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有这样一道很著名的题：
问题1 求椭圆的内接矩形的最大面积.
本题的解法也很“有名”：
解 设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，由对称性可知，内接矩形的边平行于坐标轴.设内接矩形ABCD在第一象限的顶点为A(acosα,bsinα)，则SABCD=4acosα•bsinα=2absin2α≤2ab.
结论是正确的，但深层次的原因没有找到.
本文先给出三角形的一个面积公式，然后解决更一般的问题.
图 1
定理 如图1，设A，B两点的坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2)，O为坐标原点，则
S△OAB=12|x1y2-x2y1|.（1）
证明 当直线AB的斜率不存在时，有x1=x2，结论显然是成立的.
当直线AB的斜率存在时，直线AB的方程是
y-y1=y2-y1x2-x1(x-x1)，
即(y2-y1)x-(x2-x1)y+x2y1-x1y2=0.
原点到直线AB的距离d=|x2y1-x1y2|(x1-x2)2+(y1-y2)2，
∴S△OAB=12d•|AB|
=12•|x2y1-x1y2|(x1-x2)2+(y1-y2)2• (x1-x2)2+(y1-y2)2
=12|x1y2-x2y1|.
综上所述，结论成立.
这个公式可称为三角形的坐标面积公式.当三角形没有一个顶点在原点时，可用平移方法得到面积公式，本文不作讨论.
注 已知三角形的三个顶点，其面积可由三个顶点坐标的行列式算出，由于教材中没有这部分内容，所以我们采用了一个变通的方法.
下面用公式（１）解决更一般的问题.
问题2 求椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的内接平行四边形的最大面积.
解 引理：椭圆的一组平行弦的中点的轨迹是一条过中心的弦（直径），并且若平行弦的斜率不存在，则轨迹就是长轴；若平行弦的斜率为０，则轨迹就是短轴；若平行弦的斜率为k(k≠0)，则轨迹所在直线的斜率为-b2a2k.
图 2
现设ABCD为椭圆的内接平行四边形，设一组对边AB，CD中点为M，N，由引理知，中位线MN所在直线过椭圆的中心，同理，另一条中位线PQ所在直线也过椭圆中心，而两条中位线的交点恰是平行四边形的中心，故平行四边形的中心与椭圆的中心重合.
如图2，ABCD是椭圆的内接矩形，则SABCD=4S△OAB.
设A(acosα，bsinα)，B(acosβ,bsinβ)，则
S△OAB=12|acosα•bsinβ-acosβ•bsinα|
=ab2|cosαsinβ-sinαcosβ|
=ab2|sin(α-β)|≤ab2，
从而SABCD≤2ab（当且仅当|sin(α-β)|=1取等号）.
现设ABCD是椭圆的内接矩形，若对边AB和CD的斜率为k(k≠0)，则这两边中位线的斜率为-b2a2k，而这正是邻边AD的斜率.∵AB⊥AD，∴-b2a2k•k=-1，即a2=b2，此不可能，所以AB的斜率为０，因此，椭圆的内接矩形的边平行于对称轴.由上面的解答可知，其最大面积为2ab（取到最大面积的充要条件同上）.
由以上分析可知，椭圆的内接矩形的边平行于对称轴不能由椭圆的对称性简单推出.
【参考文献】
张泽湘.二次曲线.上海：上海教育出版社，1981.
问题1 求椭圆的内接矩形的最大面积.
本题的解法也很“有名”：
解 设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，由对称性可知，内接矩形的边平行于坐标轴.设内接矩形ABCD在第一象限的顶点为A(acosα,bsinα)，则SABCD=4acosα•bsinα=2absin2α≤2ab.
结论是正确的，但深层次的原因没有找到.
本文先给出三角形的一个面积公式，然后解决更一般的问题.
图 1
定理 如图1，设A，B两点的坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2)，O为坐标原点，则
S△OAB=12|x1y2-x2y1|.（1）
证明 当直线AB的斜率不存在时，有x1=x2，结论显然是成立的.
当直线AB的斜率存在时，直线AB的方程是
y-y1=y2-y1x2-x1(x-x1)，
即(y2-y1)x-(x2-x1)y+x2y1-x1y2=0.
原点到直线AB的距离d=|x2y1-x1y2|(x1-x2)2+(y1-y2)2，
∴S△OAB=12d•|AB|
=12•|x2y1-x1y2|(x1-x2)2+(y1-y2)2• (x1-x2)2+(y1-y2)2
=12|x1y2-x2y1|.
综上所述，结论成立.
这个公式可称为三角形的坐标面积公式.当三角形没有一个顶点在原点时，可用平移方法得到面积公式，本文不作讨论.
注 已知三角形的三个顶点，其面积可由三个顶点坐标的行列式算出，由于教材中没有这部分内容，所以我们采用了一个变通的方法.
下面用公式（１）解决更一般的问题.
问题2 求椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的内接平行四边形的最大面积.
解 引理：椭圆的一组平行弦的中点的轨迹是一条过中心的弦（直径），并且若平行弦的斜率不存在，则轨迹就是长轴；若平行弦的斜率为０，则轨迹就是短轴；若平行弦的斜率为k(k≠0)，则轨迹所在直线的斜率为-b2a2k.
图 2
现设ABCD为椭圆的内接平行四边形，设一组对边AB，CD中点为M，N，由引理知，中位线MN所在直线过椭圆的中心，同理，另一条中位线PQ所在直线也过椭圆中心，而两条中位线的交点恰是平行四边形的中心，故平行四边形的中心与椭圆的中心重合.
如图2，ABCD是椭圆的内接矩形，则SABCD=4S△OAB.
设A(acosα，bsinα)，B(acosβ,bsinβ)，则
S△OAB=12|acosα•bsinβ-acosβ•bsinα|
=ab2|cosαsinβ-sinαcosβ|
=ab2|sin(α-β)|≤ab2，
从而SABCD≤2ab（当且仅当|sin(α-β)|=1取等号）.
现设ABCD是椭圆的内接矩形，若对边AB和CD的斜率为k(k≠0)，则这两边中位线的斜率为-b2a2k，而这正是邻边AD的斜率.∵AB⊥AD，∴-b2a2k•k=-1，即a2=b2，此不可能，所以AB的斜率为０，因此，椭圆的内接矩形的边平行于对称轴.由上面的解答可知，其最大面积为2ab（取到最大面积的充要条件同上）.
由以上分析可知，椭圆的内接矩形的边平行于对称轴不能由椭圆的对称性简单推出.
【参考文献】
张泽湘.二次曲线.上海：上海教育出版社，1981.