这期我们要谈一个看似简单的几何问题。这个问题是我多年以前偶然遇到的，它不仅答案非常有趣，而且寻找答案的过程非常有启发意义。当时我遇到的问题是：
　　如何将1个正三角形分割成4块，使其恰好能拼合成1个正方形。
　　这个问题的解答如图1所示。
　　答案很巧妙，是不是？很多人可能百思不得其解，见到答案后不禁会问：我们要如何思考才能够找到这个答案？这是相当睿智的一问。下面，我们就来还原解决这个问题的思考过程。
　　要想解决一个问题，关键在于如何找到这个问题的关键点。找到问题的关键所在，思维才不会漫无目标，思绪才能走上解决问题的正确轨道。对于上述问题，其关键点看起来有两个：一个是拼合前后面积不变，另一个是拼合的结果是一个正方形。因此，解决问题就应该从这两个关键点出发。
　　把正三角形分割成四块多边形，我们显然可以假设分割的“第一刀”经过正三角形的两条边。因此，我们不妨假设它就像是上列左图中的DF。正方形有4个直角，对于正三角形所切成的4块图形，我们需要它们不仅能够拼出4个直角，而且其他的角可以被拼成180°或360°。所以，我们略加思索后即可以假设，另外的分割线就像是上列左图中的EH和GI。我们现在当然不能排除H和I为同一点的可能性，但无论如何，我们的思绪已经在正确的轨道上了。
　　有了DF及EH、GI，我们就切割出了十多个不同的角。如何从中拼出直角，将是一个头绪纷繁的问题。最直截了当的想法，是假定EH和G，都与DF垂直。这样，4个直角就都有了，而问题也就简单化了。因此我们先接受这个假设，然后继续思考，以观后效。
　　在上述垂直假设之下，∠AEH与∠BEH互为补角，要将4块图形拼成正方形，最可能的方案是将四边形EHFB绕E点向上旋转180。拼接，以便将这对补角拼成180。的平角。因此，我们考虑将E点取为AB的中点。同理，我们将D点取为AC的中点。
　　现在，将EHFB绕E点向上旋转180°，将DIGC绕D点向上旋转180°，我们就拼出了上列右图的下面3块。于是，只要直角三角形IFG的斜边正好等于FB与GC的长度和，也即等于底边长的一半，则我们就至少拼成了1个长方形。而如果我们选择F、G点，使得EH恰好等于正方形边长的一半，则根据面积关系，所拼成的图形一定是1个正方形！至此我们发现，以上分析和思考中的所有假设都是成立的，余下的问题是如何确定F、G、H、I四个点，而这一点儿都不困难。
　　根据以上讨论，我们可以用如下5个步骤作出正三角形的分割：
　　（1）以AB的中点E为圆心，以正方形边长的一半为半径作圆。
　　（2）从AC的中点D作圆的切线，将位于正三角形内的切点记为H。
　　（3）沿长DH，将它与底边BC的交点记为F。
　　（4）找出底边BC上的点G，使得FG等于底边边长的一半。
　　（5）由点G作DF的垂线，交DF于点I。
　　事实上，以上步骤只是分割正三角形的一种办法。根据长度关系，我们不难推得DF的长度恰好等于正方形的边长。因此，以D点为圆心，以结果正方形的边长为半径作圆，则其与底边BC的交点即为F。以此为基础参考以上分析，可以得出另一种确定G、H、I诸点的步骤。由此可见，分割正三角形的步骤不止1种。
　　有意思的是，上述分割方法的5个步骤并没有利用正三角形的3个角都等于60°这个特性，因此这种分割法对很多一般三角形都是可行的。也就是说，很多三角形可以用以上方法分割成4块，然后拼合成1个正方形。显然，只要这种分割方法能够在三角形内得到H、I两点，则它就一定是可行的。下面，我们再举个例子。
　　例：将5边边长分别为6、8、10的三角形分割成恰好可以拼成正方形的4块。
　　以上化三角形为正方形的问题，看似相当困难，但如果我们能够找到正确的入手点，则问题可以迎刃而解。上述分析、解决问题的过程，为我们展示了一个如何发现解决问题关鍵点的典型案例。细细品味，我们也许能够从中得到很大的启发，并因此提高自己解决问题的能力。
　　作为本文的结束，我们提出几个与本文相关的问题供读者思考：什么样的三角形不可以用上述步骤分割成恰好能拼合成正方形的4块？如果1个三角形不能用上述步骤化为正方形，是不是可以用别的方法做到？如果4块不能，一般的三角形需要切割成几块才能拼成正方形？