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摘 要：实际工程结构中有些载荷关键部位难以直接测量，针对这一问题，本文提出了用复变函数法进行结构连接件的载荷反演，并用带孔板模拟连接件进行了仿真验证。首先运用复变函数法推导出复杂边界条件下带孔板外载荷与测点解析关系，然后通过测量载荷关键点周围一定距离位置的应变或位移反演未知外载大小和方向，得到的结果与仿真的结果较为一致。
关键词：结构 载荷反演 复变函数 带孔板 仿真
中图分类号：V215.5 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2017）05（c）-0164-04
Load Inversion and Simulation of Orifice Plate Based on Physical Prototype
Song Rixiao Lv Zengsui Zhang Lifeng
（Chinese Flight Test Establishment Shanxi Xian 710089， China）
Abstract：It is difficult to measured directly measured for some of the key parts of the load in aircraft load health monitoring. To solve this problem， A complex variable function method for structural load inversion is proposed in this paper， and the corresponding test is carried out with the orifice plate instead of connector. Firstly， the complex load function is used to derive the analytic relationship between the external load of the orifice plate and the measuring point under the complex boundary condition. Then， the magnitude and direction of the unknown external load are obtained by measuring the strain or displacement of the distance around the critical point of the load. The results obtained are in good agreement with the results of the simulation.
Key Words：Load health monitoring； Load inversion； Complex variable function； Orifice plate； Simulation
由于工程結构空间有限，一些载荷危险部位无法直接测量，因此就不能直接得到危险部位的载荷情况。对结构件进行危险部位的外载荷估算時，需要进行结构的各紧固件以及其旁路载荷[1]的分析。分析的关键就在于建立物理原型，并对受载危险部位周围的应变或位移进行测量，通过测量的应变或位移值反演[2]出受载危险部位的外载荷，然后进行寿命、损伤等的计算。
1 载荷反演的物理原型
结构的物理原型有很多种表示方式。而对于载荷反演问题，物理原型可以认为是外载与测量位置应力应变的映射关系。这种客观、稳定的映射关系可以表达为。即测量相关部位的应力应变，通过建立的映射关系可以反演得到施加在结构件上的外载荷。
2 复变函数法
目前，应用该方法解决的通常是边界条件简单，如对称、无穷大等问题。本文将复变函数法应用于复杂边界条件下进行孔边集中力外载荷反演，并取得了初步的成功。
孔边集中力大小及作用位置的复应力函数解析式在进行坐标变换以及相应的公式推导后，最终以如下形式给出 [3]
（1）
和是关于复数的两个解析函数，可以用来表示常体力的平面问题。，，为m个边界上沿x和y方向的面力之和。和跟无穷远处应力条件有关。
3 载荷反演实例
工程结构中连接多类似于带孔板结构，故本文以带孔板为例，外载荷作用于孔边，为非对称载荷；边界条件已知且不对称。本文建立的物理原型是通过复变函数法推导出的带孔板孔边外载荷与测点位置应力对应的解析关系。
3.1 解析关系推导
试验件尺寸以及受力形式如图1所示。材料为LY13-CZ，厚度为2mm，宽度为200mm，宽度与厚度比值为100，故试验件可以近似为无限大，孔边受未知方向集中力，孔的圆心作为坐标原点。
圆孔无限域上的解析函数可以表示为
（2）
根据边界条件，面力分量的两个主矢量为
（3）
由于带孔板的受力不对称，进行有限元分析时，边界增加了约束，所以计算时无穷远处的应力不能为0，应力如公式（4）所示
（4）
（5）
其中
（6）
可以求出
（7）
同理，求我们知道
（8）
（9）
上述两式中，对于孔边作用集中力，，即，，，，可以得到和关于x，y的关系式。根据以上解析式，通过测量点的应力可以反演出孔边集中力的位置和大小。
3.2 有限元模拟及误差分析 带孔板结构网格划分如图2所示，并以22.5°和112.5°的孔边集中力为例进行了分析，板左侧进行固支约束。
3.3 无限大带孔板孔边受22.5°方向集中力
Mises应力有限元模拟结果如图3所示。
3.4 反演计算
在进行计算时，由于正演的公式过于复杂且变量之间非线性关系[4-5]，所以采用数值解法来求解方程组。为提高计算效率，预估实际带孔板的孔边集中力大小及方向，取外载荷大小范围为[0N，2000N]，步長为1N，方向范围为[0°，360°]，步长为0.1°，求解得到外載大小和方向如表2所示。
3.5 结论
（1）因为孔边应力梯度较大，在选点测量时距离要掌握好，经过反复取点发现，选取离孔边3～15mm之间的点进行反演效果较好。从表中可以看出，采用理论方法计算出的结果与有限元结果误差在7%以内。
（2）从表2中可以看出，本文运用的复变函数法反演得到的外载荷大小和方向的误差在-10.31%～7.44%之间，说明了这种方法可以用在结构件外载荷反演中。
（3）数据测量点应选取预估集中力方向附近区域的点。
4 结语
运用复变函数法完成了无限大带孔板在复杂边界条件，孔边受集中力情况下载荷的反演与仿真，结果证明了新提出方法的可行性和有效性。
用带孔板模拟连接件建立了外载荷与测量点应力之间的映射关系，解决了已知测点应力反演外载荷的问题。
该文对简单的带孔板做了分析，对于复杂结构的分析还需要更深入的研究。不同结构的边界条件也不相同，在解析推导过程中代入边界条件的影响，从而提高反演精度，还需要更进一步的研究。
参考文献
[1] 姚卫星.结构疲劳寿命分析[M].北京：国防工业出版社，2003.
[2] 王彦飞.反演问题的计算方法及其应用[M].北京：高等教育出版社，2007.
[3] M.A.拉夫连季耶夫.复变函数论方法[M].北京：高等教育出版社，2006.
[4] 李爱芹.线性方程组的迭代解法[J].科学技术与工程，2007，7（14）：3357-3364.
[5] Saad Y， Van Der Vorst H A. Iterative solution of linear systems in the 20th century[J]. Journal of Computational and Applied Mathematics， 2000，123（1）：1-33.
关键词：结构 载荷反演 复变函数 带孔板 仿真
中图分类号：V215.5 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2017）05（c）-0164-04
Load Inversion and Simulation of Orifice Plate Based on Physical Prototype
Song Rixiao Lv Zengsui Zhang Lifeng
（Chinese Flight Test Establishment Shanxi Xian 710089， China）
Abstract：It is difficult to measured directly measured for some of the key parts of the load in aircraft load health monitoring. To solve this problem， A complex variable function method for structural load inversion is proposed in this paper， and the corresponding test is carried out with the orifice plate instead of connector. Firstly， the complex load function is used to derive the analytic relationship between the external load of the orifice plate and the measuring point under the complex boundary condition. Then， the magnitude and direction of the unknown external load are obtained by measuring the strain or displacement of the distance around the critical point of the load. The results obtained are in good agreement with the results of the simulation.
Key Words：Load health monitoring； Load inversion； Complex variable function； Orifice plate； Simulation
由于工程結构空间有限，一些载荷危险部位无法直接测量，因此就不能直接得到危险部位的载荷情况。对结构件进行危险部位的外载荷估算時，需要进行结构的各紧固件以及其旁路载荷[1]的分析。分析的关键就在于建立物理原型，并对受载危险部位周围的应变或位移进行测量，通过测量的应变或位移值反演[2]出受载危险部位的外载荷，然后进行寿命、损伤等的计算。
1 载荷反演的物理原型
结构的物理原型有很多种表示方式。而对于载荷反演问题，物理原型可以认为是外载与测量位置应力应变的映射关系。这种客观、稳定的映射关系可以表达为。即测量相关部位的应力应变，通过建立的映射关系可以反演得到施加在结构件上的外载荷。
2 复变函数法
目前，应用该方法解决的通常是边界条件简单，如对称、无穷大等问题。本文将复变函数法应用于复杂边界条件下进行孔边集中力外载荷反演，并取得了初步的成功。
孔边集中力大小及作用位置的复应力函数解析式在进行坐标变换以及相应的公式推导后，最终以如下形式给出 [3]
（1）
和是关于复数的两个解析函数，可以用来表示常体力的平面问题。，，为m个边界上沿x和y方向的面力之和。和跟无穷远处应力条件有关。
3 载荷反演实例
工程结构中连接多类似于带孔板结构，故本文以带孔板为例，外载荷作用于孔边，为非对称载荷；边界条件已知且不对称。本文建立的物理原型是通过复变函数法推导出的带孔板孔边外载荷与测点位置应力对应的解析关系。
3.1 解析关系推导
试验件尺寸以及受力形式如图1所示。材料为LY13-CZ，厚度为2mm，宽度为200mm，宽度与厚度比值为100，故试验件可以近似为无限大，孔边受未知方向集中力，孔的圆心作为坐标原点。
圆孔无限域上的解析函数可以表示为
（2）
根据边界条件，面力分量的两个主矢量为
（3）
由于带孔板的受力不对称，进行有限元分析时，边界增加了约束，所以计算时无穷远处的应力不能为0，应力如公式（4）所示
（4）
（5）
其中
（6）
可以求出
（7）
同理，求我们知道
（8）
（9）
上述两式中，对于孔边作用集中力，，即，，，，可以得到和关于x，y的关系式。根据以上解析式，通过测量点的应力可以反演出孔边集中力的位置和大小。
3.2 有限元模拟及误差分析 带孔板结构网格划分如图2所示，并以22.5°和112.5°的孔边集中力为例进行了分析，板左侧进行固支约束。
3.3 无限大带孔板孔边受22.5°方向集中力
Mises应力有限元模拟结果如图3所示。
3.4 反演计算
在进行计算时，由于正演的公式过于复杂且变量之间非线性关系[4-5]，所以采用数值解法来求解方程组。为提高计算效率，预估实际带孔板的孔边集中力大小及方向，取外载荷大小范围为[0N，2000N]，步長为1N，方向范围为[0°，360°]，步长为0.1°，求解得到外載大小和方向如表2所示。
3.5 结论
（1）因为孔边应力梯度较大，在选点测量时距离要掌握好，经过反复取点发现，选取离孔边3～15mm之间的点进行反演效果较好。从表中可以看出，采用理论方法计算出的结果与有限元结果误差在7%以内。
（2）从表2中可以看出，本文运用的复变函数法反演得到的外载荷大小和方向的误差在-10.31%～7.44%之间，说明了这种方法可以用在结构件外载荷反演中。
（3）数据测量点应选取预估集中力方向附近区域的点。
4 结语
运用复变函数法完成了无限大带孔板在复杂边界条件，孔边受集中力情况下载荷的反演与仿真，结果证明了新提出方法的可行性和有效性。
用带孔板模拟连接件建立了外载荷与测量点应力之间的映射关系，解决了已知测点应力反演外载荷的问题。
该文对简单的带孔板做了分析，对于复杂结构的分析还需要更深入的研究。不同结构的边界条件也不相同，在解析推导过程中代入边界条件的影响，从而提高反演精度，还需要更进一步的研究。
参考文献
[1] 姚卫星.结构疲劳寿命分析[M].北京：国防工业出版社，2003.
[2] 王彦飞.反演问题的计算方法及其应用[M].北京：高等教育出版社，2007.
[3] M.A.拉夫连季耶夫.复变函数论方法[M].北京：高等教育出版社，2006.
[4] 李爱芹.线性方程组的迭代解法[J].科学技术与工程，2007，7（14）：3357-3364.
[5] Saad Y， Van Der Vorst H A. Iterative solution of linear systems in the 20th century[J]. Journal of Computational and Applied Mathematics， 2000，123（1）：1-33.