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[摘 要] 信息技术飞速发展，对人的要求不仅是系统地掌握知识，更重要的是能运用知识分析、解决问题. 在课堂恰当地融合信息技术，变革教学方式，可以满足学生个性化学习需要[1]，助力教师将学生数学学科核心素养培养提升要求落地.
[关键词] 高中数学;信息技术;核心素养;课程标准
为进一步推广“一师一优课、一课一名师”活动教学应用成果，中央电化教育馆组织开展“一师一优课、一课一名师”优课教研室在线会客室活动，经过层层遴选，确定福建省南平第一中学承办2018年的第006期. 该活动的内容是以人教A版高中数学必修二“祖暅原理与几何体体积探究”这节部优课为例，研讨使用技术教与学，提升学生数学学科核心素养.
[?] 融合信息技术，提炼教学素材，激发学生学习兴趣
好奇的目光常常可以看到比他所希望看到的东西更多——莱辛. 因此，这节优课在数学动手实验的基础上，观察、发现、抽象、概括祖暅原理提供直观的情境，利用信息技术从生活中提炼学习素材，直观呈现“书桌上放着两叠一样的12本书，且摆成两个不一样的柱体”模型，动态演示图形的比较、平移和旋转的变换过程，高效地激发学生的学习兴趣，激发学生主动探索、理解祖暅原理的内容，提高学生对知识的认可度.
[?] 融合信息技术，丰富教学活动，掌握数学基本经验
对于基本活动经验，史宁中教授曾说：“我们必须清楚，世界上有很多东西是不可传递的，只能靠亲身经历，智慧并不完全依赖知识的多少，而依赖知识的运用、依赖经验，教师只能让学生在实际操作中磨炼[2].” 由此可见经历亲身体验获得数学基本活动经验的重要性.本节优课中对祖暅原理应用的方面，融合信息技术，让学生在探究过程中，大胆地归纳和猜想其他几何体的体积公式.这样“发现”公式的过程，丰富了学生的数学基本活动经验.
1. 探究柱体的体积公式
优课利用PPT课件中的自定义动画的功能，强调祖暅原理使用必须满足的两个条件：一是两个几何体夹在两个平行平面之间，即等高;二是用平行于这两个平面的任意平面截两个几何体，看两个截面的面积是否总相等. 若是，则满足祖暅原理的条件，融合信息技术，使学生在视角上更直观地探索，在教师层面可更便捷地进行活动层次设计有助于学生对原理内容的理解和把握，明确知识的实践应用效果.
2. 探究锥体的体积公式
优课利用一系列动态演示展示了三棱柱的体积和三棱锥体积的关系.先用对角线将三棱柱分成了三个三棱锥（1，2，3号），利用信息技术直观展示将三个三棱锥分开的过程，贴近学生的真实感受，帮助学生减少内容理解的抽象性.紧接着分别展示1号、2号三棱锥和2号、3号三棱锥合并在一起的图像，发现两图像的共同特点：两个三棱錐都是等底同高的！进而探究等底等高的两个棱锥体积相同，等底等高的棱锥与圆锥体积相同.在此基础上得出棱柱体积与棱锥体积的三倍关系，及锥体的体积公式为：三分之一的底面积乘高
3. 探究球体的体积公式
本节优课的教学难点是运用祖暅原理寻找等体积的组合体探究球体的体积公式，授课教师以数学知识的发生发展过程为逻辑主线，设置了六个问题. 问题（1）：可以转换为等底等高的柱体吗？问题（2）：或者是等底等高的椎体？问题（3）：每一层截面积相等的话，计算得出的截面面积的表达式，会让人想到什么图形？问题（4）：如此外圈不变，内圈随高度变化的圆环，叠加起来会是个什么几何体？问题（5）：这个几何体体积怎么计算？问题（6）：是否符合祖暅原理？充分利用几何画板等的信息技术向学生展示与半球等底等高的圆柱、圆锥两种旋转体. 让学生通过直观感知，得出这两种旋转体与半球体积的大小关系，为下一步探究提供感性的认识体验. 紧接着，依据半球截面面积计算公式的特点，以及认知结构中与之相符的圆环，用信息技术展示圆环的叠加过程，为突破难点搭建“脚手架”，自然得出合适的模型，并用信息技术计算数据，及时验证学生的猜想，做到许多传统教学手段难以企及的事情.
[?] 融合信息技术，呈现数学本质，提升数学核心素养
1. 提升直观想象核心素养
直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用图形理解和解决数学问题的素养[3]. 本节优课利用直观展现、动态演示的信息技术，有助于学生感受几何体体积的求解过程，了解解决空间几何体问题的思想方法，逐步提升学生的直观想象核心素养，同时还注意到了以下四点：一是不要简单地认为该素养就是几何直观加上空间想象的一个组合;二是要在核心素养的视野下准确把握其内涵;三是注意在问题解决过程中处理好直观与想象的关系;四是注意直观想象表述第二句话中的“操作性”特征和要求. 具体概括一下即有空间认识、图形描述、数形联系、直观模型等，这些“点”给在课程实施中落实直观想象核心素养的培养提供了启示.
2. 提升数学建模核心素养
数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养[3]. 这节优课核心的教学内容是“祖暅原理的应用”，体会祖暅原理中由“面积都相等”推出“体积相等”的辩证思想，并抽象出祖暅原理的两个必须满足的条件，从图形与图形关系中抽象出柱、锥、球的体积公式. 使用信息技术将抽象的过程具体化，有助于学生对学习内容的理解，并逐步形成理性的思维. 借助信息技术可以向学生全方位地展示图形的特征，降低数学抽象的难度，帮助学生解决预备知识不足的问题，有利于学生的数学建模素养的培养，提出如何求半球体积的问题，分析截面面积的问题，建立柱中挖锥的模型，计算求解，验证结果[3]，最终解决了运用祖暅原理寻找等体积的组合体探究球体的体积公式的实际问题.
3. 提升数学抽象核心素养
数学抽象是指通过对数量关系与空间形式的抽象，得到数学研究对象的素养[3]. 这节优课的教学过程中，祖暅原理的探究过程蕴含着数学抽象素养的培养. 从实物（书堆），抽象出几何体（柱体），从书一样高，每本体积一样，每页面积一样，抽象出几何体等高，且截面积相等的条件，这就是从客观事实中抽象出概念理论的数学抽象素养，而信息技术的融合，使得抽象的过程具体化，有助于提升数学抽象核心素养. 4. 提升逻辑推理核心素养
逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题的素养[3]. 这节优课在体积公式推导过程中，柱体转化为长方体、锥体转化为柱体、半球转化为柱锥组合体这一探究过程充分体现了逻辑推理素养的培养，逐步形成有理有据、合乎逻辑的思维品质和理性精神.
[?] 数学课堂教学有效融合信息技术与提升核心素养的思考
教育部“一师一优课、一课一名师”优课教研室在线会客室活动成为展示信息技术下数学学科教学成果的平台，推动了数学课程标准中所提出的“推进信息技术在数学教学过程中的普遍应用与促进信息技术与数学学科课程的整合”之基本理念的实施.在科学的发展理念指导下，对于数学课堂教学有效融合信息技术与提升核心素养，笔者不禁有了更进一步的思考.
1. 技术是一种教学的手段
这节优课有效的“数字教育资源与数学课堂教学整合”的典型课例，表明了这种整合的必要性、可行性与合理性. 同时我们也意识到提高课堂效率信息技术的使用要恰如其分，要避免依赖性、替代性、过渡性与形式性，做到信息技术与数学教学的深度融合，为新一轮高中数学课程改革在培养学生数学核心素养发挥功效. 对于信息技术，不要盲目仿效，要加强融合的有效性研究（本节优课是拓展性栏目，概念课、命题课、习题课该如何处理）;不要过度依赖，要加强使用的适度性研究;不要放弃传统，要明确技术的辅助性功能;不要作为道具，要强化辅助的科学性研究.
2. 核心素养的提升应常态化
數学课堂教学应立足于数学知识、数学思想方法、能力实践中，贯穿在新授课教学以及高三总复习始终. 如在解三角形应用新课教学中，依托抽象概况，形成数学模型，以求相关测量问题的解决，对“数学抽象”“数学建模”核心素养的提升有很大的益处. 倡导在章末复习，以微专题形式，突出数学核心素养的进一步落实与提升. 例如，数列章末可依托“函数观点下的数列问题解决”微专题，通过“数列搭台，函数唱戏”，实现“数形结合”突出“直观想象”素养的提升. 在高三总复习解题教学的最高追求应是以微专题形式“合理运算途径的探求”，分析运算的合理性和程序性，关注算理算法，提升解析几何的有关运算能力，进而有效提升“数学运算”素养. 数学学科知识、方法、能力、素养自然和谐统一.
总之，数学知识的生长应该是自然和谐，瓜熟蒂落的;数学核心素养的提升应该顺理成章，水到渠成的. 笔者认为教学主张是“返璞归真，自然和谐”，倡导“数学是清楚的，数学是自然的”，知识、方法、能力、素养是以次递增的. 教师在进行教学设计时，应努力寻找将素养从内蕴走向外显的合适载体，用显性的行为实践蕴含的意图，就是要在充分“理解数学、理解学生、理解教学、理解技术”的基础上，让学生真正地参与学习过程，经历完整的自主性活动和对数学知识的自主建构，而后内化为数学素养.
参考文献：
[1] 苏日娜，代钦. 信息技术在数学教学中的应用之理论与实践探索——2017 信息技术与数学教学国际研讨会纪要[J]. 数学教育学报，2018（04）：93-95
[2] 胡爱斌. 一类平面向量问题的数学基本活动经验探索[J]. 数学通讯，2016（12）：20-21.
[3] 中华人民共和国教育部制订. 普通高中数学课程标准（2017年版）[M]. 北京：人民教育出版社，2018.
[关键词] 高中数学;信息技术;核心素养;课程标准
为进一步推广“一师一优课、一课一名师”活动教学应用成果，中央电化教育馆组织开展“一师一优课、一课一名师”优课教研室在线会客室活动，经过层层遴选，确定福建省南平第一中学承办2018年的第006期. 该活动的内容是以人教A版高中数学必修二“祖暅原理与几何体体积探究”这节部优课为例，研讨使用技术教与学，提升学生数学学科核心素养.
[?] 融合信息技术，提炼教学素材，激发学生学习兴趣
好奇的目光常常可以看到比他所希望看到的东西更多——莱辛. 因此，这节优课在数学动手实验的基础上，观察、发现、抽象、概括祖暅原理提供直观的情境，利用信息技术从生活中提炼学习素材，直观呈现“书桌上放着两叠一样的12本书，且摆成两个不一样的柱体”模型，动态演示图形的比较、平移和旋转的变换过程，高效地激发学生的学习兴趣，激发学生主动探索、理解祖暅原理的内容，提高学生对知识的认可度.
[?] 融合信息技术，丰富教学活动，掌握数学基本经验
对于基本活动经验，史宁中教授曾说：“我们必须清楚，世界上有很多东西是不可传递的，只能靠亲身经历，智慧并不完全依赖知识的多少，而依赖知识的运用、依赖经验，教师只能让学生在实际操作中磨炼[2].” 由此可见经历亲身体验获得数学基本活动经验的重要性.本节优课中对祖暅原理应用的方面，融合信息技术，让学生在探究过程中，大胆地归纳和猜想其他几何体的体积公式.这样“发现”公式的过程，丰富了学生的数学基本活动经验.
1. 探究柱体的体积公式
优课利用PPT课件中的自定义动画的功能，强调祖暅原理使用必须满足的两个条件：一是两个几何体夹在两个平行平面之间，即等高;二是用平行于这两个平面的任意平面截两个几何体，看两个截面的面积是否总相等. 若是，则满足祖暅原理的条件，融合信息技术，使学生在视角上更直观地探索，在教师层面可更便捷地进行活动层次设计有助于学生对原理内容的理解和把握，明确知识的实践应用效果.
2. 探究锥体的体积公式
优课利用一系列动态演示展示了三棱柱的体积和三棱锥体积的关系.先用对角线将三棱柱分成了三个三棱锥（1，2，3号），利用信息技术直观展示将三个三棱锥分开的过程，贴近学生的真实感受，帮助学生减少内容理解的抽象性.紧接着分别展示1号、2号三棱锥和2号、3号三棱锥合并在一起的图像，发现两图像的共同特点：两个三棱錐都是等底同高的！进而探究等底等高的两个棱锥体积相同，等底等高的棱锥与圆锥体积相同.在此基础上得出棱柱体积与棱锥体积的三倍关系，及锥体的体积公式为：三分之一的底面积乘高
3. 探究球体的体积公式
本节优课的教学难点是运用祖暅原理寻找等体积的组合体探究球体的体积公式，授课教师以数学知识的发生发展过程为逻辑主线，设置了六个问题. 问题（1）：可以转换为等底等高的柱体吗？问题（2）：或者是等底等高的椎体？问题（3）：每一层截面积相等的话，计算得出的截面面积的表达式，会让人想到什么图形？问题（4）：如此外圈不变，内圈随高度变化的圆环，叠加起来会是个什么几何体？问题（5）：这个几何体体积怎么计算？问题（6）：是否符合祖暅原理？充分利用几何画板等的信息技术向学生展示与半球等底等高的圆柱、圆锥两种旋转体. 让学生通过直观感知，得出这两种旋转体与半球体积的大小关系，为下一步探究提供感性的认识体验. 紧接着，依据半球截面面积计算公式的特点，以及认知结构中与之相符的圆环，用信息技术展示圆环的叠加过程，为突破难点搭建“脚手架”，自然得出合适的模型，并用信息技术计算数据，及时验证学生的猜想，做到许多传统教学手段难以企及的事情.
[?] 融合信息技术，呈现数学本质，提升数学核心素养
1. 提升直观想象核心素养
直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用图形理解和解决数学问题的素养[3]. 本节优课利用直观展现、动态演示的信息技术，有助于学生感受几何体体积的求解过程，了解解决空间几何体问题的思想方法，逐步提升学生的直观想象核心素养，同时还注意到了以下四点：一是不要简单地认为该素养就是几何直观加上空间想象的一个组合;二是要在核心素养的视野下准确把握其内涵;三是注意在问题解决过程中处理好直观与想象的关系;四是注意直观想象表述第二句话中的“操作性”特征和要求. 具体概括一下即有空间认识、图形描述、数形联系、直观模型等，这些“点”给在课程实施中落实直观想象核心素养的培养提供了启示.
2. 提升数学建模核心素养
数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养[3]. 这节优课核心的教学内容是“祖暅原理的应用”，体会祖暅原理中由“面积都相等”推出“体积相等”的辩证思想，并抽象出祖暅原理的两个必须满足的条件，从图形与图形关系中抽象出柱、锥、球的体积公式. 使用信息技术将抽象的过程具体化，有助于学生对学习内容的理解，并逐步形成理性的思维. 借助信息技术可以向学生全方位地展示图形的特征，降低数学抽象的难度，帮助学生解决预备知识不足的问题，有利于学生的数学建模素养的培养，提出如何求半球体积的问题，分析截面面积的问题，建立柱中挖锥的模型，计算求解，验证结果[3]，最终解决了运用祖暅原理寻找等体积的组合体探究球体的体积公式的实际问题.
3. 提升数学抽象核心素养
数学抽象是指通过对数量关系与空间形式的抽象，得到数学研究对象的素养[3]. 这节优课的教学过程中，祖暅原理的探究过程蕴含着数学抽象素养的培养. 从实物（书堆），抽象出几何体（柱体），从书一样高，每本体积一样，每页面积一样，抽象出几何体等高，且截面积相等的条件，这就是从客观事实中抽象出概念理论的数学抽象素养，而信息技术的融合，使得抽象的过程具体化，有助于提升数学抽象核心素养. 4. 提升逻辑推理核心素养
逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题的素养[3]. 这节优课在体积公式推导过程中，柱体转化为长方体、锥体转化为柱体、半球转化为柱锥组合体这一探究过程充分体现了逻辑推理素养的培养，逐步形成有理有据、合乎逻辑的思维品质和理性精神.
[?] 数学课堂教学有效融合信息技术与提升核心素养的思考
教育部“一师一优课、一课一名师”优课教研室在线会客室活动成为展示信息技术下数学学科教学成果的平台，推动了数学课程标准中所提出的“推进信息技术在数学教学过程中的普遍应用与促进信息技术与数学学科课程的整合”之基本理念的实施.在科学的发展理念指导下，对于数学课堂教学有效融合信息技术与提升核心素养，笔者不禁有了更进一步的思考.
1. 技术是一种教学的手段
这节优课有效的“数字教育资源与数学课堂教学整合”的典型课例，表明了这种整合的必要性、可行性与合理性. 同时我们也意识到提高课堂效率信息技术的使用要恰如其分，要避免依赖性、替代性、过渡性与形式性，做到信息技术与数学教学的深度融合，为新一轮高中数学课程改革在培养学生数学核心素养发挥功效. 对于信息技术，不要盲目仿效，要加强融合的有效性研究（本节优课是拓展性栏目，概念课、命题课、习题课该如何处理）;不要过度依赖，要加强使用的适度性研究;不要放弃传统，要明确技术的辅助性功能;不要作为道具，要强化辅助的科学性研究.
2. 核心素养的提升应常态化
數学课堂教学应立足于数学知识、数学思想方法、能力实践中，贯穿在新授课教学以及高三总复习始终. 如在解三角形应用新课教学中，依托抽象概况，形成数学模型，以求相关测量问题的解决，对“数学抽象”“数学建模”核心素养的提升有很大的益处. 倡导在章末复习，以微专题形式，突出数学核心素养的进一步落实与提升. 例如，数列章末可依托“函数观点下的数列问题解决”微专题，通过“数列搭台，函数唱戏”，实现“数形结合”突出“直观想象”素养的提升. 在高三总复习解题教学的最高追求应是以微专题形式“合理运算途径的探求”，分析运算的合理性和程序性，关注算理算法，提升解析几何的有关运算能力，进而有效提升“数学运算”素养. 数学学科知识、方法、能力、素养自然和谐统一.
总之，数学知识的生长应该是自然和谐，瓜熟蒂落的;数学核心素养的提升应该顺理成章，水到渠成的. 笔者认为教学主张是“返璞归真，自然和谐”，倡导“数学是清楚的，数学是自然的”，知识、方法、能力、素养是以次递增的. 教师在进行教学设计时，应努力寻找将素养从内蕴走向外显的合适载体，用显性的行为实践蕴含的意图，就是要在充分“理解数学、理解学生、理解教学、理解技术”的基础上，让学生真正地参与学习过程，经历完整的自主性活动和对数学知识的自主建构，而后内化为数学素养.
参考文献：
[1] 苏日娜，代钦. 信息技术在数学教学中的应用之理论与实践探索——2017 信息技术与数学教学国际研讨会纪要[J]. 数学教育学报，2018（04）：93-95
[2] 胡爱斌. 一类平面向量问题的数学基本活动经验探索[J]. 数学通讯，2016（12）：20-21.
[3] 中华人民共和国教育部制订. 普通高中数学课程标准（2017年版）[M]. 北京：人民教育出版社，2018.