y∈A，设
1.5证得Rc=R（根据逆关系Rc的性质）；
1.6证得R∪Rc=R（根据对称闭包的运算公式）；
1.7任取 x，y，z∈A，设
1.8证得R o RR（根据复合关系的性质）；
1.9证得R∪R2∪R3∪...=R（根据自反闭包的运算公式）。
值得注意的是，与文字表述方向相比，用图的方式对教学内容进行归纳总结更加直观、形象。在讲解格与布尔代数这部分内容后，可借助图3进行归纳知识脉络。
四、結束语
离散数学课程是计算机科学与技术专业的一门非常重要的基础课程。通过该课程的学习，不仅有助于学生提高抽象思维、逻辑推理以及缜密概括的能力，还将为其学习数据结构、操作系统、编译原理等后继课程奠定数学基础。在教学实践过程，教师应积极研究和借鉴先进的教学方法，充分调动学生的积极性和学习兴趣，从而提高这门课程的教学质量。
参考文献：
[1]许蔓苓.离散数学的方法和挑战[J].计算机研究与发展,2002,39(12):
1771-1772.
[2]教育部高等学校计算机科学与技术教学指导委员会.高等学校计算机科学与技术专业发展战略研究报告暨专业规范(试行)[M].北京:高等教育出版社,2006.
[3]廖伟志,李文敬,王汝凉.基于培养学生计算思维的任务驱动式“离散数学”教学模式研究[J].计算机教育,2009,(21):93-95.
[4]薛占熬,齐歌,杜浩翠,等.离散数学的课堂导入法研究[J].计算机教育,2010,(8):95-99.
[5]刘红美.浅谈离散数学双语教学[J].中国电力教育,2009,(2):60-61.
[6]屈婉玲,王元元,傅彦,等.“离散数学”课程教学实施方案[J].中国大学教学,2011,(1):39-41.
[7]左孝凌,李为鑑,刘永才.离散数学[M].上海:上海科学技术文献出版社,1982.
（责任编辑：麻剑飞）