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摘 要：数学学习是一个长期而复杂的过程，而且作为一门基础学科，数学课堂中发生的错误相对其他学科而言，更显得经常而频繁。在新课程教学观中，有一个被普遍认同的法则即“错误也是一种资源”， 这种错误往往具有很大的可开发性和利用价值。笔者在教学过程中，通过鼓励质疑、尝试错误、挖掘错误、利用错误、淡化错误和整理错误的实践方法，帮助教师转变对错误的观念，并利用错误，挖掘文本内涵，培养学生的承挫能力、反思能力和举一反三的能力。从而使学生触类旁通、享受矫正错误发现新知的快乐。
关键词：课堂；错误；反思
一、问题的提出
新的课程改革倡导新的课程观，它要求教师要充分挖掘课程资源。教材是实现教学目标、实施教学的重要资源。但它却不是唯一的资源，教学中的错误就是一种重要的课程资源，错误伴随着教学的始终，它有时发生在教师方面，有时发生在教材本身，有时发生在学生方面。善于挖掘并运用形形色色的错误，将会给课堂教学带来蓬勃生机与活力。恩格斯曾说：“最好的学习就是在错误中学习。”让学生经历错误，认识错误，纠正错误才可能更好地防止错误。教育心理学家也认为，错误就是通向成功的阶梯，学生犯错的过程应看作是一种尝试的过程。通过不断的尝试，学生的认知水平才可能得以不断的提升。所以，错误并不可怕。
在实际教学中，许多数学教师视错误为祸害。老师们通常更多看到的是错误的消极方面，因为它不符合教师的教学预设，阻碍了教学进度，因而我们对学生的错误处置或表情冷漠，或斥责批评，不但没有使学生的错误得到改善，反而挫伤了学生的积极性和自尊心，长此以往，学生非常担心出错，在学生眼中，错误意味着失败，意味着耻辱，上课也总是担心被提问，更不敢在课堂上主动发言，影响了学习的效果。教师们也都在“努力”不让学生犯错。即便是面对学生有价值的错误，教师通常采取回避的态度：要么轻易否定、不予理睬，并叫其他同学作答，直至得到教师满意的答案为止；要么因没听清学生的想法而草率解释，并把正确答案再讲一遍，直至学生“认可”为止！过度地防错、避错，缺乏对错误的欣赏与容纳，使学生的好奇心、求知欲以及大胆尝试的探索意识被压抑乃至被扼杀，所伴随生成的个性特征和思维特征必然是谨小慎微、害怕出錯。一条缺少岔路的笔直大道，使我们的学生失去了很多触类旁通的机会，同时也失去了矫正错误和发现新知的快乐。
错误资源化研究在数学领域研究开发较早，研究也较鼎盛，取得了令人瞩目的成绩，效果自然是很明显的。特级教师华应龙多年研究“差错资源化”，他主张“课堂因差错而精彩”，让学生从“误”到“悟”。他还说“错了，也不白错，抓住“她”好好欣赏，看看能从中学到些什么！”本课题将针对高中数学教学中产生的错误资源进行一些有益的尝试、探索与研究。
二、研究的任务
1.基本概念诠释——错误资源的概念
课程资源是形成课程的要素来源及实施课程的必要条件，教学过程是一个动态生成资源、提升资源的过程。新课程标准指出：教师要充分尊重学生的个体差异，关注每一个学生的发展，允许学生凭着自己喜欢的方式进行个性化选择。但由于学生的认知方式与思维策略的不同，以及认知水平和学习能力的差异，因此在我们的数学课堂中，经常会有学生出错。错误中包含了认知个体大量的信息和已有的经验，客观地反映了个体的心理特点，所以我们要用资源的眼光来看待这些的错误，这种错误往往具有很大的可开发性和利用价值。本文所谓学生错误资源是指课堂教学和学生的作业中凭着自己已有的知识经验对某一知识作出浅层的、有失偏颇的错误判断而生成的，那些能通过师生双边互动，在集体识错、思错、纠错过程中提升学生能力的课程资源。
2.研究的理论依据
（1）建构主义学习观： “学习并非学生对于教师所授予知识的被动接受，而是以其自身已有的知识和经验为基础的主动建构。”学生的认识必然有一个深化和发展的过程，包括出现一定的错误和反复。为此，对于学生学习过程中所发生的错误应当采取更为理解的态度，不应简单地予以否定，而应努力发现其中的合理成分和积极因素。学生的错误不可能单独依靠正面的示范和反复的练习得以纠正，必须是一个“自我否定”的过程，而“自我否定”又以自我反省，特别是内在的“观念冲突”作为必要的前提。有效帮助学生纠正错误，教师就应十分注意如何提供或创造适当的外部环境来达到这个目的。
（2）英国心理学家贝恩布里奇说：“错误人皆有之，作为教师不利用是不可原谅的。”每个学生都有分析、解决问题和创造的潜能，都有一种与生俱来的把自己当成探索者、研究者、发现者的本能。在高中数学教学活动中，学生是活动的主体，而学生犯错的过程就是一种尝试和创新的过程。课堂是学生出错的地方，出错是学生的权力。
（3）叶澜教授在《重建课堂教学过程》一文中提到：“学生在课堂活动中的状态，包括他们的学习兴趣、注意力、合作能力、发表的意见和观点、提出的问题与争论乃至错误的回答等，都是教学过程中的生成性资源。”课堂教学是一个动态生成的过程，学生的学习错误具有不可预见性，而这样的错误又往往是学生思维的真实反映，蕴含着宝贵的“亮点”，让学生充分展示思维过程，探求其产生错误的内在因素，则能有针对性地展开教学，有利于学生的自主建构。
（4）错误分析理论认为：学习者犯错误是学习过程中的一种正常现象，犯一些错误是学习中的必经阶段。学生学习的过程本身就是一个渐进的、需要长期的积累和实践的、不断犯错的过程。因此，作为一门外语，学生在学习数学的过程中势必会出现一些错误，教师要及时发现他们的错误，并给予指导和帮助，让错误顺化学生的知识结构，将正确理解融入其自身的知识体系。
三、错误资源的有效教学策略
在数学教学活动中，学生是活动的主体，而学生犯错的过程就是一种尝试和创新的过程。教师只有具备“主动应对”的新理念，变学习错误为培养学生创新思维的契机，才会看到错误背后的成功，让其发挥出应有的价值，折射出灿烂的光芒。数学学习的过程是一个再创造的过程，对待错误教师应留给学生充分“讲理”的机会，顺应学生的思维，挖掘错误背后的创新因素，细心呵护学生创新的萌芽，适时、适度地给予点拨和鼓励，使其茁壮成长，为课堂教学增添生命的活力。 1.正视错误，显露真实课堂
在学习过程中，正确有时很可能是一种模仿，可错误却是学生的一种学习原生态，是最真实的学习写照。有一些老师在课堂上只想听到正确无误的答案，不管过程，只管结果。
案例一：细节1：空集 易忽视地带：集合运算。
例1：已知A={x|x2+（p+2）x+1=0}若求实数p的范围。
错解： A中的元素为负数或零。
错解剖析：这种解法不全面， 作为一个特殊的集合，表示没有任何元素的集合，它同样是A的一种可能性。
细节2：直线方程中的斜率易忽视地带：用直线的点斜式或斜截式方程解题。
例2：从圆外一点（2，3）向圆引切线，求切线方程。
错解：设切线方程为
依题意得：
切线方程为
错解剖析：这种解法的错误在于用直线的点斜式存在漏洞，忽视了斜率不存在的情况。当所求切线的斜率存在时，同上。当所求切线的斜率不存在时，此时也与圆相切。学会作图协助解决问题。
细节3：题设的几何条件易忽视地带：利用圆锥曲线的定义求解。
例3：已知是F1，F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，若点P到焦点F1的距离等于9，求点P到焦点F2的距离。
错解：双曲线的实轴长为8，由双曲线的定义得
错解剖析：此解答解题思路正确，推理符合逻辑，但结论却不正确。仔细分析条件，我们可以看出由于点P到焦点F1的距离等于9，所以点P应在双曲线的左支上，因为双曲线的右支上的点到焦点F1的最短距离等于10，所以此题只有一个解。
2.鼓励质疑，捕捉课堂生长点
美国教育家布鲁巴克说：“最精湛的教育艺术，遵循的最高准则，就是学生自己提出问题”。质疑既是学生主动求知、主动学习的生动体现，也是培养学生创新品质的重要途径。在课堂教学中，教师要鼓励学生超越课堂，超越文本，超越教师，标新立异、独劈蹊径，反常规地思考，要重视学生的质疑问难，善于把握学生的提问，在學生的质疑中捕捉到课堂生成点。
案例二：课堂片段：已知无穷数列{an}前n项的和sn=（an+2）2，试问满足题设的数列{an}有多少个？证明你的结论。
经过一番探索和思考，大多数学生得到了以下解法：
sn=（an+2）2 sn+1= （an+1+2）2
sn+1- sn= （an+2）2-（an+1+2）2
8an+1= an+12+4an+1- an2-4 an
（an+1+an）（ an+1- an -4 ）= 0
an+1+an=0 an+1- an = 4
由题设知a1 = 2
于是数列是以2为首项，公比为-1的等比数列或公差为4的等差数列。因此，满足题设的数列有两个，其通项公式分别为an=2（-1）n-1或an=4n-2。
至此，大家似乎都觉得可以完美收场了，但我反常的沉默诱发学生疑神疑鬼。不久，果真有学生另劈蹊径，提出质疑：这样已得出至少有3个数列了，按照这种方法大胆预测：满足题设的数列有无数个。
此时此刻，平静的课堂一下子又沸腾了，大家觉得前面的解法似乎有问题，但一下子又很难发现其破绽，可谓“此中有真意，欲辩已无言”。事实上从特殊到一般的探究，容易得出满足题设的数列有无数个。怎么防止类似的错误？通过大家讨论共同认为：对数学问题中的“关键词”，如“或”、“且”、“非”、“至少”、“至多”等，首先一定要通过分类列举法、数形结合思想以及从特殊到一般的策略等，对数学中的隐含意义进行研究，弄清本质意义，才能防止类似的错误发生。
【反思】：案例中，学生以敏锐的观察和思维发现了这个“可疑”之处，也在思考着如何解决这些疑惑，教师可以从学生“有疑”处入手，引导学生进行验证研究，在研究的过程中伴随着已有问题的解决与新的问题的不断地生成，让学生在争论中“释疑”，而且学生的认识在发展，体验在加深，思维活起来。经历了这样自主的学习过程，学生获得的不只是知识，还有发现的喜悦，探究的兴趣，顿悟的惊喜，思考的快乐。因为学生提出问题，提出自己的疑惑，学生的学习不再是一种异己的外在的力量，而是一种发自内心的精神解放运动。
3.尝试错误，培养承挫能力
现代教育心理学认为：学生在学习新知识时，受理解和认知能力的限制，有个从片面到全面，从肤浅到深刻的过程，即所谓的内化过程，在内化过程中总会产生这样或那样的知识盲点和认知缺陷，这是需要从反面依靠“错误”来充分暴露，有些知识甚至于“非错而不能树正，非错而难以求真”。所以，教师在教学中根据教学内容的需要和学生的认知特点，利用教育心理学中的“尝误原理”，多创设一些错误情景，让学生去尝试错误，以增强对知识的体验、理解与巩固，培养学生的批判性思维和承受挫折的能力。在作文教学中我屡屡尝试以呈现学生作文中的典型错误的形式，促进学生写作能力的提高。下面我以习题讲评课中其中一堂课为例做展开：
案例三：习题讲评课
课堂案例：设是二次函数，若的值域是，则的值域是（ ）
A、 B、 C、 D、
正确思维走向：思路一：已知复合函数的值域是，可以确定的取值范围（注意：未必是的值域），结合是二次函数这个条件，就可以确定的值域了。
思路二：作为选择题，直接由选项中选择，采取排除法。为二次函数，所以由的值域可直接排除A，B选项，将C，D选择一个分析，若选择C分析，则由的值域得到取值，所以就是答案C；若选择D分析，则取值，不符合，所以排除D即可。
题目简解：要使的值域为，则t的取值范围是，又因为为二次函数，开口要么向上要么向下，即的值不可能同时取到，结合选择支可知的值域只能选C 思维受阻表现：（1）复合函数与分段函数结合，形式比较繁琐，定义域和值域的关系也很复杂，也许产生了畏惧心理；（2）是二次函数，但是具体形式并不明确，感觉束手无策；（3）由的定义域求的定义域这类问题还是非常熟悉的，但本题却是求值域，新的关注点使我难以运用模式识别这一解题策略。（4）从熟悉的解析式出发，即设试图求出的解析式，解题思路虽然自然，但是难以实现。
【反思】：（1）知识有所欠缺，加上时间限制，学生即有无从适应之感，又抱有侥幸心理，采取误打误撞下策。（2）问题设问有些新的变化，无法提取现成的解题策略；（3）对于函数理解有些片面，过于关注解析式，很少挖掘图象功能。
4.挖掘错误，体现数学内涵
杨振宁博士曾作过这样的对比，中国学生的学习成绩比在一起学习的美国学生好得多，然而十多年后中国学生的科研成果却比美国学生少得多，原因何在？就是美国学生的思维活跃，创造性思维能力强，他们敢于挑战权威，这正是我们中国孩子所欠缺的。
（1）发现错误，追根溯源
例题：若对任意的，使得恒成立，求实数a的取值范围？
①此题错因有二：其一是运用最值分析法解决问题时，学生不重视画出二次函数图象或不会从图象入手分析问题，从而造成不讨论或讨论不清、讨论不全等现象；其二是运用分离参数法解决问题时，忽视变量x的范围，从而导致未对x+1进行正负、0的讨论，同时分离后求新函数最小值时方法选的不够简洁。
②此题方法有二：其一是用最值分析法分析，问题归结为求含参二次函数部分图象恒在x轴上方问题，要画好二次函数草图；其二是分离参数的方法解决恒成立问题，即恒成立，恒成立。
③此题反思有二：其一是处理含参二次函数问题一定要先画出草图，学会从图象入手分析。若函数不定，区间定，则移动对称轴；若函数定，区间不定，则移动区间，这两种情况均可以从、对称轴、端点值考虑。二是用分离参数法解决恒成立问题时，一定要关注自变量的范围，必要时要进行分类讨论。分离后在求新函数的最值时要注意选择合适、简便的方法求解。
（2）精心设计，循循善诱
多数学生此时充其量还是处于“听懂”的程度，只是初步领会了题中所含的思维方法。如果就此省略了让学生继续思考和运用的过程，那么学生很容易陷入“上课一听就懂，下课一做就错”的怪圈。所以，要让学生既听懂、又学会，就必须为学生巧妙安排 “学以致用”的机会，“趁热打铁”精心设计一些思维方法不变、而若干条件情景有异的变式题。这样就把主动权交给学生，使学生在分析问题、解决问题的探索过程中，回顾所学的“方法”并作出相应的选择判断，进一步打开思路，从而轻松愉快地实现知识复习与能力提高，提高思维层次。
变题举例1：
1.在上为减函数，求实数a的取值范围？
2.若存在，使得成立，求实数a的取值范围？
说明：①变题1要使在区间上单调递减，只要使在上恒成立即可，即立刻得出问题的本质仍是恒成立问题。
②变题2把条件“任意”改成“存在”，题型从“恒成立问题”顺其自然引出了“有解问题”，通过两者的对比讨论，学生不难掌握这两个热点问题。
（3）由此及彼，精彩生成
继续设计新颖别致的情景或设计较为复杂、综合的问题进行启发提问，有利于深层次地突出主题，强化效果，进而提升学生思维深度。
变题举例2：定义在D上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是D上的有界函数，其中M称为函数的上界.
已知函数；.
改编（1）若，函数恒成立，求x的取值范围。
改编（2）若，函数在上的上界是，求的取值范圍；
（3） 若，函数在上的上界是，求的取值范围（不必求出 的范围，只需写出m满足的条件）.
【反思】：这样的随堂改编教学，虽然打乱了我原本的教学设计，未能完成预定的教学任务，但我认为其根本的价值在于所蕴涵的创新意识和机智地实现错误背后的创新价值，是新课程中崭新的教育理念。只要教师及时呈现错误，引起学生有意注意，但不急于用教师的思想去同化学生，而是站在学生的立场去顺应他们的认识，在交流中剖析错误的来龙去脉，寻找错误背后隐含的教育价值，引领学生从错中求知，从错中探究。这种教师鼓励学生不迷信教材和权威的教学，对培养学生的批判精神也是大有裨益的，也能充分发挥错误资源的“特殊功能”。所以，我相信只要教师能有意识地注意挖掘学生错误中蕴涵的创新因素，适时、适度地给予点拨和鼓励，学生就能用一些灵活、新颖的思维方式来解决问题。
5.利用错误，提高反思能力
建构主义学习观认为，学生的错误不可能单独依靠正面的示范和反复的练习得以纠正，必须是一个“自我否定”的过程，而“自我否定”又以自我反省，特别是内在的“观念冲突”作为必要的前提。利用学生错误资源，引发这种“观念冲突”，能促使学生对已完成的思维过程进行周密且有批判性的再思考，对已形成的认识从另一个角度，以另一种方式进行再思考，以求得新的深入认识，这既有利于问题的解决又培养了学生的反思能力。
案例五：1.迁移到别的知识版块，学生真正学会反思知识间的紧密关系，提高分析问题、解决问题的能力。
学生作业举例：数列中的恒成立问题
数列的前n项和为sn，，，等差数列满足，，
（1）分别求数列，的通项公式；
（2）若对任意的，恒成立，求实数k的取值范围。
2.收集、整合历年的高考题，真正达到知识、方法学以致用，产生一种成就感。
学生作业举例：
1.（2011浙江）设函数=，a∈R，求实数a的取值范围，使得对任意的x∈（0，3e]，恒有≤4e2成立 2.（2008江苏） 设函数，若时，恒成立，求实数a的取值范围？
【反思】：1.我引导学生反思刚才错在什么地方？为什么错？今后要吸取什么教训等？这样通过学生找错、议错、改错的反思过程，既对基本知识点进行复习，又提高了自己的分析能力，可谓一举两得。
2. 教学时教师要引导学生对自己的思维活动及时进行反思，剖析错误的原因，有利于提高学生发现错误，分析错误，改正错误的能力，达到正确掌握知识的目的。
6. 整理错误，学会举一反三
在错题的整理上，首先，我要求学生将错题本纵向分成三栏，用黑颜色的笔在最左边一栏，抄写或粘贴所有的错题，连带做错的部分全部照抄并记录以下信息：错题的出处（哪一次测验的哪一份试卷）和错题的类型。然后，在纠错本的中间一栏，对应位置重新做该题。最后，用红笔在本子的最边一栏，仔细分析总结该题所涉及到的知识点，该题出错的原因如：审题出错、记忆模糊、还是时间安排不当等等。
案例六：学生俞卉楠的错题本整理
【反思】：1. 在整理数学错题本时，一定要有恒心和毅力，不要在乎时间的多少，不要敷衍了事，因为通过对错题的整理、分析与总结，可以培养学生的判断力、分析力、归纳总结力。
2.鼓励学生经常阅读错题本。错题本不是把做错的习题记下来就完了。要经常浏览错题本，对错题不妨再做一遍，这样就使每一道错题都发挥出最大效果，今后遇到同类习题时，就能够立刻回想起曾经犯过的错误，从而避免再犯。
3.可以让学生交换错题本来互相纠错，使学生能够正确地对待自己的错误，把错误看作是引领自己进步的阶梯。
四、研究的初步成效
经过对各种错误资源的开发和利用的实践和摸索，我发现学生的学习积极性有了很大的提高，学生变得喜欢学习数学，数学学习能力也得到了全面的提升，同时，对于我自己的教学能力也有了较快的提升。以下是几点收获：
1.教师的教学能力得到了提升
新课程强调，教师是教学过程中的设计者，教师是学生学习的合作者、引导者和参与者，教学过程是师生共同交流，共同发展的互动过程。教师要善于捕捉错误资源，巧妙地引导学生经历诱错、寻错、用错、议错、理错的探究过程。但教师的这一能力并不是凭空的灵机一动，而是要靠长期的教学经验和教学案例的积累，为此，我们不得不自觉地在自己的教育教学实践中积极探索、不断反思；不得不在走进教室之前要充分研究教材、研究教学、研究自己、研究学生、研究考试，长此以往自己的教学能力一定会有较快的提升。
2.激活了学习数学兴趣
从教育心理学的角度来说，兴趣是一个人倾向于认识、研究获得某种知识的心理特征，是可以推动人们求知的一种内在力量。“学习的最好刺激乃是对所学材料的兴趣”。 错误资源往往为学生提供一种情境，当教师把错误及时捕捉并经提炼成为全班学生新的学习材料时，学生的探究兴趣被大大激发，学生对数学学科有了兴趣，就会持续地专心致志地钻研它，从而提高了学习效果。
3.培养发现意识，提高探究能力
高中数学课程标准在学习策略七级和八级目标中明确规定“在学习中，善于抓住重点，做好笔记，并能对所学内容进行整理和归纳；学习中遇到困难时能分析原因并尝试解决”。以学生学习中出现的错误为载体，引导学生从正反不同角度去修正错误，培养了学生思维的深刻性和创造性，是培养发现意识，提高探究能力的有效途径。
4.增强了学生的质疑意识，培养了严谨态度
巴浦洛夫说：“猜疑，是发现的设想，是探索的动力，是创新的前提。”质疑是一种探索，更是一种创新的心理素质。质疑是人类创造思维发展的精华，只有拥有质疑精神的人，才具备创新能力。在课堂教学中他们敢于“挑战”老师，敢于质疑教材，不再迷信教材，盲从老师，而是通过深入研读教材，合作探讨，形成了自己的见解，初步建立探究和创新意识，体现了学习能力的发展性。
先圣有言“君子之過也，如日月之食焉。过也，人皆见之；更之，人皆仰之。”在教学过程中，我们既要能像“垃圾箱”一样容下学生的错误，又不能像清洁工一样把“垃圾箱”的废品一倒了之，因而我们应该敞开胸怀去接纳学生的错误，更要用慧眼去挖掘学生错误中的闪光点。有效利用学生错误资源展开教学，是激发学生学习兴趣、提高学生数学素养、提高数学课堂教学质量的有效途径，我们应继续实践、研究，让错误资源激活师生的思维，让课堂真正成为师生共同成长的舞台。
参考文献：
[1]《普通高中数学课程标准（实验）》 人民教育出版社 2012年第7版.
[2]叶澜 重建课堂教学过程观 《教育研究》2002年10月.
[3]陈可可 数学课堂教学中如何纠错[J].考试周刊，2009（12）.
[4]袁昌寰 数学课堂教学中的错误纠正策略及技能[J].课程·教材·教法，2000（9）.
关键词：课堂；错误；反思
一、问题的提出
新的课程改革倡导新的课程观，它要求教师要充分挖掘课程资源。教材是实现教学目标、实施教学的重要资源。但它却不是唯一的资源，教学中的错误就是一种重要的课程资源，错误伴随着教学的始终，它有时发生在教师方面，有时发生在教材本身，有时发生在学生方面。善于挖掘并运用形形色色的错误，将会给课堂教学带来蓬勃生机与活力。恩格斯曾说：“最好的学习就是在错误中学习。”让学生经历错误，认识错误，纠正错误才可能更好地防止错误。教育心理学家也认为，错误就是通向成功的阶梯，学生犯错的过程应看作是一种尝试的过程。通过不断的尝试，学生的认知水平才可能得以不断的提升。所以，错误并不可怕。
在实际教学中，许多数学教师视错误为祸害。老师们通常更多看到的是错误的消极方面，因为它不符合教师的教学预设，阻碍了教学进度，因而我们对学生的错误处置或表情冷漠，或斥责批评，不但没有使学生的错误得到改善，反而挫伤了学生的积极性和自尊心，长此以往，学生非常担心出错，在学生眼中，错误意味着失败，意味着耻辱，上课也总是担心被提问，更不敢在课堂上主动发言，影响了学习的效果。教师们也都在“努力”不让学生犯错。即便是面对学生有价值的错误，教师通常采取回避的态度：要么轻易否定、不予理睬，并叫其他同学作答，直至得到教师满意的答案为止；要么因没听清学生的想法而草率解释，并把正确答案再讲一遍，直至学生“认可”为止！过度地防错、避错，缺乏对错误的欣赏与容纳，使学生的好奇心、求知欲以及大胆尝试的探索意识被压抑乃至被扼杀，所伴随生成的个性特征和思维特征必然是谨小慎微、害怕出錯。一条缺少岔路的笔直大道，使我们的学生失去了很多触类旁通的机会，同时也失去了矫正错误和发现新知的快乐。
错误资源化研究在数学领域研究开发较早，研究也较鼎盛，取得了令人瞩目的成绩，效果自然是很明显的。特级教师华应龙多年研究“差错资源化”，他主张“课堂因差错而精彩”，让学生从“误”到“悟”。他还说“错了，也不白错，抓住“她”好好欣赏，看看能从中学到些什么！”本课题将针对高中数学教学中产生的错误资源进行一些有益的尝试、探索与研究。
二、研究的任务
1.基本概念诠释——错误资源的概念
课程资源是形成课程的要素来源及实施课程的必要条件，教学过程是一个动态生成资源、提升资源的过程。新课程标准指出：教师要充分尊重学生的个体差异，关注每一个学生的发展，允许学生凭着自己喜欢的方式进行个性化选择。但由于学生的认知方式与思维策略的不同，以及认知水平和学习能力的差异，因此在我们的数学课堂中，经常会有学生出错。错误中包含了认知个体大量的信息和已有的经验，客观地反映了个体的心理特点，所以我们要用资源的眼光来看待这些的错误，这种错误往往具有很大的可开发性和利用价值。本文所谓学生错误资源是指课堂教学和学生的作业中凭着自己已有的知识经验对某一知识作出浅层的、有失偏颇的错误判断而生成的，那些能通过师生双边互动，在集体识错、思错、纠错过程中提升学生能力的课程资源。
2.研究的理论依据
（1）建构主义学习观： “学习并非学生对于教师所授予知识的被动接受，而是以其自身已有的知识和经验为基础的主动建构。”学生的认识必然有一个深化和发展的过程，包括出现一定的错误和反复。为此，对于学生学习过程中所发生的错误应当采取更为理解的态度，不应简单地予以否定，而应努力发现其中的合理成分和积极因素。学生的错误不可能单独依靠正面的示范和反复的练习得以纠正，必须是一个“自我否定”的过程，而“自我否定”又以自我反省，特别是内在的“观念冲突”作为必要的前提。有效帮助学生纠正错误，教师就应十分注意如何提供或创造适当的外部环境来达到这个目的。
（2）英国心理学家贝恩布里奇说：“错误人皆有之，作为教师不利用是不可原谅的。”每个学生都有分析、解决问题和创造的潜能，都有一种与生俱来的把自己当成探索者、研究者、发现者的本能。在高中数学教学活动中，学生是活动的主体，而学生犯错的过程就是一种尝试和创新的过程。课堂是学生出错的地方，出错是学生的权力。
（3）叶澜教授在《重建课堂教学过程》一文中提到：“学生在课堂活动中的状态，包括他们的学习兴趣、注意力、合作能力、发表的意见和观点、提出的问题与争论乃至错误的回答等，都是教学过程中的生成性资源。”课堂教学是一个动态生成的过程，学生的学习错误具有不可预见性，而这样的错误又往往是学生思维的真实反映，蕴含着宝贵的“亮点”，让学生充分展示思维过程，探求其产生错误的内在因素，则能有针对性地展开教学，有利于学生的自主建构。
（4）错误分析理论认为：学习者犯错误是学习过程中的一种正常现象，犯一些错误是学习中的必经阶段。学生学习的过程本身就是一个渐进的、需要长期的积累和实践的、不断犯错的过程。因此，作为一门外语，学生在学习数学的过程中势必会出现一些错误，教师要及时发现他们的错误，并给予指导和帮助，让错误顺化学生的知识结构，将正确理解融入其自身的知识体系。
三、错误资源的有效教学策略
在数学教学活动中，学生是活动的主体，而学生犯错的过程就是一种尝试和创新的过程。教师只有具备“主动应对”的新理念，变学习错误为培养学生创新思维的契机，才会看到错误背后的成功，让其发挥出应有的价值，折射出灿烂的光芒。数学学习的过程是一个再创造的过程，对待错误教师应留给学生充分“讲理”的机会，顺应学生的思维，挖掘错误背后的创新因素，细心呵护学生创新的萌芽，适时、适度地给予点拨和鼓励，使其茁壮成长，为课堂教学增添生命的活力。 1.正视错误，显露真实课堂
在学习过程中，正确有时很可能是一种模仿，可错误却是学生的一种学习原生态，是最真实的学习写照。有一些老师在课堂上只想听到正确无误的答案，不管过程，只管结果。
案例一：细节1：空集 易忽视地带：集合运算。
例1：已知A={x|x2+（p+2）x+1=0}若求实数p的范围。
错解： A中的元素为负数或零。
错解剖析：这种解法不全面， 作为一个特殊的集合，表示没有任何元素的集合，它同样是A的一种可能性。
细节2：直线方程中的斜率易忽视地带：用直线的点斜式或斜截式方程解题。
例2：从圆外一点（2，3）向圆引切线，求切线方程。
错解：设切线方程为
依题意得：
切线方程为
错解剖析：这种解法的错误在于用直线的点斜式存在漏洞，忽视了斜率不存在的情况。当所求切线的斜率存在时，同上。当所求切线的斜率不存在时，此时也与圆相切。学会作图协助解决问题。
细节3：题设的几何条件易忽视地带：利用圆锥曲线的定义求解。
例3：已知是F1，F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，若点P到焦点F1的距离等于9，求点P到焦点F2的距离。
错解：双曲线的实轴长为8，由双曲线的定义得
错解剖析：此解答解题思路正确，推理符合逻辑，但结论却不正确。仔细分析条件，我们可以看出由于点P到焦点F1的距离等于9，所以点P应在双曲线的左支上，因为双曲线的右支上的点到焦点F1的最短距离等于10，所以此题只有一个解。
2.鼓励质疑，捕捉课堂生长点
美国教育家布鲁巴克说：“最精湛的教育艺术，遵循的最高准则，就是学生自己提出问题”。质疑既是学生主动求知、主动学习的生动体现，也是培养学生创新品质的重要途径。在课堂教学中，教师要鼓励学生超越课堂，超越文本，超越教师，标新立异、独劈蹊径，反常规地思考，要重视学生的质疑问难，善于把握学生的提问，在學生的质疑中捕捉到课堂生成点。
案例二：课堂片段：已知无穷数列{an}前n项的和sn=（an+2）2，试问满足题设的数列{an}有多少个？证明你的结论。
经过一番探索和思考，大多数学生得到了以下解法：
sn=（an+2）2 sn+1= （an+1+2）2
sn+1- sn= （an+2）2-（an+1+2）2
8an+1= an+12+4an+1- an2-4 an
（an+1+an）（ an+1- an -4 ）= 0
an+1+an=0 an+1- an = 4
由题设知a1 = 2
于是数列是以2为首项，公比为-1的等比数列或公差为4的等差数列。因此，满足题设的数列有两个，其通项公式分别为an=2（-1）n-1或an=4n-2。
至此，大家似乎都觉得可以完美收场了，但我反常的沉默诱发学生疑神疑鬼。不久，果真有学生另劈蹊径，提出质疑：这样已得出至少有3个数列了，按照这种方法大胆预测：满足题设的数列有无数个。
此时此刻，平静的课堂一下子又沸腾了，大家觉得前面的解法似乎有问题，但一下子又很难发现其破绽，可谓“此中有真意，欲辩已无言”。事实上从特殊到一般的探究，容易得出满足题设的数列有无数个。怎么防止类似的错误？通过大家讨论共同认为：对数学问题中的“关键词”，如“或”、“且”、“非”、“至少”、“至多”等，首先一定要通过分类列举法、数形结合思想以及从特殊到一般的策略等，对数学中的隐含意义进行研究，弄清本质意义，才能防止类似的错误发生。
【反思】：案例中，学生以敏锐的观察和思维发现了这个“可疑”之处，也在思考着如何解决这些疑惑，教师可以从学生“有疑”处入手，引导学生进行验证研究，在研究的过程中伴随着已有问题的解决与新的问题的不断地生成，让学生在争论中“释疑”，而且学生的认识在发展，体验在加深，思维活起来。经历了这样自主的学习过程，学生获得的不只是知识，还有发现的喜悦，探究的兴趣，顿悟的惊喜，思考的快乐。因为学生提出问题，提出自己的疑惑，学生的学习不再是一种异己的外在的力量，而是一种发自内心的精神解放运动。
3.尝试错误，培养承挫能力
现代教育心理学认为：学生在学习新知识时，受理解和认知能力的限制，有个从片面到全面，从肤浅到深刻的过程，即所谓的内化过程，在内化过程中总会产生这样或那样的知识盲点和认知缺陷，这是需要从反面依靠“错误”来充分暴露，有些知识甚至于“非错而不能树正，非错而难以求真”。所以，教师在教学中根据教学内容的需要和学生的认知特点，利用教育心理学中的“尝误原理”，多创设一些错误情景，让学生去尝试错误，以增强对知识的体验、理解与巩固，培养学生的批判性思维和承受挫折的能力。在作文教学中我屡屡尝试以呈现学生作文中的典型错误的形式，促进学生写作能力的提高。下面我以习题讲评课中其中一堂课为例做展开：
案例三：习题讲评课
课堂案例：设是二次函数，若的值域是，则的值域是（ ）
A、 B、 C、 D、
正确思维走向：思路一：已知复合函数的值域是，可以确定的取值范围（注意：未必是的值域），结合是二次函数这个条件，就可以确定的值域了。
思路二：作为选择题，直接由选项中选择，采取排除法。为二次函数，所以由的值域可直接排除A，B选项，将C，D选择一个分析，若选择C分析，则由的值域得到取值，所以就是答案C；若选择D分析，则取值，不符合，所以排除D即可。
题目简解：要使的值域为，则t的取值范围是，又因为为二次函数，开口要么向上要么向下，即的值不可能同时取到，结合选择支可知的值域只能选C 思维受阻表现：（1）复合函数与分段函数结合，形式比较繁琐，定义域和值域的关系也很复杂，也许产生了畏惧心理；（2）是二次函数，但是具体形式并不明确，感觉束手无策；（3）由的定义域求的定义域这类问题还是非常熟悉的，但本题却是求值域，新的关注点使我难以运用模式识别这一解题策略。（4）从熟悉的解析式出发，即设试图求出的解析式，解题思路虽然自然，但是难以实现。
【反思】：（1）知识有所欠缺，加上时间限制，学生即有无从适应之感，又抱有侥幸心理，采取误打误撞下策。（2）问题设问有些新的变化，无法提取现成的解题策略；（3）对于函数理解有些片面，过于关注解析式，很少挖掘图象功能。
4.挖掘错误，体现数学内涵
杨振宁博士曾作过这样的对比，中国学生的学习成绩比在一起学习的美国学生好得多，然而十多年后中国学生的科研成果却比美国学生少得多，原因何在？就是美国学生的思维活跃，创造性思维能力强，他们敢于挑战权威，这正是我们中国孩子所欠缺的。
（1）发现错误，追根溯源
例题：若对任意的，使得恒成立，求实数a的取值范围？
①此题错因有二：其一是运用最值分析法解决问题时，学生不重视画出二次函数图象或不会从图象入手分析问题，从而造成不讨论或讨论不清、讨论不全等现象；其二是运用分离参数法解决问题时，忽视变量x的范围，从而导致未对x+1进行正负、0的讨论，同时分离后求新函数最小值时方法选的不够简洁。
②此题方法有二：其一是用最值分析法分析，问题归结为求含参二次函数部分图象恒在x轴上方问题，要画好二次函数草图；其二是分离参数的方法解决恒成立问题，即恒成立，恒成立。
③此题反思有二：其一是处理含参二次函数问题一定要先画出草图，学会从图象入手分析。若函数不定，区间定，则移动对称轴；若函数定，区间不定，则移动区间，这两种情况均可以从、对称轴、端点值考虑。二是用分离参数法解决恒成立问题时，一定要关注自变量的范围，必要时要进行分类讨论。分离后在求新函数的最值时要注意选择合适、简便的方法求解。
（2）精心设计，循循善诱
多数学生此时充其量还是处于“听懂”的程度，只是初步领会了题中所含的思维方法。如果就此省略了让学生继续思考和运用的过程，那么学生很容易陷入“上课一听就懂，下课一做就错”的怪圈。所以，要让学生既听懂、又学会，就必须为学生巧妙安排 “学以致用”的机会，“趁热打铁”精心设计一些思维方法不变、而若干条件情景有异的变式题。这样就把主动权交给学生，使学生在分析问题、解决问题的探索过程中，回顾所学的“方法”并作出相应的选择判断，进一步打开思路，从而轻松愉快地实现知识复习与能力提高，提高思维层次。
变题举例1：
1.在上为减函数，求实数a的取值范围？
2.若存在，使得成立，求实数a的取值范围？
说明：①变题1要使在区间上单调递减，只要使在上恒成立即可，即立刻得出问题的本质仍是恒成立问题。
②变题2把条件“任意”改成“存在”，题型从“恒成立问题”顺其自然引出了“有解问题”，通过两者的对比讨论，学生不难掌握这两个热点问题。
（3）由此及彼，精彩生成
继续设计新颖别致的情景或设计较为复杂、综合的问题进行启发提问，有利于深层次地突出主题，强化效果，进而提升学生思维深度。
变题举例2：定义在D上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是D上的有界函数，其中M称为函数的上界.
已知函数；.
改编（1）若，函数恒成立，求x的取值范围。
改编（2）若，函数在上的上界是，求的取值范圍；
（3） 若，函数在上的上界是，求的取值范围（不必求出 的范围，只需写出m满足的条件）.
【反思】：这样的随堂改编教学，虽然打乱了我原本的教学设计，未能完成预定的教学任务，但我认为其根本的价值在于所蕴涵的创新意识和机智地实现错误背后的创新价值，是新课程中崭新的教育理念。只要教师及时呈现错误，引起学生有意注意，但不急于用教师的思想去同化学生，而是站在学生的立场去顺应他们的认识，在交流中剖析错误的来龙去脉，寻找错误背后隐含的教育价值，引领学生从错中求知，从错中探究。这种教师鼓励学生不迷信教材和权威的教学，对培养学生的批判精神也是大有裨益的，也能充分发挥错误资源的“特殊功能”。所以，我相信只要教师能有意识地注意挖掘学生错误中蕴涵的创新因素，适时、适度地给予点拨和鼓励，学生就能用一些灵活、新颖的思维方式来解决问题。
5.利用错误，提高反思能力
建构主义学习观认为，学生的错误不可能单独依靠正面的示范和反复的练习得以纠正，必须是一个“自我否定”的过程，而“自我否定”又以自我反省，特别是内在的“观念冲突”作为必要的前提。利用学生错误资源，引发这种“观念冲突”，能促使学生对已完成的思维过程进行周密且有批判性的再思考，对已形成的认识从另一个角度，以另一种方式进行再思考，以求得新的深入认识，这既有利于问题的解决又培养了学生的反思能力。
案例五：1.迁移到别的知识版块，学生真正学会反思知识间的紧密关系，提高分析问题、解决问题的能力。
学生作业举例：数列中的恒成立问题
数列的前n项和为sn，，，等差数列满足，，
（1）分别求数列，的通项公式；
（2）若对任意的，恒成立，求实数k的取值范围。
2.收集、整合历年的高考题，真正达到知识、方法学以致用，产生一种成就感。
学生作业举例：
1.（2011浙江）设函数=，a∈R，求实数a的取值范围，使得对任意的x∈（0，3e]，恒有≤4e2成立 2.（2008江苏） 设函数，若时，恒成立，求实数a的取值范围？
【反思】：1.我引导学生反思刚才错在什么地方？为什么错？今后要吸取什么教训等？这样通过学生找错、议错、改错的反思过程，既对基本知识点进行复习，又提高了自己的分析能力，可谓一举两得。
2. 教学时教师要引导学生对自己的思维活动及时进行反思，剖析错误的原因，有利于提高学生发现错误，分析错误，改正错误的能力，达到正确掌握知识的目的。
6. 整理错误，学会举一反三
在错题的整理上，首先，我要求学生将错题本纵向分成三栏，用黑颜色的笔在最左边一栏，抄写或粘贴所有的错题，连带做错的部分全部照抄并记录以下信息：错题的出处（哪一次测验的哪一份试卷）和错题的类型。然后，在纠错本的中间一栏，对应位置重新做该题。最后，用红笔在本子的最边一栏，仔细分析总结该题所涉及到的知识点，该题出错的原因如：审题出错、记忆模糊、还是时间安排不当等等。
案例六：学生俞卉楠的错题本整理
【反思】：1. 在整理数学错题本时，一定要有恒心和毅力，不要在乎时间的多少，不要敷衍了事，因为通过对错题的整理、分析与总结，可以培养学生的判断力、分析力、归纳总结力。
2.鼓励学生经常阅读错题本。错题本不是把做错的习题记下来就完了。要经常浏览错题本，对错题不妨再做一遍，这样就使每一道错题都发挥出最大效果，今后遇到同类习题时，就能够立刻回想起曾经犯过的错误，从而避免再犯。
3.可以让学生交换错题本来互相纠错，使学生能够正确地对待自己的错误，把错误看作是引领自己进步的阶梯。
四、研究的初步成效
经过对各种错误资源的开发和利用的实践和摸索，我发现学生的学习积极性有了很大的提高，学生变得喜欢学习数学，数学学习能力也得到了全面的提升，同时，对于我自己的教学能力也有了较快的提升。以下是几点收获：
1.教师的教学能力得到了提升
新课程强调，教师是教学过程中的设计者，教师是学生学习的合作者、引导者和参与者，教学过程是师生共同交流，共同发展的互动过程。教师要善于捕捉错误资源，巧妙地引导学生经历诱错、寻错、用错、议错、理错的探究过程。但教师的这一能力并不是凭空的灵机一动，而是要靠长期的教学经验和教学案例的积累，为此，我们不得不自觉地在自己的教育教学实践中积极探索、不断反思；不得不在走进教室之前要充分研究教材、研究教学、研究自己、研究学生、研究考试，长此以往自己的教学能力一定会有较快的提升。
2.激活了学习数学兴趣
从教育心理学的角度来说，兴趣是一个人倾向于认识、研究获得某种知识的心理特征，是可以推动人们求知的一种内在力量。“学习的最好刺激乃是对所学材料的兴趣”。 错误资源往往为学生提供一种情境，当教师把错误及时捕捉并经提炼成为全班学生新的学习材料时，学生的探究兴趣被大大激发，学生对数学学科有了兴趣，就会持续地专心致志地钻研它，从而提高了学习效果。
3.培养发现意识，提高探究能力
高中数学课程标准在学习策略七级和八级目标中明确规定“在学习中，善于抓住重点，做好笔记，并能对所学内容进行整理和归纳；学习中遇到困难时能分析原因并尝试解决”。以学生学习中出现的错误为载体，引导学生从正反不同角度去修正错误，培养了学生思维的深刻性和创造性，是培养发现意识，提高探究能力的有效途径。
4.增强了学生的质疑意识，培养了严谨态度
巴浦洛夫说：“猜疑，是发现的设想，是探索的动力，是创新的前提。”质疑是一种探索，更是一种创新的心理素质。质疑是人类创造思维发展的精华，只有拥有质疑精神的人，才具备创新能力。在课堂教学中他们敢于“挑战”老师，敢于质疑教材，不再迷信教材，盲从老师，而是通过深入研读教材，合作探讨，形成了自己的见解，初步建立探究和创新意识，体现了学习能力的发展性。
先圣有言“君子之過也，如日月之食焉。过也，人皆见之；更之，人皆仰之。”在教学过程中，我们既要能像“垃圾箱”一样容下学生的错误，又不能像清洁工一样把“垃圾箱”的废品一倒了之，因而我们应该敞开胸怀去接纳学生的错误，更要用慧眼去挖掘学生错误中的闪光点。有效利用学生错误资源展开教学，是激发学生学习兴趣、提高学生数学素养、提高数学课堂教学质量的有效途径，我们应继续实践、研究，让错误资源激活师生的思维，让课堂真正成为师生共同成长的舞台。
参考文献：
[1]《普通高中数学课程标准（实验）》 人民教育出版社 2012年第7版.
[2]叶澜 重建课堂教学过程观 《教育研究》2002年10月.
[3]陈可可 数学课堂教学中如何纠错[J].考试周刊，2009（12）.
[4]袁昌寰 数学课堂教学中的错误纠正策略及技能[J].课程·教材·教法，2000（9）.