【摘要】本论文研究了输油管线铺设最小费用问题，对问题1建立优化模型，运用函数极值理论及MATLAB软件求出最优解并给出了相应的铺设方案.首先我们运用机理分析说明公用管线必与铁路垂直，简化了问题，通过研究最一般的铺设方案的费用最小问题，经过严密推理，得出铺设方案存在公用管线的控制条件，最后得出在该条件控制下的两种铺设方案并分别求出最优铺设费用和站点位置，通过MATLAB编程求出最优解并给出铺设方案.
　　【关键词】极值理论；最小费用；管线铺设
　　
　　1.问题的重述
　　某油田计划在铁路线一侧建造两家炼油厂，同时在铁路线上增建一个车站，用来运送成品油.由于这种模式具有一定的普遍性，油田设计院希望建立管线建设费用最省的一般数学模型与方法.要求作者建立合理的数学模型，给出在考虑共用管线费用与非共用管线费用相同或不同的情形下，在两炼油厂和车站之间建立费用最省的输油网络路线图.
　　2.问题的分析
　　由于实际中炼油厂到铁路线的距离不同，炼油厂之间的距离不同，管线经过的区域不同等因素，所以要建立最省费用的管线需要综合考虑各种因素.炼油厂可以共用管线也可以不共用管线，当共用管线时需考虑共用管线费用与非共用管线费用之间的关系.当有共用管线时，共用管线需垂直通向铁路，车站建在共用管线与铁路相交处，此时共用管线到铁路的费用是最省的.对于问题１，不考虑区域问题带来的附加费用，炼油厂、铁路的位置未知，需同时考虑两者.对于问题２，由于两炼油厂分别在郊区与城区，铺设在城区的管线还需增加附加费用.问题３比要问题１更接近实际，管线的费用各不相同，应该尽可能地缩小费用高的管线长度.
　　3.模型假设与符号说明
　　ⅰ模型的假设：
　　（1）假设铁路是笔直的.
　　（2）铁路的宽度可以忽略不计，且把两炼油厂和车站看成质点.
　　（3）假设油管在非转弯处笔直铺设.
　　（4）忽略管道接口处的接口焊接费用.
　　（5）对于问题2中的工程咨询公司的估算是客观的.
　　ⅱ符号说明：
　　f铺设管线的费用f1郊区铺设管线的费用f2城区铺设管线的费用cA厂到城郊分界线的垂直距离c1每千米输送A厂成品油的管线价格（万元／千米）c2每千米公用管线的价格c3铺设城区管线的附加费用c4输送B厂成品油的管线价格（万元／千米）(x,y)共用管线与非共用管线的交点坐标(0,a)A厂的坐标(l,b)B厂的坐标(c,s)城区管线与郊区管线的交点坐标4.模型的建立与求解
　　首先建立如图1-1所示平面直角坐标系，P表示两管线汇合处；P1表示A炼油厂，坐标为P1(0,a)；P2表示B炼油厂，坐标为P2(l,b)；E表示车站,坐标为E(x,0)；从A向铁路线作垂线，以垂足为坐标原点，地面所在平面为xOy平面.线段PE与x轴垂直，垂足为E.
　　由于两炼油厂在铁路同一侧，根据两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种不同情形，管线铺设可能“共用管线”也可能“不共用管线”两种方案.根据两种方案建立一个一般模型，即“共用管线”模型，共用管线长度不为零时为“共用管线方案”，当共用管线长度为零时为“不共用管线”方案.
　　要使费用最小，共用管线一定与铁路线垂直，如果不垂直，如图1-1所示，如果共用管线为PE′，显然P1E　　图1-1于是有最小费用的一般模型：
　　f(x,y)=c1(a-y)2+x2+c4(b-y)2+(l-x)2+c2y，(y≥0).
　　由题意知：c1=c4，所以
　　f(x,y)=c1(a-y)2+x2+c4(b-y)2+(l-x)2+c2y，(y≥0).①
　　求f(x,y)对x的偏导：
　　fx=c1x-l(1-x)2+(b-y)2+c1xx2+(a-y)2，由多元函数极值理论，
　　令fx(x)=0，即
　　c1x-c(l-x)2+(b-y)2+c1xx2+(a-y)2=0.
　　化简，得(b-y)2(x-c)2=(a-y)2x2.②
　　求f(x,y)对y的偏导：fy=c1y-b(l-x)2+(b-y)2+c1y-ax2+(a-y)2+c2=c1y-b|b-y| 1+(c-x)2(b-y)2+c1y-a|b-a| 1+x2(a-y)2+c2.
　　由②可知：(c-x)2(b-y)2=x2(a-y)2，所以fy可以变形为下式：
　　fy=c11+x2(a-y)2y-b|b-y|+y-a|y-a|+c2.
　　a和b是两个变量，我们不妨假设b>a>0.
　　1.当a0，即fy>0，所以在此区间内f(x,y)取不到最小值.
　　2.当y>b时，fy=2c11+x2(a-y)2+c2，而c1，c2均大于0，同理在这个区间里面目标函数也同样取不到最小值.
　　3.当0　　令-2c11+x2(a-y)2+c2=0.
　　即x2(a-y)2=2c1c22-1，所以2c1c22-1≥0.
　　即：2c1c22≥1.
　　故有2c1≥c2.即c1c2≥12.③
　　所以，只有当2c1≥c2时，f(x,y)才有最小值.
　　令fx=0，fy=0，有方程組：
　　c1x-c(l-x)2+(b-y)2+c2xx2+(a-y)2=0,
　　c1y-b(1-x)2+(b-y)2+c1y-ax2+(a-y)2+c2=0.
　　解方程组：
　　x1=(b-a)4c21-c222c2-l2,
　　y1=a+b2+c2l24c21-c22 .(ⅰ)
　　x2=(a-b)4c21-c222c2+l2,
　　y2=a+b2-c2l24c21-c22 .(ⅱ)
　　上文已假设b>a，并求得y　　y1=a+b2+c2l24c21-c22>a+a2+c2l24c21-c22>a.
　　所以解（ⅰ）不符合题意，取y值为
　　y2=a+b2-c2l24c21-c22 .
　　对应的x的值为：x2=(a-b)4c21-c222c2+l2.
　　故点P的坐标为P(x2,y2)，
　　共用管线长度为y2，此时f(x,y)有最小值，此时y2≥0.解得c1c2≥121+la+b2 .
　　与③联立可得c1c2≥121+la+b2 .
　　同理由y　　可知c1c2<12lb-a2+1.
　　故c1c2<121+la+b2或c1c2≥12lb-a2+1时，①式在y≥0时无极值.
　　所以当121+la+b2≤c1c2≤12lb-a2+1时，共用管线在点P(x2,y2)处开始铺设，车站建在点E(x2,0)处.
　　当c1c2<121+la+b2或c1c2≥12lb-a2+1时，由上述分析知：若铺设共用管线则无极小值，根据实际情况最小费用存在，所以共用管线方案不成立，最小费用应在无共用管线的方案中取得.建立费用函数如下：
　　f(x)=x2+a2+(l-x)2+b2，求其最小值.
　　求导： f′(x)=xx2+a2+x-l(l-x)2+b2 .
　　令f′(x)=0,得x2a2=(x-l)2b2.
　　化简后解得两个驻点x1和x2：
　　x1=ala+b,
　　x2=ala-b.
　　当取解x1时，原函数化简得
　　f(x1)=(a+b)1+l2(a+b)2.
　　当取解x2时，原函数化简得
　　f(x2)=(a+b)1+l2(a-b)2.
　　显然有f(x2)>f(x1).
　　根据实际情况取函数值较小的极值点x1.
　　综上所述：
　　在121+la+b2≤c1c2≤12lb-a2+1的情况下，需铺设公共管线才能使费用最小，车站建在点E处，坐标为（a-b)4c21-c222c2+l2,0，点P为非，点坐标为最佳方案的示意图如右图.
　　在c1c2<121+la+b2或c1c2≥12lb-a2+112的情况下，不采用共用管线，车站设在铁路线上E′点，坐标为ala+b,0，最佳方案的示意图设计如右图.
　　
　　【参考文献】
　　［1］韩中庚.数学建模方法及其应用（第二版）.北京：高等教育出版社，2009.
　　［2］刘卫国.MATLAB程序设计教程.北京：中国水利水电出版社，2005.