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摘要：本文介绍了应用Preissmann四点差分格式数值求解圣维南方程组在洪水演算中的发展历程，阐述了这种差分格式的原理，论述了Preissmann差分格式相比于其他差分格式的优点和实用性，详细介绍了Preissmann差分格式的基本算法，并就其在小流域内洪水演算中的应用提出了一些观点和方法。
关键词：洪水演算 防洪 圣维南方程组 差分格式
1871年法国科学家圣维南（B.Saint Venant）首先提出了一个描绘一维河道非恒定连续流的基本方程[1]，属于一个一阶双曲型拟线性微分方程组，它描述了各段面流速（或流量）、水位与时间和断面位置之间的变化规律，称为圣维南方程组。Preissmann隐式差分法是一种可以用于求解圣维南方程组的数值方法。本文将就Preissmann隐式差分法在求解圣维南方程组的优势作一系列的阐述，并就其在小流域洪水演算中的应用问题做深入的讨论。
1、洪水演算方法的发展现状
1.1常用的简化法
方程组中（1）式为连续性方程式，（2）式能量方程式，由于能量方程式的非线性对求解带来的困难，在洪水演算的实际应用中，通常可以将动量方程简化，动量方程的简化形式有三种：运动波模型、扩散波模型、惯性波模型。
（1）运动波模型
线性运动波是在传播过程中不衰减，不变形的洪水波，适用于河道河底坡降较大时。在运动波模型中，水流的变化只向下游传播，所以只能用于流量水位呈单值关系、且没有回水顶托现象的河段。代表方法有马斯京干（Muskingum）洪水演算方法和特征河长洪水演算法。
（2）扩散波模型
扩散波是忽略惯性项的洪水波，当天然河道坡度平缓时，水位流量不是单值关系，而是一条逆时针套绳曲线。该种方法采用数值解法时，由于稳定性的要求，由它建立的模型时间步长需要小于一定的限值。
（3）惯性波模型
如果忽略摩阻项的影响，动量方程即可简化为惯性波模型。这种模型在摩阻力很小的深水河道的计算中十分合适。
1.2完全水力学方法
以今天的计算机技术求解完全圣维南方程已经不再困难。由完全圣维南方程描述的洪水波称作动力波，故完全水力学模型又被称作动力波模型，它对于所有洪水波普遍适用。所谓的简化法模型都是完全水力学模型在特定情况下的特例。完全水力学方法到目前为止主要有以下几种：特征线法、有限差分法、有限单元法[2]。
（1）特征线法
所谓特征线法，就是将圣维南方程组变换为4个等价常微分方程，然后用有限差分求解。特征线法的优势在于总是满足Courant条件，数值计算结果稳定，而且精度高，易于引入边界条件，缺点是计算时空间步长？x必须很小，一般河道断面尺寸精度难以达到，所以多数断面数据需要经过内插求得，而且同时？t也很小，此外就特征网格来说，由于其网格的不均匀性，使地形概化的难度增加，使用成果不方便。
（2）数值差分法
数值差分法还可以分为显式数值差分法和隐式数值差分法。在显式模型中，空间偏导数的一般项在已知的时段上估算，只有时间导数包含未知量，故可以对其直接求解，这种求解的便利性使显式差分法最先用于完全圣维南方程求解。使用显式差分法时由于Courant条件的限制，时间步长？t需要取得很小，而一般天然河道中，相对于时间步长，洪水过程历时很长，因此显式模型会显得臃肿耗时，而且显式模型为了满足稳定性条件要求网格均匀，使得地形和水力特征难以描述。常用的显式差分格式有简单显格式、扩散格式、蛙跳格式、Lax-Wendloff格式等等。
而隐式差分法的空间导数要涉及下个时段的未知量，这就需要将方程联立，但隐式差分法具有较好的稳定性，克服了显式差分模型在时间步长上的限制。本文所介绍的Preissmann隐式格式就是常用的隐式差分格式中的一种[3]。此外隐式差分格式还有华西里叶夫隐式格式（T.Strelkoff）、阿博特隐式格式（M.B.Abbott）等等。
（3）有限单元模型
通过能量极值原理进行分段或分区逼近是有限元法求解完全圣维南方程组的基本思想，有限元法便于处理边界条件，非常适用于二维水流的模拟计算，但河道洪水模拟计算是一维问题，有限元方法处理起来不如差分法方便。
2、Preissmann隐式差分格式应用于小流域洪水演算
普雷斯曼隐式格式（A.Preissmann）创建于1960年，在空间差分上它仅仅涉及前后两个点，这使得各种内边界条件处理起来非常方便，可以稳定控制收敛，目前这种隐式差分格式应用地最为广泛。
在小流域中，由于水量小，一般不会形成大规模的洪涝灾害，所以对小流域的洪水研究并不受重视，相对于长江、珠江等大河流域，对小流域的研究还有很大的发展空间。而且未来对小流域的研究，也是对我国整体水系研究的补充。
2.1 小流域洪水计算的研究现状
在我国东部的小流域中，普遍存在的特征就是行洪量有明显的雨季、旱季之分。雨季一般集中在一年中的7、8、9三个月，并且在这三个月集中了全年大部分的行洪量，而在其他月份，由于降水量的减少，河道的流量急剧减小甚至断流。正是由于这种现象，人们在防洪工作中往往平时无事可做，汛期又猝不及防，以至于相比于防范严密的长江、珠江等大河流域，小流域的洪水总是年年成灾，小灾不断。
2.3 Preissmann差分法在小流域洪水演算中的应用前景
3、结论与展望
随着科技的发展和对水流演算的研究，科学家们解决实际问题的理论和能力都在不断地完善和发展，他为水利科学技术的进步起到了积极的促进作用。但是，需要注意的是，对于河流水系的研究还主要着重于大流域，还远远不够深入，面对我国错综复杂的河流水系，需要做实际量化分析的工作还非常多，尚需要做许多基础性工作。由于对小流域的研究工作的缺失，不然导致大流域水流研究误差的出现，使得研究的出的结论不够精确。因此，鉴于当今技术与理论都有了很大的进步，将洪水演算工作细化到小流域范畴已经成为可能，并且也是今后水利工作的必然要求。
（1）目前，我国对水文数据的采集工作和技术还相对落后，而且多着重大江大河的数据，而对水量较少的小流域或季节性河流的数据采集力度不够，在深度上还存在一定的空白，对小流域洪水演算造成了一定的困难。
（3）由于小流域河道水文数据采集和检测的缺失，给今后的研究造成一定的困难，所以，完善小流域的水文数据的搜集整理工作是今后工作的要求，特别是经过长时间以后河道形态的冲淤变化是造成洪水演算误差和很大来源。建立小流域水文数据的常态检测机制，大量收集整理基础数据，给今后自动化的洪水预报系统的建立提供可靠保证。■
参考文献
[1] 王船海，李光炽.实用河网水流计算[M].南京：河海大学出版社，1997.
[2] 杨国录.河流数学模型[M].北京：海洋出版社，1993.
[3] 麦赫默德.明渠不恒定流[M].北京：水利电力出版社，1987.
关键词：洪水演算 防洪 圣维南方程组 差分格式
1871年法国科学家圣维南（B.Saint Venant）首先提出了一个描绘一维河道非恒定连续流的基本方程[1]，属于一个一阶双曲型拟线性微分方程组，它描述了各段面流速（或流量）、水位与时间和断面位置之间的变化规律，称为圣维南方程组。Preissmann隐式差分法是一种可以用于求解圣维南方程组的数值方法。本文将就Preissmann隐式差分法在求解圣维南方程组的优势作一系列的阐述，并就其在小流域洪水演算中的应用问题做深入的讨论。
1、洪水演算方法的发展现状
1.1常用的简化法
方程组中（1）式为连续性方程式，（2）式能量方程式，由于能量方程式的非线性对求解带来的困难，在洪水演算的实际应用中，通常可以将动量方程简化，动量方程的简化形式有三种：运动波模型、扩散波模型、惯性波模型。
（1）运动波模型
线性运动波是在传播过程中不衰减，不变形的洪水波，适用于河道河底坡降较大时。在运动波模型中，水流的变化只向下游传播，所以只能用于流量水位呈单值关系、且没有回水顶托现象的河段。代表方法有马斯京干（Muskingum）洪水演算方法和特征河长洪水演算法。
（2）扩散波模型
扩散波是忽略惯性项的洪水波，当天然河道坡度平缓时，水位流量不是单值关系，而是一条逆时针套绳曲线。该种方法采用数值解法时，由于稳定性的要求，由它建立的模型时间步长需要小于一定的限值。
（3）惯性波模型
如果忽略摩阻项的影响，动量方程即可简化为惯性波模型。这种模型在摩阻力很小的深水河道的计算中十分合适。
1.2完全水力学方法
以今天的计算机技术求解完全圣维南方程已经不再困难。由完全圣维南方程描述的洪水波称作动力波，故完全水力学模型又被称作动力波模型，它对于所有洪水波普遍适用。所谓的简化法模型都是完全水力学模型在特定情况下的特例。完全水力学方法到目前为止主要有以下几种：特征线法、有限差分法、有限单元法[2]。
（1）特征线法
所谓特征线法，就是将圣维南方程组变换为4个等价常微分方程，然后用有限差分求解。特征线法的优势在于总是满足Courant条件，数值计算结果稳定，而且精度高，易于引入边界条件，缺点是计算时空间步长？x必须很小，一般河道断面尺寸精度难以达到，所以多数断面数据需要经过内插求得，而且同时？t也很小，此外就特征网格来说，由于其网格的不均匀性，使地形概化的难度增加，使用成果不方便。
（2）数值差分法
数值差分法还可以分为显式数值差分法和隐式数值差分法。在显式模型中，空间偏导数的一般项在已知的时段上估算，只有时间导数包含未知量，故可以对其直接求解，这种求解的便利性使显式差分法最先用于完全圣维南方程求解。使用显式差分法时由于Courant条件的限制，时间步长？t需要取得很小，而一般天然河道中，相对于时间步长，洪水过程历时很长，因此显式模型会显得臃肿耗时，而且显式模型为了满足稳定性条件要求网格均匀，使得地形和水力特征难以描述。常用的显式差分格式有简单显格式、扩散格式、蛙跳格式、Lax-Wendloff格式等等。
而隐式差分法的空间导数要涉及下个时段的未知量，这就需要将方程联立，但隐式差分法具有较好的稳定性，克服了显式差分模型在时间步长上的限制。本文所介绍的Preissmann隐式格式就是常用的隐式差分格式中的一种[3]。此外隐式差分格式还有华西里叶夫隐式格式（T.Strelkoff）、阿博特隐式格式（M.B.Abbott）等等。
（3）有限单元模型
通过能量极值原理进行分段或分区逼近是有限元法求解完全圣维南方程组的基本思想，有限元法便于处理边界条件，非常适用于二维水流的模拟计算，但河道洪水模拟计算是一维问题，有限元方法处理起来不如差分法方便。
2、Preissmann隐式差分格式应用于小流域洪水演算
普雷斯曼隐式格式（A.Preissmann）创建于1960年，在空间差分上它仅仅涉及前后两个点，这使得各种内边界条件处理起来非常方便，可以稳定控制收敛，目前这种隐式差分格式应用地最为广泛。
在小流域中，由于水量小，一般不会形成大规模的洪涝灾害，所以对小流域的洪水研究并不受重视，相对于长江、珠江等大河流域，对小流域的研究还有很大的发展空间。而且未来对小流域的研究，也是对我国整体水系研究的补充。
2.1 小流域洪水计算的研究现状
在我国东部的小流域中，普遍存在的特征就是行洪量有明显的雨季、旱季之分。雨季一般集中在一年中的7、8、9三个月，并且在这三个月集中了全年大部分的行洪量，而在其他月份，由于降水量的减少，河道的流量急剧减小甚至断流。正是由于这种现象，人们在防洪工作中往往平时无事可做，汛期又猝不及防，以至于相比于防范严密的长江、珠江等大河流域，小流域的洪水总是年年成灾，小灾不断。
2.3 Preissmann差分法在小流域洪水演算中的应用前景
3、结论与展望
随着科技的发展和对水流演算的研究，科学家们解决实际问题的理论和能力都在不断地完善和发展，他为水利科学技术的进步起到了积极的促进作用。但是，需要注意的是，对于河流水系的研究还主要着重于大流域，还远远不够深入，面对我国错综复杂的河流水系，需要做实际量化分析的工作还非常多，尚需要做许多基础性工作。由于对小流域的研究工作的缺失，不然导致大流域水流研究误差的出现，使得研究的出的结论不够精确。因此，鉴于当今技术与理论都有了很大的进步，将洪水演算工作细化到小流域范畴已经成为可能，并且也是今后水利工作的必然要求。
（1）目前，我国对水文数据的采集工作和技术还相对落后，而且多着重大江大河的数据，而对水量较少的小流域或季节性河流的数据采集力度不够，在深度上还存在一定的空白，对小流域洪水演算造成了一定的困难。
（3）由于小流域河道水文数据采集和检测的缺失，给今后的研究造成一定的困难，所以，完善小流域的水文数据的搜集整理工作是今后工作的要求，特别是经过长时间以后河道形态的冲淤变化是造成洪水演算误差和很大来源。建立小流域水文数据的常态检测机制，大量收集整理基础数据，给今后自动化的洪水预报系统的建立提供可靠保证。■
参考文献
[1] 王船海，李光炽.实用河网水流计算[M].南京：河海大学出版社，1997.
[2] 杨国录.河流数学模型[M].北京：海洋出版社，1993.
[3] 麦赫默德.明渠不恒定流[M].北京：水利电力出版社，1987.