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【中图分类号】G642 【文献标识码】B 【文章编号】2095-3089（2012）23-0247-02
已知f（x）=Inx+In（2-x）+ax（a>0）
①当a=1时，求f（x）的单调区间。
②若f（x）在（0，1]上的最大值为12，求a的值。
在阅卷过程中，我有机会见识了同学们各种各样的正确解法和错误解法。下面我把阅卷过程中出现的解法和诸位一同来分享：
先看第1问的正确解法：f ′（x）=1x+1x-2+1
=x+2（x-2）x（x-2）
∵0 在（2，2）上↓
錯误解法1：f ′（x）=1x+12-x+1
（求导错误，导致单调区间错误）
错误解法2：f ′（x）=1x+1x-2+1
=（x+2）（x-2）x（x-2）
∵f（x）在（-∞，-2）↑；在（-2，0）上↓
在（0，2）↑；在（2，2）上↓；在（2，+∞）上↑。
（忽略定义域求单调区间）。
求一个函数的单调区间应该是一个简单的问题，但有相当多的同学出现了上述的错误，显然第一种错误的出现是考生对复合函数的导数的求法没掌握造成的。第二种更是同学们屡考屡犯的错误——忽略定义域研究函数的单调性，这给我教学一线的老师很大的启示：我们平时教学中，要注重基础知识，重视解题细节，对典型错误要深入剖析，让同学们从中总结教训，留下深刻印象，避免屡考屡犯的错误出现。
本题第二问的出现的解法就更加多了，请看下列解法：
解法1：f ′（x）=1x+1x-2+a
=2（x-）x（x-2）+a
∵x∈（0，1] ∴2（x-1）x（x-2）=>0又a>0
∴f ′（x）>0在（0，1]上恒成立
∴f（x）在（0，1]上↑ ∴f（x）max=f（1）=a=1/2
这种解法毫无疑问是本题最快捷的解法，但事实上真正这样解的同学简直是凤毛麟角。绝大多数同学是这样解的：
解法2：f ′（x）=1x+1x-2+a
由①知f（x）在（0，2）上↑
∴f（x）在（0，1]上↑ f（x）max=f（1）=a=12
这种解法显然错误。第一问a=1，而第二问中a>0，仍然套用第一问的结论是错误的。出现这种错误的同学应该是审题不清造成的。
更令人想不到的是以下解法：
解法3：f ′（x）=1x+1x-2+a
=ax2+（2-2a）x-2x（x-2）
这样一通分，f ′（x）>0还是f ′（x）<0呢？
f（x）在（0，1]上的单调性就很难判断了，相对于解法1，这显然把问题复杂化了，接下去怎么解呢？请看：
①令g（x）=ax2+（2-2ax）x-2 （a>0）
∵g（0）=-2<0
g（1）=-a<0
∴g（x）=ax2+（2-2a）x-2<0 在x∈（0，1]上恒成立
又x（x-2）<0 ∴f ′（x）>0在（0，1]上恒成立
∴f（x）在（0，1]上↑ f（x）max=f（1）=a=1/2
②f ′（x）=ax2-2-4a2+42a=0
得x1=2a-2-4a2+42=a-1-a2+1a=<0
x2=2a-2-4a2+42a=a-1+a2+1a<1
∵x1，x2均不在（0，1]上 ∴f（x）在（0，1）上↑
∴f（x）max=f（1）=a=12
这两种解法虽然复杂，但也是正确的。但更多的同学通分后已经迷失解题的方向，开始胡乱讨论一通。请看：
f ′（x）==ax2+（2-2a）-2x（x-2）
①当0 ②当a≥1时 f（x）在（0，1]上↑ ∴f（x）max=f（1）=a=12（舍去）
这种讨论显然是多此一举，只要a>0， f（x）在（0，1]上显然是递增的，为什么还要分情况讨论呢？
阅完卷后，我认真总结了自己平时的教学工作。并从中得到了一个重要启示：高中函数教学一定要培养有两种意识—范围意识和参数意识。一、任何一个函数问题脱离范围来研究都毫无意义，确定范围是解决任何函数题的前提，所以我们的学生一定要养成先定范围后做题的习惯。二、函数中若含有参数就要考虑参数的范围是否影响该函数问题的结果，若有影响就要对参数讨论，若无影响就不讨论。这就是参数意识。我们的同学所犯错误就是缺乏这两种意识造成的。
已知f（x）=Inx+In（2-x）+ax（a>0）
①当a=1时，求f（x）的单调区间。
②若f（x）在（0，1]上的最大值为12，求a的值。
在阅卷过程中，我有机会见识了同学们各种各样的正确解法和错误解法。下面我把阅卷过程中出现的解法和诸位一同来分享：
先看第1问的正确解法：f ′（x）=1x+1x-2+1
=x+2（x-2）x（x-2）
∵0
錯误解法1：f ′（x）=1x+12-x+1
（求导错误，导致单调区间错误）
错误解法2：f ′（x）=1x+1x-2+1
=（x+2）（x-2）x（x-2）
∵f（x）在（-∞，-2）↑；在（-2，0）上↓
在（0，2）↑；在（2，2）上↓；在（2，+∞）上↑。
（忽略定义域求单调区间）。
求一个函数的单调区间应该是一个简单的问题，但有相当多的同学出现了上述的错误，显然第一种错误的出现是考生对复合函数的导数的求法没掌握造成的。第二种更是同学们屡考屡犯的错误——忽略定义域研究函数的单调性，这给我教学一线的老师很大的启示：我们平时教学中，要注重基础知识，重视解题细节，对典型错误要深入剖析，让同学们从中总结教训，留下深刻印象，避免屡考屡犯的错误出现。
本题第二问的出现的解法就更加多了，请看下列解法：
解法1：f ′（x）=1x+1x-2+a
=2（x-）x（x-2）+a
∵x∈（0，1] ∴2（x-1）x（x-2）=>0又a>0
∴f ′（x）>0在（0，1]上恒成立
∴f（x）在（0，1]上↑ ∴f（x）max=f（1）=a=1/2
这种解法毫无疑问是本题最快捷的解法，但事实上真正这样解的同学简直是凤毛麟角。绝大多数同学是这样解的：
解法2：f ′（x）=1x+1x-2+a
由①知f（x）在（0，2）上↑
∴f（x）在（0，1]上↑ f（x）max=f（1）=a=12
这种解法显然错误。第一问a=1，而第二问中a>0，仍然套用第一问的结论是错误的。出现这种错误的同学应该是审题不清造成的。
更令人想不到的是以下解法：
解法3：f ′（x）=1x+1x-2+a
=ax2+（2-2a）x-2x（x-2）
这样一通分，f ′（x）>0还是f ′（x）<0呢？
f（x）在（0，1]上的单调性就很难判断了，相对于解法1，这显然把问题复杂化了，接下去怎么解呢？请看：
①令g（x）=ax2+（2-2ax）x-2 （a>0）
∵g（0）=-2<0
g（1）=-a<0
∴g（x）=ax2+（2-2a）x-2<0 在x∈（0，1]上恒成立
又x（x-2）<0 ∴f ′（x）>0在（0，1]上恒成立
∴f（x）在（0，1]上↑ f（x）max=f（1）=a=1/2
②f ′（x）=ax2-2-4a2+42a=0
得x1=2a-2-4a2+42=a-1-a2+1a=<0
x2=2a-2-4a2+42a=a-1+a2+1a<1
∵x1，x2均不在（0，1]上 ∴f（x）在（0，1）上↑
∴f（x）max=f（1）=a=12
这两种解法虽然复杂，但也是正确的。但更多的同学通分后已经迷失解题的方向，开始胡乱讨论一通。请看：
f ′（x）==ax2+（2-2a）-2x（x-2）
①当0
这种讨论显然是多此一举，只要a>0， f（x）在（0，1]上显然是递增的，为什么还要分情况讨论呢？
阅完卷后，我认真总结了自己平时的教学工作。并从中得到了一个重要启示：高中函数教学一定要培养有两种意识—范围意识和参数意识。一、任何一个函数问题脱离范围来研究都毫无意义，确定范围是解决任何函数题的前提，所以我们的学生一定要养成先定范围后做题的习惯。二、函数中若含有参数就要考虑参数的范围是否影响该函数问题的结果，若有影响就要对参数讨论，若无影响就不讨论。这就是参数意识。我们的同学所犯错误就是缺乏这两种意识造成的。