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摘 要：在梳理概念结构系统的形成、发展、更新的基本特征的基础上，进行针对性教学设计，以帮助学生形成概念结构，培育数学抽象素养.
关键词：余弦定理;正弦定理;概念结构;数学抽象
一、背景
数学抽象是数学最基本的思维方式，通常要经历感知与识别、分类与概括、想象与建构、定义与表征、系统化与结构化五个阶段. 其中，数学抽象的前两步分别是感知与识别、分类与概括. 第一阶段是感性抽象或经验性抽象;第二阶段是理性抽象或反思性抽象. 相应地，数学教学应该在明确研究对象的基础上，强化学生的观察、直观感知（包括动手操作和思维实验），强化学生对抽象对象相似性的识别，让学生更深入、更充分地感知抽象对象，熟悉它们的形象，感受它们的内涵与本质，夯实抽象的基础. 也就是说，从具体事例的相似性识别开始应当是数学抽象教学的一条基本原则;由真实事物出发，给学生的思维插上想象的翅膀，帮助他们清楚新、旧抽象概念之间的逻辑相关性，是数学抽象的基本做法.
如前所述，数学抽象是具有阶段性和层次性的，同时，各阶段、层次之间具备一定的相似性. 这与概念的形成与发展具有类似的特征. 语言学中形成概念的方式主要是“共时性”抽象概括和“历时性”抽象概括. 其中，“共时性”抽象概括是指在一定阶段里，在事物的特征没有明显变化的情况下，以抽取该事物不同时空表现形式的感性形象中的共有属性来加以概括以形成概念的方式.“历时性”抽象概括是把握事物演变历史以形成概念的方式. 一个事物的变化总是在一定时空里的连续变化，而且表现出阶段性，反映到人脑里则是变化着的并具有阶段性的感性形象的序列. 随着时间的推移，该事物一些旧的特征逐渐消失，并被一些新的特征所代替，那么消失了的特征也在概念形象里隐退，它只保留在先行阶段的概括里;而新的特征逐渐成为新一阶段的共有特征，并上升到概念形象中来，逐渐形成新一階段的概念形象，建构出新一阶段的概念. 这样，就在渐变的沿革中，实现了概念形象的更替和概念金字塔体系的与时推移，其结果是一个阶梯式的概念结构系统.
我们尝试在日常的概念教学中主动关注并梳理如上所述的概念结构系统，并据此进行更具有针对性的微观教学设计. 一方面，梳理的过程能促使教师更好地把握教学体系的脉络，并依据不同阶段的概念（及其相似性）进行针对性的概念教学设计;另一方面，结合具体问题，可以提供较为有力的抓手，以展现或识别不同阶段的数学抽象素养水平.
针对解三角形问题，在不同阶段可以运用不同的概念来解决. 新阶段概念的形成、发展与更新意味着概念结构系统的发展与更新. 同时，相应的数学抽象素养也得到更高层次的表现，从而形成如图1所示的概念结构系统.
二、正弦定理、余弦定理中的“历时性”和“共时性”
图1较清晰地展现了“解三角形”概念结构系统发展过程中的“共时性”与“历时性”. 其中，正弦定理和余弦定理作为重要的节点，对该概念结构系统的发展与更新具有承上启下的作用. 我们试图通过研究正弦定理和余弦定理这一关键节点中蕴含的“共时性”和“历时性”来阐释概念结构系统的形成、发展和更新，即从较为微观的层面来说明概念结构系统的基本特征.
1. 余弦定理中的“共时性”
余弦定理的论证可运用如图2所示的概念结构系统表达. 事实上，“共时性”类似我们所熟悉的一题多解形式. 同时，我们也应该关注“多解”之间的联系.
其中，解析法的关键在于将三角形的一个顶点放在原点，如图3所示，可得[CbcosA，bsinA]，[Bc，0].借助距离公式可得[a2=bcosA-c2+bsinA2]，化简后得到余弦定理.
2. 余弦定理中的“历时性”
余弦定理的达成过程（即图1中的概念结构系统阶段1）是充分考虑到学生已经掌握的直角三角形中的边角关系（概念与概念之间的相似性），进而完成斜三角形中的边角关系，即[a，b，c]与[cosA]，[cosB]，[cosC]之间的等量关系，如图4所示，下文简称为“阶段1”.
通过运用向量数量积的运算规律，上述概念结构系统还可以继续发展，即图1中的概念结构系统阶段2，如图5所示，以下简称为“阶段2”.
3. 余弦定理与正弦定理中的“共时性”
事实上，正弦定理的论证可以依据余弦定理概念结构系统中的阶段1和阶段2来解决，反之亦然，如图6所示.
三、概念结构系统的重要作用
下面举例说明概念结构系统对微观教学设计及培育和识别数学抽象素养水平的重要作用.
例 已知[△ABC]的三个顶点的坐标为[A2，1]，[B4，1]，[C3，2]，解这个三角形.
1. 有利于进行针对性的微观教学设计
事实上，教师在进行微观教学设计之前，都会对知识体系脉络进行梳理，如文献[4]. 而关注概念结构系统能够为我们提供一个新的视角来尝试理清微观设计中的核心问题（或核心工具），并且依据概念的相似性帮助教师在应对“新概念”教学的切入点时找到相对有效的路径，并据此进行相关问题的设计. 例如，在学生阅读完教材上关于向量数量积的内容后，上述例题可以作为引例提出. 在学生提出运用向量数量积的概念后，教师可以顺势引导学生回答向量数量积这一核心概念中的基本问题，如为什么要引入“投影”？为什么要特别关注向量数量积中的分配律这一运算规律？这样，就有一个有利的抓手帮助教师形成更有针对性并且更有张力的课堂. 当然，教学过程中，面对数学抽象素养水平较高的学生，不妨推荐他们阅读文献[5].
2. 有利于识别数学抽象素养
事实上，在学习向量的数量积之前，学生会采用余弦定理、点到直线的距离来解答上述例题. 学生解题的过程，就是在“历时性”和“共时性”两个方面展现自己的概念结构系统. 在引导学生运用向量更新概念结构系统的过程中，应该专注于向量法与余弦定理，以及解析法的联系与区别（概念的相似性）. 这样，能够让学生体会到向量法是一种更为高级（抽象）的解法. 而作为教师，亦能通过该问题了解学生的数学抽象素养发展阶段，并适时地引导学生完善他们的概念结构系统. 3. 有利于形成教学（学习）网络
一方面，通过对概念结构的把握，帮助学生自省自身的概念结构来解决问题，同时引导学生利用新的工具去更新概念结构解决问题;另一方面，依据学生特定的概念结构，教师可以把握好引导（或探究）的度，课堂也会更加具有弹性.
4. 有利于进行针对性命题
从命题的角度来说，依据概念结构系统的“历时性”“共时性”，我们可以进行更有针对性的命题工作. 同时，通过针对性的命题，区分学生的概念结构系统或数学抽象素养水平.
四、小结
1. 关注工具对概念结构（系统）发展、更新的重要影响
通过上文的论述，概念结构的发展和更新在于不同阶段运用恰当的概念（工具），如“分类”以及直角三角形的基本结论、单位圆、向量等. 在更新概念结构的教学过程中，教师应该积极思考如何在概念相似性的基础上运用新工具、（思维）方法有效帮助学生更新原有的概念结构系统.
2. 关注概念结构形成、发展和更新的过程
事实上，从解决问题的角度来看，概念结构并无优劣之分. 选择任何阶段的概念结构系统来解决问题都是值得肯定的. 但是我们应该关注同一问题下的概念结构系统是否存在优化（或迁移）的可能. 例如，在处理余弦定理时，相对于阶段1来说，阶段2在论述上更为简洁;处理余弦定理的两个阶段同时也能适用于正弦定理等. 事实上，在关注概念结构系统更新的同时，在一定程度上，就是在关注数学抽象素养水平的发展.
参考文献：
[1]李昌官. 数学抽象及其教学[J]. 数学教育学报，2017，26（4）：61-64.
[2]郑正亚. 数学抽象概念教学随笔[J]. 数学教育学报，1999，8（1）：75-78.
[3]王春华. 概念的结构[J]. 学术论坛，2006（1）：35-38.
[4]曾荣. 迁移经验，提高“四能”：“正弦定理”（第一课时）教学设计与思考[J]. 教育研究与评论，2019（4）：49-52.
[5]张曜光. 对平面向量数量积发生发展之思考[J]. 数学通报，2017，56（5）：15-17.
[6]袁震东等. 上海市高级中学数学教学参考资料[M]. 上海：上海教育出版社，2017.
收稿日期：2020-07-07
作者簡介：袁液（1985— ），男，中学二级教师，主要从事高中数学概念教学研究.
关键词：余弦定理;正弦定理;概念结构;数学抽象
一、背景
数学抽象是数学最基本的思维方式，通常要经历感知与识别、分类与概括、想象与建构、定义与表征、系统化与结构化五个阶段. 其中，数学抽象的前两步分别是感知与识别、分类与概括. 第一阶段是感性抽象或经验性抽象;第二阶段是理性抽象或反思性抽象. 相应地，数学教学应该在明确研究对象的基础上，强化学生的观察、直观感知（包括动手操作和思维实验），强化学生对抽象对象相似性的识别，让学生更深入、更充分地感知抽象对象，熟悉它们的形象，感受它们的内涵与本质，夯实抽象的基础. 也就是说，从具体事例的相似性识别开始应当是数学抽象教学的一条基本原则;由真实事物出发，给学生的思维插上想象的翅膀，帮助他们清楚新、旧抽象概念之间的逻辑相关性，是数学抽象的基本做法.
如前所述，数学抽象是具有阶段性和层次性的，同时，各阶段、层次之间具备一定的相似性. 这与概念的形成与发展具有类似的特征. 语言学中形成概念的方式主要是“共时性”抽象概括和“历时性”抽象概括. 其中，“共时性”抽象概括是指在一定阶段里，在事物的特征没有明显变化的情况下，以抽取该事物不同时空表现形式的感性形象中的共有属性来加以概括以形成概念的方式.“历时性”抽象概括是把握事物演变历史以形成概念的方式. 一个事物的变化总是在一定时空里的连续变化，而且表现出阶段性，反映到人脑里则是变化着的并具有阶段性的感性形象的序列. 随着时间的推移，该事物一些旧的特征逐渐消失，并被一些新的特征所代替，那么消失了的特征也在概念形象里隐退，它只保留在先行阶段的概括里;而新的特征逐渐成为新一阶段的共有特征，并上升到概念形象中来，逐渐形成新一階段的概念形象，建构出新一阶段的概念. 这样，就在渐变的沿革中，实现了概念形象的更替和概念金字塔体系的与时推移，其结果是一个阶梯式的概念结构系统.
我们尝试在日常的概念教学中主动关注并梳理如上所述的概念结构系统，并据此进行更具有针对性的微观教学设计. 一方面，梳理的过程能促使教师更好地把握教学体系的脉络，并依据不同阶段的概念（及其相似性）进行针对性的概念教学设计;另一方面，结合具体问题，可以提供较为有力的抓手，以展现或识别不同阶段的数学抽象素养水平.
针对解三角形问题，在不同阶段可以运用不同的概念来解决. 新阶段概念的形成、发展与更新意味着概念结构系统的发展与更新. 同时，相应的数学抽象素养也得到更高层次的表现，从而形成如图1所示的概念结构系统.
二、正弦定理、余弦定理中的“历时性”和“共时性”
图1较清晰地展现了“解三角形”概念结构系统发展过程中的“共时性”与“历时性”. 其中，正弦定理和余弦定理作为重要的节点，对该概念结构系统的发展与更新具有承上启下的作用. 我们试图通过研究正弦定理和余弦定理这一关键节点中蕴含的“共时性”和“历时性”来阐释概念结构系统的形成、发展和更新，即从较为微观的层面来说明概念结构系统的基本特征.
1. 余弦定理中的“共时性”
余弦定理的论证可运用如图2所示的概念结构系统表达. 事实上，“共时性”类似我们所熟悉的一题多解形式. 同时，我们也应该关注“多解”之间的联系.
其中，解析法的关键在于将三角形的一个顶点放在原点，如图3所示，可得[CbcosA，bsinA]，[Bc，0].借助距离公式可得[a2=bcosA-c2+bsinA2]，化简后得到余弦定理.
2. 余弦定理中的“历时性”
余弦定理的达成过程（即图1中的概念结构系统阶段1）是充分考虑到学生已经掌握的直角三角形中的边角关系（概念与概念之间的相似性），进而完成斜三角形中的边角关系，即[a，b，c]与[cosA]，[cosB]，[cosC]之间的等量关系，如图4所示，下文简称为“阶段1”.
通过运用向量数量积的运算规律，上述概念结构系统还可以继续发展，即图1中的概念结构系统阶段2，如图5所示，以下简称为“阶段2”.
3. 余弦定理与正弦定理中的“共时性”
事实上，正弦定理的论证可以依据余弦定理概念结构系统中的阶段1和阶段2来解决，反之亦然，如图6所示.
三、概念结构系统的重要作用
下面举例说明概念结构系统对微观教学设计及培育和识别数学抽象素养水平的重要作用.
例 已知[△ABC]的三个顶点的坐标为[A2，1]，[B4，1]，[C3，2]，解这个三角形.
1. 有利于进行针对性的微观教学设计
事实上，教师在进行微观教学设计之前，都会对知识体系脉络进行梳理，如文献[4]. 而关注概念结构系统能够为我们提供一个新的视角来尝试理清微观设计中的核心问题（或核心工具），并且依据概念的相似性帮助教师在应对“新概念”教学的切入点时找到相对有效的路径，并据此进行相关问题的设计. 例如，在学生阅读完教材上关于向量数量积的内容后，上述例题可以作为引例提出. 在学生提出运用向量数量积的概念后，教师可以顺势引导学生回答向量数量积这一核心概念中的基本问题，如为什么要引入“投影”？为什么要特别关注向量数量积中的分配律这一运算规律？这样，就有一个有利的抓手帮助教师形成更有针对性并且更有张力的课堂. 当然，教学过程中，面对数学抽象素养水平较高的学生，不妨推荐他们阅读文献[5].
2. 有利于识别数学抽象素养
事实上，在学习向量的数量积之前，学生会采用余弦定理、点到直线的距离来解答上述例题. 学生解题的过程，就是在“历时性”和“共时性”两个方面展现自己的概念结构系统. 在引导学生运用向量更新概念结构系统的过程中，应该专注于向量法与余弦定理，以及解析法的联系与区别（概念的相似性）. 这样，能够让学生体会到向量法是一种更为高级（抽象）的解法. 而作为教师，亦能通过该问题了解学生的数学抽象素养发展阶段，并适时地引导学生完善他们的概念结构系统. 3. 有利于形成教学（学习）网络
一方面，通过对概念结构的把握，帮助学生自省自身的概念结构来解决问题，同时引导学生利用新的工具去更新概念结构解决问题;另一方面，依据学生特定的概念结构，教师可以把握好引导（或探究）的度，课堂也会更加具有弹性.
4. 有利于进行针对性命题
从命题的角度来说，依据概念结构系统的“历时性”“共时性”，我们可以进行更有针对性的命题工作. 同时，通过针对性的命题，区分学生的概念结构系统或数学抽象素养水平.
四、小结
1. 关注工具对概念结构（系统）发展、更新的重要影响
通过上文的论述，概念结构的发展和更新在于不同阶段运用恰当的概念（工具），如“分类”以及直角三角形的基本结论、单位圆、向量等. 在更新概念结构的教学过程中，教师应该积极思考如何在概念相似性的基础上运用新工具、（思维）方法有效帮助学生更新原有的概念结构系统.
2. 关注概念结构形成、发展和更新的过程
事实上，从解决问题的角度来看，概念结构并无优劣之分. 选择任何阶段的概念结构系统来解决问题都是值得肯定的. 但是我们应该关注同一问题下的概念结构系统是否存在优化（或迁移）的可能. 例如，在处理余弦定理时，相对于阶段1来说，阶段2在论述上更为简洁;处理余弦定理的两个阶段同时也能适用于正弦定理等. 事实上，在关注概念结构系统更新的同时，在一定程度上，就是在关注数学抽象素养水平的发展.
参考文献：
[1]李昌官. 数学抽象及其教学[J]. 数学教育学报，2017，26（4）：61-64.
[2]郑正亚. 数学抽象概念教学随笔[J]. 数学教育学报，1999，8（1）：75-78.
[3]王春华. 概念的结构[J]. 学术论坛，2006（1）：35-38.
[4]曾荣. 迁移经验，提高“四能”：“正弦定理”（第一课时）教学设计与思考[J]. 教育研究与评论，2019（4）：49-52.
[5]张曜光. 对平面向量数量积发生发展之思考[J]. 数学通报，2017，56（5）：15-17.
[6]袁震东等. 上海市高级中学数学教学参考资料[M]. 上海：上海教育出版社，2017.
收稿日期：2020-07-07
作者簡介：袁液（1985— ），男，中学二级教师，主要从事高中数学概念教学研究.