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我们知道,数学各系统、各分支、各部分之间既有区别又有联系,既有共性又有个性.就是同一部分的知识之间也是如此. 但同学们解题中往往关注联系忽视区别,关注共性忽视个性,关注正面忽视反面,关注整体忽视局部,关注类比忽视证明等,常常张冠李戴、真假不分,得到一些错误的结论. 下面介绍九种“混同”,要注意防范.
一、“数列中的比例”与“实数中的比例”混同
例1 两个等差数列{an}与{a′n}的前n项和分别为Sn、S′n,且满足Sn∶S′n=(5n+13)∶(4n+5),则a10∶a′10=()
A. 4∶5B. 3∶4C. 5∶4D. 4∶3
错解 设Sn=(5n+13)k,S′n=(4n+5)k,则an=Sn-Sn-1=5k,a′n=S′n-S′n-1=4k,∴ an∶a′n=5∶4,于是a10∶a′10=5∶4,故选C.
评析与略解 由Sn∶S′n=(5n+13)∶(4n+5)可知,比值=随着项数n的变化而变化,不能设为常数k. 这里将其与实数中的比例==k(常数)混同致错. 正确的解法可以是:设Sn=(5n+13)nk,S′n=(4n+5)nk,则an=Sn-Sn-1=(10n+8)k,a′n=S′n-S′n-1=(8n+1)k,∴ an∶a′n=(10n+8)∶(8n+1),其中n≥2. 于是a10∶a′10=(10×10+8)∶(8×10+1)4∶3,故选D.
二、“向量运算”与“实数运算”混同
例2 已知,为非零不共线向量,t为实数,设=+t,当||取最小值时,求证: ⊥(+t).
错解 =||2= (+t)2=2+2•t+2t2=2(t+)2……①
∵ 2>0,∴当t=-时,||取到最小值.
∴ •(+t)=•(-)=•-•=0…………②
故⊥(+t).
评析与略解 表面上看证明简捷明了,实际上有多种错误.解题中将“向量运算”与“实数运算”混同,误认为“若•=•,则=”成立和“”有意义.其实,实数运算中消去律成立且除法(b≠0)有意义,但对于向量消去律不成立且向量没有定义除法运算(即没有意义).大家将向量视为实数a,错误套用实数的性质. 向量与实数是两个不同的系统,实数的运算性质不一定都适合向量,除“由•=•(≠)不能推出=”外,还有“由•=0不能推出=或=”“(•)•≠•(•)”“|•|≠|•|)”等等,解题中要引起注意,防止错用. 本题正确的解法是:
=||2= (+t)2=+2•t+t2=2(t2+2t+)=(t+2)2+2-
当t=-时,取最小值2-≠0,此时,•(+t)=•(-)=•-=0,故⊥(+t).
三、“数列的单调性”与“函数的单调性” 混同
例3 已知数列{an}中,an=n2-kn(n∈N*)且{an}单调递增,则实数k的取值范围是()
A. (-∞,2] B.(-∞,3)
C.(-∞,2)D.(-∞,3]
错解 由于二次函数f(x)=x2-kx在区间[,+∞)上单调递增,在(-∞,]上单调递减,因此要使数列an=n2-kn(n∈N*)在[1,+∞)上单调递增,只要1≥,k≤2,故选答案A.
评析与略解 这里将“数列的单调性”与“函数的单调性”混同.当[1,+∞)[,+∞)时,固然有数列在an=n2-kn在[1,+∞)上单调递增,但如果a1,a2在对称轴的两旁且a1
四、“函数的极值点”与“导数的零点”混同
例4 已知函数f(x)=ax2+2ln(1-x).是否存在实数a,使得f(x)在x=处取极值?证明你的结论.
错解 f ′(x)=2ax-.令f()=a-4=0),解得a=4,故存在实数a=4使得f(x)在x=处有极值.
评析与略解 这里将“函数的极值点”与“导数的零点”混同.显然,当a=4时,f ′(x)=8x+=.因为当x<,f ′(x)<0;当
五、“直线的夹角”与“向量的夹角”混同
例5 如图,在五面体ABCDEF中,FA⊥平面ABCD,AD∥BC∥FE,AB⊥AD,AF=AB=BC=FE=AD,求异面直线FB与DE所成角的大小.
错解 如图,建立空间直角坐标系,点A为坐标原点.设AB=1,依题意得B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),E(0,1,1),F(0,0,1),则=(1,0,-1),=(0,-1,1).
于是cos<,>==-,<,>=120°,
故异面直线FB与DE所成的角的大小为120°.
评析与略解 这里将“直线的夹角”与“向量的夹角”混同.尽管向量,的夹角是120°,但直线FB与DE的夹角应该是60°. 其实,空间两直线的夹角规定其取值范围是0,,而空间两向量的夹角是同一起点的两条有向线段的夹角,它的取值范围是0,,两者有区别. 求空间线线角往往运用向量法,即先求出两条线上的两条向量的夹角,再确定线线角,它们的关系是相等或互补.解题中大家往往误认为两者相等致错.
六、“过一点的切线”与“以一点为切点的切线”混同
例6 求经过点A(2,-2)的曲线y=x3-4x2+5x-4的切线方程.
错解 显然点A(2,-2)在曲线上. 因为y′=3x2-8x+5,所以y′|x=2=3×4-8×2+5=1,故过点A(2,-2)的曲线的切线方程是y+2=1•(x-2),即x-y-4=0.
评析与略解 f ′(x0)的几何意义是曲线y=f(x)在点(x0, f (x0))处的切线斜率,其切线方程可以表示为y-f (x0),其条件是是曲线上的点(切点). 本题错在将经过点A(2,-2)的曲线的切线当作以该点为切点的曲线的切线,这两者是有区别的.“过一点的切线”中的“点”可以在曲线上或不在曲线上,但“以一点为切点的切线” 中的“点”必须在曲线上,前者包含后者.不少同学解此题时常常当作问题“求曲线y=x3-4x2+5x-4上以点A(2,-2)为切点的切线方程”求解,只求出以点A(2,-2)为切点的切线x-y-4=0,而漏掉另一条经过A(2,-2)且与曲线切于点(1,-2)的切线y+2=0. 本题的正确解法如下:设经过点A(2,-2)的直线l切曲线于点P(x0,y0),则y0=x03-4x02+5x0-4.由导数的几何意义,得直线l的方程是y-(x03-4x02+5x0-4)=(3x03-8x0+5)(x-x0)(*). 将点A的坐标(2,-2)代入(*)式,得-2-(x03-4x02+5x0-4)=(3x03-8x0+5)(2-x0),解得x0=1或x0=2.将它们分别代回(*)式得,y+2=0和x-y-4=0.故经过点A(2,-2)的曲线y=x3-4x2+5x-4的切线有两条,其方程为y+2=0和x-y-4=0.
七、“向量夹角大小的判定” 与“三角形内角大小的判定”混同
例7 已知||=1,||=2,与的夹角为120°,求使+k与k+的夹角为锐角的实数k的取值范围.
错解 (+k)(k+)=k+(k2+1)•+k
=k+(k2+1)×1×2×cos120°+4k=-k2+5k-1.
由题意得,-k2+5k-1>0,∴ 评析与略解 我们知道,在△ABC中,若设=,=,∠ACB=,则 ①θ为锐角•>0;②θ为直角•=0;③θ为钝角•<0. 这里视(+k)和(k+)为三角形的边向量,由(+k)(k+)>0确定k的取值范围,将“向量夹角判定的充要条件”混同于“三角形内角大小判定的充要条件”而致错.其实,+k与k+同向时,仍有(+k)(k+)>0,此时,设+k=λ(k+)(λ>0),显然、不共线. ∴λk=1,k=λ,∴k=λ=±1, 取k=λ=1. 因此本题的正确答案应该是0且、不同向;②θ为直角•=0;③θ为钝角•<0且、不反向.
八、“函数在两个不同区间递增(或递减)”与“函数在两个区间的并集上递增(或递减)”混同
例8 已知f(x)=(2-a)x+1,x<1ax,x≥1是(-∞,+∞)上的增函数,那么a的取值范围是()
A. (1,+∞)B. [,2)C. (1,]D. (1,2)
错解 因为f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,所以f(x)在(-∞,1)和[1,+∞)上是增函数,于是2-a>0且a>11 评析与略解 这里将“函数在两个不同区间递增”与“函数在两个区间并集上递增”混同,当作一回事. 其实,函数的单调性是函数的局部性质,而不是整体性质. 函数在某个区间递增(或递减),那么函数在这个区间的任何子区间上也递增(或递减),但反之不然,即函数在两个不同区间递增(或递减),那么在这两个区间的并集上不一定递增(或递减).一个鲜明的例子就是:函数f(x)=-在(-∞,0)和(0,+∞)上递增,但在(-∞,0)∪(0,+∞)上不递增,如1>-1,但f(1)0且a>1”外,还应该保证一次函数在(-∞,1]上的最大值不大于指数函数在[1,+∞)上的最小值,即取2-a+1≤a与1
九、“函数单调的导数式充分条件”与“函数单调的导数式充要条件” 混同
例9 已知f(x)=ax-x3在R上是减函数,求实数a的取值范围.
错解 f ′(x)=a-3x2. ∵f(x)在R上是减函数,∴f ′(x)<0,即a-3x2<0在x∈R上恒成立,∴ a<3x2,a<(3x2)min.而3x2在R上的最小值为0,因此a<0
评析与略解 本题错在将f ′(x)<0视为f(x)=ax-x3在R上是减函数的充要条件,将“函数单调的导数式充分条件f ′(x)<0”与“函数单调的导数式充要条件”混同. 其实,当a=0时,f(x)=-x3,显然在R上是减函数,满足题意. 因此本题中的f ′(x)<0只是f(x)在R上是减函数的充分条件,利用这个充分条件求a的范围就漏掉了a=0这个解,这是利用导函数的符号确定函数单调性问题的一个陷阱. 事实上,可导函数f(x)在(a,b)上单增(或单减)的充要条件是:对于任意x∈(a,b),都有f ′(x)≥0(或f ′(x)≤0),且f ′(x)在(a,b)的任意子区间上都不恒为零. 在高中阶段,主要出现的是有一个或有限多个使f ′(x)=0的点x的情况. 因此,本题应由f ′(x)≤0,即由不等式a-3x2≤0在x∈R上恒成立来求实数a的取值范围,a≤(3x2)min=0,故正确答案是a≤0.
以上九种情形都是一些有代表性的易混点、易错点. 后期复习阶段,重温这些问题很有必要,这能帮助同学们澄清概念、查漏补缺、跳出陷阱,正所谓“拨开迷雾见青天”,这样便可以减少高考中的错误,提高答题的正确率.
责任编校徐国坚
一、“数列中的比例”与“实数中的比例”混同
例1 两个等差数列{an}与{a′n}的前n项和分别为Sn、S′n,且满足Sn∶S′n=(5n+13)∶(4n+5),则a10∶a′10=()
A. 4∶5B. 3∶4C. 5∶4D. 4∶3
错解 设Sn=(5n+13)k,S′n=(4n+5)k,则an=Sn-Sn-1=5k,a′n=S′n-S′n-1=4k,∴ an∶a′n=5∶4,于是a10∶a′10=5∶4,故选C.
评析与略解 由Sn∶S′n=(5n+13)∶(4n+5)可知,比值=随着项数n的变化而变化,不能设为常数k. 这里将其与实数中的比例==k(常数)混同致错. 正确的解法可以是:设Sn=(5n+13)nk,S′n=(4n+5)nk,则an=Sn-Sn-1=(10n+8)k,a′n=S′n-S′n-1=(8n+1)k,∴ an∶a′n=(10n+8)∶(8n+1),其中n≥2. 于是a10∶a′10=(10×10+8)∶(8×10+1)4∶3,故选D.
二、“向量运算”与“实数运算”混同
例2 已知,为非零不共线向量,t为实数,设=+t,当||取最小值时,求证: ⊥(+t).
错解 =||2= (+t)2=2+2•t+2t2=2(t+)2……①
∵ 2>0,∴当t=-时,||取到最小值.
∴ •(+t)=•(-)=•-•=0…………②
故⊥(+t).
评析与略解 表面上看证明简捷明了,实际上有多种错误.解题中将“向量运算”与“实数运算”混同,误认为“若•=•,则=”成立和“”有意义.其实,实数运算中消去律成立且除法(b≠0)有意义,但对于向量消去律不成立且向量没有定义除法运算(即没有意义).大家将向量视为实数a,错误套用实数的性质. 向量与实数是两个不同的系统,实数的运算性质不一定都适合向量,除“由•=•(≠)不能推出=”外,还有“由•=0不能推出=或=”“(•)•≠•(•)”“|•|≠|•|)”等等,解题中要引起注意,防止错用. 本题正确的解法是:
=||2= (+t)2=+2•t+t2=2(t2+2t+)=(t+2)2+2-
当t=-时,取最小值2-≠0,此时,•(+t)=•(-)=•-=0,故⊥(+t).
三、“数列的单调性”与“函数的单调性” 混同
例3 已知数列{an}中,an=n2-kn(n∈N*)且{an}单调递增,则实数k的取值范围是()
A. (-∞,2] B.(-∞,3)
C.(-∞,2)D.(-∞,3]
错解 由于二次函数f(x)=x2-kx在区间[,+∞)上单调递增,在(-∞,]上单调递减,因此要使数列an=n2-kn(n∈N*)在[1,+∞)上单调递增,只要1≥,k≤2,故选答案A.
评析与略解 这里将“数列的单调性”与“函数的单调性”混同.当[1,+∞)[,+∞)时,固然有数列在an=n2-kn在[1,+∞)上单调递增,但如果a1,a2在对称轴的两旁且a1
四、“函数的极值点”与“导数的零点”混同
例4 已知函数f(x)=ax2+2ln(1-x).是否存在实数a,使得f(x)在x=处取极值?证明你的结论.
错解 f ′(x)=2ax-.令f()=a-4=0),解得a=4,故存在实数a=4使得f(x)在x=处有极值.
评析与略解 这里将“函数的极值点”与“导数的零点”混同.显然,当a=4时,f ′(x)=8x+=.因为当x<,f ′(x)<0;当
五、“直线的夹角”与“向量的夹角”混同
例5 如图,在五面体ABCDEF中,FA⊥平面ABCD,AD∥BC∥FE,AB⊥AD,AF=AB=BC=FE=AD,求异面直线FB与DE所成角的大小.
错解 如图,建立空间直角坐标系,点A为坐标原点.设AB=1,依题意得B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),E(0,1,1),F(0,0,1),则=(1,0,-1),=(0,-1,1).
于是cos<,>==-,<,>=120°,
故异面直线FB与DE所成的角的大小为120°.
评析与略解 这里将“直线的夹角”与“向量的夹角”混同.尽管向量,的夹角是120°,但直线FB与DE的夹角应该是60°. 其实,空间两直线的夹角规定其取值范围是0,,而空间两向量的夹角是同一起点的两条有向线段的夹角,它的取值范围是0,,两者有区别. 求空间线线角往往运用向量法,即先求出两条线上的两条向量的夹角,再确定线线角,它们的关系是相等或互补.解题中大家往往误认为两者相等致错.
六、“过一点的切线”与“以一点为切点的切线”混同
例6 求经过点A(2,-2)的曲线y=x3-4x2+5x-4的切线方程.
错解 显然点A(2,-2)在曲线上. 因为y′=3x2-8x+5,所以y′|x=2=3×4-8×2+5=1,故过点A(2,-2)的曲线的切线方程是y+2=1•(x-2),即x-y-4=0.
评析与略解 f ′(x0)的几何意义是曲线y=f(x)在点(x0, f (x0))处的切线斜率,其切线方程可以表示为y-f (x0),其条件是是曲线上的点(切点). 本题错在将经过点A(2,-2)的曲线的切线当作以该点为切点的曲线的切线,这两者是有区别的.“过一点的切线”中的“点”可以在曲线上或不在曲线上,但“以一点为切点的切线” 中的“点”必须在曲线上,前者包含后者.不少同学解此题时常常当作问题“求曲线y=x3-4x2+5x-4上以点A(2,-2)为切点的切线方程”求解,只求出以点A(2,-2)为切点的切线x-y-4=0,而漏掉另一条经过A(2,-2)且与曲线切于点(1,-2)的切线y+2=0. 本题的正确解法如下:设经过点A(2,-2)的直线l切曲线于点P(x0,y0),则y0=x03-4x02+5x0-4.由导数的几何意义,得直线l的方程是y-(x03-4x02+5x0-4)=(3x03-8x0+5)(x-x0)(*). 将点A的坐标(2,-2)代入(*)式,得-2-(x03-4x02+5x0-4)=(3x03-8x0+5)(2-x0),解得x0=1或x0=2.将它们分别代回(*)式得,y+2=0和x-y-4=0.故经过点A(2,-2)的曲线y=x3-4x2+5x-4的切线有两条,其方程为y+2=0和x-y-4=0.
七、“向量夹角大小的判定” 与“三角形内角大小的判定”混同
例7 已知||=1,||=2,与的夹角为120°,求使+k与k+的夹角为锐角的实数k的取值范围.
错解 (+k)(k+)=k+(k2+1)•+k
=k+(k2+1)×1×2×cos120°+4k=-k2+5k-1.
由题意得,-k2+5k-1>0,∴
八、“函数在两个不同区间递增(或递减)”与“函数在两个区间的并集上递增(或递减)”混同
例8 已知f(x)=(2-a)x+1,x<1ax,x≥1是(-∞,+∞)上的增函数,那么a的取值范围是()
A. (1,+∞)B. [,2)C. (1,]D. (1,2)
错解 因为f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,所以f(x)在(-∞,1)和[1,+∞)上是增函数,于是2-a>0且a>11
九、“函数单调的导数式充分条件”与“函数单调的导数式充要条件” 混同
例9 已知f(x)=ax-x3在R上是减函数,求实数a的取值范围.
错解 f ′(x)=a-3x2. ∵f(x)在R上是减函数,∴f ′(x)<0,即a-3x2<0在x∈R上恒成立,∴ a<3x2,a<(3x2)min.而3x2在R上的最小值为0,因此a<0
评析与略解 本题错在将f ′(x)<0视为f(x)=ax-x3在R上是减函数的充要条件,将“函数单调的导数式充分条件f ′(x)<0”与“函数单调的导数式充要条件”混同. 其实,当a=0时,f(x)=-x3,显然在R上是减函数,满足题意. 因此本题中的f ′(x)<0只是f(x)在R上是减函数的充分条件,利用这个充分条件求a的范围就漏掉了a=0这个解,这是利用导函数的符号确定函数单调性问题的一个陷阱. 事实上,可导函数f(x)在(a,b)上单增(或单减)的充要条件是:对于任意x∈(a,b),都有f ′(x)≥0(或f ′(x)≤0),且f ′(x)在(a,b)的任意子区间上都不恒为零. 在高中阶段,主要出现的是有一个或有限多个使f ′(x)=0的点x的情况. 因此,本题应由f ′(x)≤0,即由不等式a-3x2≤0在x∈R上恒成立来求实数a的取值范围,a≤(3x2)min=0,故正确答案是a≤0.
以上九种情形都是一些有代表性的易混点、易错点. 后期复习阶段,重温这些问题很有必要,这能帮助同学们澄清概念、查漏补缺、跳出陷阱,正所谓“拨开迷雾见青天”,这样便可以减少高考中的错误,提高答题的正确率.
责任编校徐国坚