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数列的概念及表示法在每年的高考中都有所体现，尤其是根据an与Sn的关系求an和由递推公式求通项公式，更是高考的热点.题目以能力立意为中心，注重以求数列通项为背景的新情境题目，常与函数、方程（不等式）、解析几何等知识交汇命题。
一、an+1=an+f（n）型
把原递推公式转化为an+1-an=f（n），再利用累加法（逐差相加法）求解，即an=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an-an-1）=a1+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（n - 1）.
[例题1] 已知数列{an}满足a1=，an+1=an+，求an.
[规范解答] 由条件，知an+1-an=[1n2+n]=[1nn+1]=[1n]-[1n+1]，则（a2-a1）+（a3-a2）+（a4-a3）+…+（an-an-1）=[1-12]+[12-13]+[13-14]+…+[1n-1-1n]，所以an-a1=1-[1n].
因为a1=[12]，所以an=[12]+1-[1n]=[32]-[1n].
二、an+1=f（n）an型
把原递推公式转化为=f（n），再利用累乘法（逐商相乘法）求解，即由=f（1），=f（2），…，=f（n-1），累乘可得=f（1）f（2）…f（n-1）.
[例题2] 已知数列{an}满足a1=[23]，an+1=[1n+1]·an，求an.
[规范解答] 由an+1=[1n+1]·an，得[an+1an]=[nn+1]，
故an=[anan-1]·[an-1an-2]·…·[a2a1]·a1=[n-1n]·[n-2n-1]…·[12]·[23]=. 即an=[23n].
三、an+1=pan+q（其中p，q均为常数，pq（p-1）≠0）型
对于此类问题，通常采用换元法进行转化，假设将递推公式改写为an+1+t=p（an+t），比较系数可知t=[qp-1]，可令an+1+t=bn+1换元即可转化为等比数列来解决.
[例题3] 已知数列{an}中，a1=1，an+1=2an+3，求an.
[规范解答] 设递推公式an+1=2an+3可以转化为an+1-t=2（an-t），即an+1=2an-t，则t=-3.故递推公式为an+1+3=2（an+3）.
令bn=an+3，则b1=a1+3=4，且[bn+1bn]=[an+1+3an+3]=2.所以{bn}是以b1=4为首项，2为公比的等比数列.
所以bn=4×2n-1=2n+1，即an=2n+1-3.
四、an+1=pan+qn（其中p，q均为常数，pq（p-1）≠0）型
（1）一般地，要先在递推公式两边同除以qn+1，得[an+1qn+1]=[pq]·[anqn]+[1q]，引入辅助数列{bn}，得bn+1=[pq]·bn+[1q]，再用待定系数法解决；
（2）也可以在原递推公式两边同除以pn+1，得[an+1qn+1]=[anqn]+[1p]·[pq]n，引入辅助数列{bn}，得bn+1-bn=n，再利用叠加法（逐差相加法）求解.
[例题4] 已知数列{an}中，a1=，an+1=an+n+1，求an.
[规范解答] 解法一：在an+1=an+n+1两边乘以2n+1，得2n+1·an+1=（2n·an）+1.
令bn=2n·an，则bn+1=[23]bn+1，
根据待定系数法，得bn+1-3=[23]（bn-3）.
所以数列{bn-3}是以b1-3=2×[56]-3=-[43]为首项，以[23]为公比的等比数列.
所以bn-3=-[43][23]n-1，即bn=3-2[23]n. 于是，an=[bn2n]=3[12]n-2[13]n.
解法二：在an+1=[13]an+[12]n+1两边乘以3n+1，得3n+1an+1=3nan+[32]n+1. 令bn=3n·an，则bn+1=bn+[32]n+1.所以bn-bn-1=n，bn-1-bn-2=n-1，…，b2-b1=2.
将以上各式叠加，得bn-b1=[32]2+…+[32]n-1+[32]n. 又b1=3a1=3×[56]=[52]=1+[32]，所以bn=1+[32]+[32]2+…+[32]n-1+[32]n=2[32]n+1-2，即bn=2[32]n+1-2. 故an=[bn3n]=3[12]n-2[13]n.
五、an+1=[AanBan+C] （A，B，C为常数）型
对于此类递推数列，可通过两边同时取倒数的方法得出关系式.
[例题5] 已知数列{an}的首项a1=，an+1=，n=1，2，3，…求{an}的通项公式.
[规范解答]∵an+1=[3an2an+1]，∴[1an+1]=[23]+[13an]，∴[1an+1]-1=[13][1an-1]. 又[1a1]-1=[23]，∴[1an-1]是[23]以为首项，[13]为公比的等比数列，∴[1an]-1=[23]·[13n-1]=[23n]，
∴an=[3n3n+2].
[方法总结] 上面的几种常见的由递推公式求通项公式的题型和对应解法，从这些题型及解法中可以发现，很多题型及方法都是相通的，如果能够真正理解其内在的联系及区别，也就真正做到了举一反三、触类旁通，使自己的学习游刃有余，真正成为学习的主人。
一、an+1=an+f（n）型
把原递推公式转化为an+1-an=f（n），再利用累加法（逐差相加法）求解，即an=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an-an-1）=a1+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（n - 1）.
[例题1] 已知数列{an}满足a1=，an+1=an+，求an.
[规范解答] 由条件，知an+1-an=[1n2+n]=[1nn+1]=[1n]-[1n+1]，则（a2-a1）+（a3-a2）+（a4-a3）+…+（an-an-1）=[1-12]+[12-13]+[13-14]+…+[1n-1-1n]，所以an-a1=1-[1n].
因为a1=[12]，所以an=[12]+1-[1n]=[32]-[1n].
二、an+1=f（n）an型
把原递推公式转化为=f（n），再利用累乘法（逐商相乘法）求解，即由=f（1），=f（2），…，=f（n-1），累乘可得=f（1）f（2）…f（n-1）.
[例题2] 已知数列{an}满足a1=[23]，an+1=[1n+1]·an，求an.
[规范解答] 由an+1=[1n+1]·an，得[an+1an]=[nn+1]，
故an=[anan-1]·[an-1an-2]·…·[a2a1]·a1=[n-1n]·[n-2n-1]…·[12]·[23]=. 即an=[23n].
三、an+1=pan+q（其中p，q均为常数，pq（p-1）≠0）型
对于此类问题，通常采用换元法进行转化，假设将递推公式改写为an+1+t=p（an+t），比较系数可知t=[qp-1]，可令an+1+t=bn+1换元即可转化为等比数列来解决.
[例题3] 已知数列{an}中，a1=1，an+1=2an+3，求an.
[规范解答] 设递推公式an+1=2an+3可以转化为an+1-t=2（an-t），即an+1=2an-t，则t=-3.故递推公式为an+1+3=2（an+3）.
令bn=an+3，则b1=a1+3=4，且[bn+1bn]=[an+1+3an+3]=2.所以{bn}是以b1=4为首项，2为公比的等比数列.
所以bn=4×2n-1=2n+1，即an=2n+1-3.
四、an+1=pan+qn（其中p，q均为常数，pq（p-1）≠0）型
（1）一般地，要先在递推公式两边同除以qn+1，得[an+1qn+1]=[pq]·[anqn]+[1q]，引入辅助数列{bn}，得bn+1=[pq]·bn+[1q]，再用待定系数法解决；
（2）也可以在原递推公式两边同除以pn+1，得[an+1qn+1]=[anqn]+[1p]·[pq]n，引入辅助数列{bn}，得bn+1-bn=n，再利用叠加法（逐差相加法）求解.
[例题4] 已知数列{an}中，a1=，an+1=an+n+1，求an.
[规范解答] 解法一：在an+1=an+n+1两边乘以2n+1，得2n+1·an+1=（2n·an）+1.
令bn=2n·an，则bn+1=[23]bn+1，
根据待定系数法，得bn+1-3=[23]（bn-3）.
所以数列{bn-3}是以b1-3=2×[56]-3=-[43]为首项，以[23]为公比的等比数列.
所以bn-3=-[43][23]n-1，即bn=3-2[23]n. 于是，an=[bn2n]=3[12]n-2[13]n.
解法二：在an+1=[13]an+[12]n+1两边乘以3n+1，得3n+1an+1=3nan+[32]n+1. 令bn=3n·an，则bn+1=bn+[32]n+1.所以bn-bn-1=n，bn-1-bn-2=n-1，…，b2-b1=2.
将以上各式叠加，得bn-b1=[32]2+…+[32]n-1+[32]n. 又b1=3a1=3×[56]=[52]=1+[32]，所以bn=1+[32]+[32]2+…+[32]n-1+[32]n=2[32]n+1-2，即bn=2[32]n+1-2. 故an=[bn3n]=3[12]n-2[13]n.
五、an+1=[AanBan+C] （A，B，C为常数）型
对于此类递推数列，可通过两边同时取倒数的方法得出关系式.
[例题5] 已知数列{an}的首项a1=，an+1=，n=1，2，3，…求{an}的通项公式.
[规范解答]∵an+1=[3an2an+1]，∴[1an+1]=[23]+[13an]，∴[1an+1]-1=[13][1an-1]. 又[1a1]-1=[23]，∴[1an-1]是[23]以为首项，[13]为公比的等比数列，∴[1an]-1=[23]·[13n-1]=[23n]，
∴an=[3n3n+2].
[方法总结] 上面的几种常见的由递推公式求通项公式的题型和对应解法，从这些题型及解法中可以发现，很多题型及方法都是相通的，如果能够真正理解其内在的联系及区别，也就真正做到了举一反三、触类旁通，使自己的学习游刃有余，真正成为学习的主人。