命题1：等腰三角形腰上的高相等；
　　命题2：等腰三角形腰上的中线相等；
　　命题3：等腰三角形底角的平分线相等。
　　这三个命题的证明并不困难，它们的逆命题是否成立？
　　命题4：两条高相等的三角形是等腰三角形；
　　命题5：两条中线相等的三角形是等腰三角形；
　　命题6：两条角平分线相等的三角形是等腰三角形。
　　对于命题4的证明比较简单，命题5也有多种证法，下面给出3种证法。
　　如图1，BD、CE分别是△ABC的中线，且BD=CE，求证：AB=AC。
　　证法1：如图2，连结DE，则△ABC的中位线，则DE∥BC，分别过点D、E作DN⊥BC，M，N分别为垂足，则DN=EM，从而△BDN≌△CEM，∠DBC=∠ECB，进而△DBC≌△ECB，∠ABC=∠ACB，AB=AC。
　　证法2：连结DE，过点E作EF∥BD，交CB的延长线于点F。则四边形BDEF是平行四边形，CE=BD=EF，∠EFC=∠ECF=∠DBC，进而△DBC≌△ECB，∠ABC=∠ACB，AB=AC。
　　证法3：如图2，连结DE，则四边BCDE是梯形，又因为BD=CE，梯形BCDE是等腰梯形，从而△ABC是等腰三角形。
　　倒是6应当如何证明，请各位同学好好想想。
　　已知，如图，△ABC中，分别是∠ACB和∠ACB的角平分线，且BD=CE。
　　求证：△ABC是等腰三角形。
　　分析：因为BD=CE，过点E作BD的平行线EF，过点D作AB的平行线DF与EF交于点F。则EF=BD，△EFC是等腰三角形，∠EFC=∠ECF，设∠ABC=2x，∠ACB=2y，∠DFC=α∠DCF=β。
　　假设△ABC不是等腰三角形。则∠ABC≠∠ACB有，不妨设∠ABC>∠ACB备，则x>y，因为∠EFC=∠ECF
　　所以α<β，需要考虑CD与DF的大小关系。
　　于是我们面临这样一个问题：
　　在同一个三角形中，等角对等边，等边对等角，
　　那么，是否有类似的结论：
　　命题1.在同一三角形中，大角所对的边较大，大边所对的角较大。（参见注①）
　　这个结论是显然的，你能证明吗？
　　倘若上述结论是对的，则由α<β，得DF>CD，为了能够得出矛盾的结论，需要DF　　于是我们还面临着第二个问题：
　　命题2.在两个三角形中，两边对应相等，夹角不等，较大的角所对的边较大。（参见注②）
　　注①如图注1，在ABC中∠ABC<∠ACB，求证：AB>AC。
　　∵∠ABC<∠ACB。∴作∠DCB=∠ABC，交AB于点D，则DB=DC，∴AB=BD+AD=CD+AD>AC。（三角形两边之和大于第三边）
　　注②如图在△ABC和△DEF中，AB=DE，BC=EF，∠ABC>∠DEF，求证：AC>DF.
　　∴∠ABC>∠DEF，∴在△ABC中作∠GBC=∠DEF，且BG=DE，连结AG，显然△GBC≌△DEF，∵AB=BG∴∠BAG=∠BGA，在△AGC中，∠AGC=∠BGA+∠BGC，∠GAC=∠BAG-∠BAC，∴∠AGC>∠GAC，由注①得AB>CG，即AB>DF.
　　下面是镇中通校部初二（1）班胡宇皓同学的证法：
　　证明：作EF=BC，∠FEB=∠DCB，CG⊥FB，FH⊥AC，
　　在△FBE和△CDB中EF=BC∠FEB=∠DCBCD=BE△FEB≌△DCB(SAS)，∴FB=BD，∠BDC=∠EBF(全等三角形对应边相等、对应角相等)。
　　∵BE、CD是角平分线，设∠ABC=2，∠ACB=2，
　　∴∠FBC=∠FBE+=∠BDC+=180°-2-+=180°
　　同理，∠CEF=∠FEB+∠CEB=180°-2-+=180°
　　∴∠FBC=∠CEF，∠FEH=∠CBG，
　　在△FHE和△CGB中EF=BC∠FHB=∠CGB∠FHE=∠CBG△FHE≌△CGB(AAS)∴HE=BG，FH=CG（全等三角形对应边相等），连结CF，则Rt△FHC和Rt△CGF中，FH=CG，CF=FC，∴Rt△FHC≌Rt△CGF(HL)，
　　∴FG=HE，∴FB=FG-CG=CH-HE=CE。
　　∴在△DBC和△ECB中CD=BEBC=CBBD=CE△DBC≌△Ecb(SSS)，∠DNC=∠ECB(全等三角形对应角相等)，△ABC是等腰三角形。
　　
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