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摘 要:本文首次将主微分分析这一新兴数据分析方法引入到利率期限结构模型中,在基于这一方法对时变参数Nelson Siegel模型(N S模型)背后机理进行分析的同时,将时变参数Nelson Siegel模型推广到一个更广泛的分析框架下。然后,针对国内债券市场进行相应的实证研究,给出了模型的参数估计,并对其样本外预测结果进行分析。
关键词:主微分分析;利率期限结构;Nelson Siegel模型;样本外预测
中图分类号:F830.91
文献标识码:A
文章编号:1003-5192(2009)04-0062-04
1 引言
期限结构模型从静态模型到动态模型的研究历程中,其中占有主导地位要数均衡模型和无套利模型。均衡模型强调对短期利率运动的描述,它根据市场的均衡条件求出利率所必须遵循的一个过程,相关的经济变量是输入变量,利率水平是输出变量;典型的模型有Vasicek[1]和Cox、Ingersoll、Ross[2]等。无套利模型则强调某一时点上期限结构数据的完美匹配以保证无套利条件的存在,它通过相关债券等资产之间必须满足的无套利条件进行分析,此时利率水平是一个输入变量,相关金融工具的价格是输出变量;典型的模型有Ho Lee[3] 、Hull & White[4]和Heath,Jarrow和Morton[5]等。这两种方法由于其所依赖的随机数学理论和方法的支撑,得到广泛而深入的发展。一方面,由于无套利模型强调固定时点上无套利条件的存在,因而在衍生产品定价当中显得尤为重要;另一方面,均衡模型强调对短期利率运动的描述,从而在风险管理领域占有举足轻重的地位。
然而从利率期限结构的预测效能来看,无套利模型主要关注某一时点上无套利条件的存在,而缺乏对利率运动描述和预测方面的描述;均衡模型虽然强调了对利率运动的描述,但其优良表现主要体现在样本内预测方面,而在样本外预测方面表现一般。并且就总体而言,在以往关于利率期限结构模型的研究中,对预测这一实际应用中有着重要作用的方面与模型研究的其它方面相比也显得研究不足,其中曾经针对样本外预测进行重点研究是 Duffee[6] ,但是预测效果并不理想。最近Diebold[7]对这一问题再一次给予关注,并将实践中广为使用的Nelson Siegel[8]模型推广为时变参数模型,其目的在于得到关于利率期限结构样本外预测的更好效果。然而,Diebold 的模型存在如下问题:第一,Diebold关于Nelson Siegel模型的推广是建立在简单地将原有模型中的常数参数变为时变参数,从其采用的估计方法看,实质上是不同时点上Nelson Siegel模型的重复估计。第二,从文中所采用的瞬时远期利率和到期收益率的函数表达式来看,二者之间的关系并不正确;第三,文中为了简化估计程序的复杂性,将参数λt事先确定,这一点限定了模型的预测精度和适用范围,同时笔者认为参数λt的估计所增加的复杂度从算法角度来讲是可以接受的。当然,Diebold基于收益率的模型预测确实得到了较以往模型在长时段上(在样本外1年时点上的预测效果超过了以往的任何模型)更好的预测效果,这也正是本文对此进行深入研究的动力所在。
2 主微分分析模型及其估计方法
将微分方程作为建模对象,不仅体现了函数线性模型的特点,同时也将主成分分析的理念融入其中。这是因为,一个微分方程既能捕捉到函数数据的曲线特征,又能捕捉到它的梯度特征;同时,因为微分方程解的集合是整个函数空间,它也能够为观测值变化过程进行建模,在这种意义上,它又具有主成分分析的理念,即能够找到一个函数子空间去捕捉数据的主要变化特征,这一特点与数据分析理念有着很好的一致性。事实上,数据分析师既希望捕捉到一次观测的重要运动特征,并因此在估计方程的m维子空间中去找到关于数据的最好解释;同时又希望弄清楚多少个函数变化特征能够用于解释一个过程的实现;这就需要将线性建模与方差分解融合到该环境下的一次分析过程中。本文所讨论的主微分分析方法就是通过以微分方程拟合噪音数据,既捕捉到单个曲线的特征,又捕捉到曲线间的变化特征。这一术语首先由Ramsay[9]在1996年提出:
3 主微分分析框架下的时变参数Nelson Siegel模型分析
3.1 时变参数Nelson Siegel模型的微分结构分析
依据Diebold & Li给出的债券价格、瞬时远期利率和到期收益率之间的关系
3.2 主微分分析框架下的参数意义分析
首先从(9)式中瞬时远期利率所满足的微分算子来看,的系数分别为1、2λt和λ2t,它们分别代表函数的凸度、梯度和水平运动特征。而从(11)式c(t)=β1tλ2t的函数曲线(图6)来看,c(t)的值随着边界点的临近而趋近于0;再来考虑β1t的含义,它可以看成长期因子,因而根据λt控制参数的含义,c(t)反映了β1t的绝对波动程度。另一方面,从c(t)的变化趋势来看,应用时变参数Nelson Siegel模型对利率期限结构的预测理论上应该短期优于长期,这与我们在实证分析中的结果是一致的。
此外,从目前关于宏观经济变量对期限结构预测的效能的研究来看,将宏观经济变量作为外生变量的引入对于期限结构的样本外预测是有助益的,那么在Diebold & Li将β1t、β2t和β3t可以看成三个潜因子的同时,我们不妨将参差c(t)看成外生变量作用的结果,从而进一步考察宏观经济变量在样本外预测上的效能。
4 时变参数Nelson Siegel模型的估计结果
这里我们首先采用Diebold & Li中的方法,对2005年1月4日到2007年4月27日的上交所国债瞬时远期利率113只周数据进行相应的实证研究,参数估计结果如图所示。
我们将参数估计数据的范围限定在100周,并分别对其后的1周、2周、5周、和10周进行预测。下表给出了估计误差的描述性统计。
5 总结与讨论
本文在主微分分析框架下对Diebold & Li提出的时变参数期限结构模型进行分析,并在这一机理分析的基础上,针对国内债券市场进行相应的实证研究。然而,与Diebold & Li的实证研究不同的是,我们关于模型参数的估计并不事先给定λt的值,实证结果表明这样做是必要的;而且,我们的模型中所用的是瞬时远期利率而非到期收益率,这就避免了在参数估计过程中的奇异问题。此外,目前基于样本外预测这一视角进行的利率期限结构模型研究仍是相对空白的领域,值得进一步深入探讨。尤其值得说明的是,时变参数Nelson Siegel模型族是Nelson Siegel模型族在参数由常参数到时变参数的进一步推广,这一推广使得该模型从期限结构的静态描述和样本内预测向样本外预测迈出了重要一步,从而对基于内生变量、适合样本外预测的期限结构模型研究提供了必要的启发式思考。当然,研究内生变量和外生变量共同驱动下的期限结构模型将是更有前景的课题。
参 考 文 献:
[1]Vasicek O. An equilibrium characterization of the term structure[J]. Journal of Financial Economics, 1977, 5(2): 177 188.
[2]Cox J C, Ingersoll J E, Ross S A. A theory of the term structure of interest rates[J]. Econometrica, 1985, 53(2): 385407.
[3]Ho T S Y, Lee S B. Term structure movements and pricing interest rate contingent claims[J]. Journal of Finance, 1986, 41(5):1011 1029.
[4]Hull J, White A. One factor interest rate models and the valuation of interest rate derivative securities[J]. Journal of Financial and Quantitative Analysis, 1993, 28(7): 235 254.
[5]Heath D, Jarrow R, Morton A. Bond pricing and the term structure of interest rates: a new methodology for contingent claims valuation[J]. Econometrica, 1992, 60(1): 77 105.
[6]Duffee G. Term premia and interest rate forecasts in affine models[J]. Journal of Finance, 2002, 57(1): 405443.
[7]Diebold F X, Li C. Forecasting the term structure of government bond yields[J]. Journal of Econometrics, 2006, 130: 337 364.
[8]Nelson C R, Siegel A F. Parsimonious modeling of yield curve[J]. Journal of Business, 1987, 60(4): 473489.
[9]Ramsay J O, Silverman. Functional data analysis[M]. New York: Springer Verlag, 1997. 363420.
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”
关键词:主微分分析;利率期限结构;Nelson Siegel模型;样本外预测
中图分类号:F830.91
文献标识码:A
文章编号:1003-5192(2009)04-0062-04
1 引言
期限结构模型从静态模型到动态模型的研究历程中,其中占有主导地位要数均衡模型和无套利模型。均衡模型强调对短期利率运动的描述,它根据市场的均衡条件求出利率所必须遵循的一个过程,相关的经济变量是输入变量,利率水平是输出变量;典型的模型有Vasicek[1]和Cox、Ingersoll、Ross[2]等。无套利模型则强调某一时点上期限结构数据的完美匹配以保证无套利条件的存在,它通过相关债券等资产之间必须满足的无套利条件进行分析,此时利率水平是一个输入变量,相关金融工具的价格是输出变量;典型的模型有Ho Lee[3] 、Hull & White[4]和Heath,Jarrow和Morton[5]等。这两种方法由于其所依赖的随机数学理论和方法的支撑,得到广泛而深入的发展。一方面,由于无套利模型强调固定时点上无套利条件的存在,因而在衍生产品定价当中显得尤为重要;另一方面,均衡模型强调对短期利率运动的描述,从而在风险管理领域占有举足轻重的地位。
然而从利率期限结构的预测效能来看,无套利模型主要关注某一时点上无套利条件的存在,而缺乏对利率运动描述和预测方面的描述;均衡模型虽然强调了对利率运动的描述,但其优良表现主要体现在样本内预测方面,而在样本外预测方面表现一般。并且就总体而言,在以往关于利率期限结构模型的研究中,对预测这一实际应用中有着重要作用的方面与模型研究的其它方面相比也显得研究不足,其中曾经针对样本外预测进行重点研究是 Duffee[6] ,但是预测效果并不理想。最近Diebold[7]对这一问题再一次给予关注,并将实践中广为使用的Nelson Siegel[8]模型推广为时变参数模型,其目的在于得到关于利率期限结构样本外预测的更好效果。然而,Diebold 的模型存在如下问题:第一,Diebold关于Nelson Siegel模型的推广是建立在简单地将原有模型中的常数参数变为时变参数,从其采用的估计方法看,实质上是不同时点上Nelson Siegel模型的重复估计。第二,从文中所采用的瞬时远期利率和到期收益率的函数表达式来看,二者之间的关系并不正确;第三,文中为了简化估计程序的复杂性,将参数λt事先确定,这一点限定了模型的预测精度和适用范围,同时笔者认为参数λt的估计所增加的复杂度从算法角度来讲是可以接受的。当然,Diebold基于收益率的模型预测确实得到了较以往模型在长时段上(在样本外1年时点上的预测效果超过了以往的任何模型)更好的预测效果,这也正是本文对此进行深入研究的动力所在。
2 主微分分析模型及其估计方法
将微分方程作为建模对象,不仅体现了函数线性模型的特点,同时也将主成分分析的理念融入其中。这是因为,一个微分方程既能捕捉到函数数据的曲线特征,又能捕捉到它的梯度特征;同时,因为微分方程解的集合是整个函数空间,它也能够为观测值变化过程进行建模,在这种意义上,它又具有主成分分析的理念,即能够找到一个函数子空间去捕捉数据的主要变化特征,这一特点与数据分析理念有着很好的一致性。事实上,数据分析师既希望捕捉到一次观测的重要运动特征,并因此在估计方程的m维子空间中去找到关于数据的最好解释;同时又希望弄清楚多少个函数变化特征能够用于解释一个过程的实现;这就需要将线性建模与方差分解融合到该环境下的一次分析过程中。本文所讨论的主微分分析方法就是通过以微分方程拟合噪音数据,既捕捉到单个曲线的特征,又捕捉到曲线间的变化特征。这一术语首先由Ramsay[9]在1996年提出:
3 主微分分析框架下的时变参数Nelson Siegel模型分析
3.1 时变参数Nelson Siegel模型的微分结构分析
依据Diebold & Li给出的债券价格、瞬时远期利率和到期收益率之间的关系
3.2 主微分分析框架下的参数意义分析
首先从(9)式中瞬时远期利率所满足的微分算子来看,的系数分别为1、2λt和λ2t,它们分别代表函数的凸度、梯度和水平运动特征。而从(11)式c(t)=β1tλ2t的函数曲线(图6)来看,c(t)的值随着边界点的临近而趋近于0;再来考虑β1t的含义,它可以看成长期因子,因而根据λt控制参数的含义,c(t)反映了β1t的绝对波动程度。另一方面,从c(t)的变化趋势来看,应用时变参数Nelson Siegel模型对利率期限结构的预测理论上应该短期优于长期,这与我们在实证分析中的结果是一致的。
此外,从目前关于宏观经济变量对期限结构预测的效能的研究来看,将宏观经济变量作为外生变量的引入对于期限结构的样本外预测是有助益的,那么在Diebold & Li将β1t、β2t和β3t可以看成三个潜因子的同时,我们不妨将参差c(t)看成外生变量作用的结果,从而进一步考察宏观经济变量在样本外预测上的效能。
4 时变参数Nelson Siegel模型的估计结果
这里我们首先采用Diebold & Li中的方法,对2005年1月4日到2007年4月27日的上交所国债瞬时远期利率113只周数据进行相应的实证研究,参数估计结果如图所示。
我们将参数估计数据的范围限定在100周,并分别对其后的1周、2周、5周、和10周进行预测。下表给出了估计误差的描述性统计。
5 总结与讨论
本文在主微分分析框架下对Diebold & Li提出的时变参数期限结构模型进行分析,并在这一机理分析的基础上,针对国内债券市场进行相应的实证研究。然而,与Diebold & Li的实证研究不同的是,我们关于模型参数的估计并不事先给定λt的值,实证结果表明这样做是必要的;而且,我们的模型中所用的是瞬时远期利率而非到期收益率,这就避免了在参数估计过程中的奇异问题。此外,目前基于样本外预测这一视角进行的利率期限结构模型研究仍是相对空白的领域,值得进一步深入探讨。尤其值得说明的是,时变参数Nelson Siegel模型族是Nelson Siegel模型族在参数由常参数到时变参数的进一步推广,这一推广使得该模型从期限结构的静态描述和样本内预测向样本外预测迈出了重要一步,从而对基于内生变量、适合样本外预测的期限结构模型研究提供了必要的启发式思考。当然,研究内生变量和外生变量共同驱动下的期限结构模型将是更有前景的课题。
参 考 文 献:
[1]Vasicek O. An equilibrium characterization of the term structure[J]. Journal of Financial Economics, 1977, 5(2): 177 188.
[2]Cox J C, Ingersoll J E, Ross S A. A theory of the term structure of interest rates[J]. Econometrica, 1985, 53(2): 385407.
[3]Ho T S Y, Lee S B. Term structure movements and pricing interest rate contingent claims[J]. Journal of Finance, 1986, 41(5):1011 1029.
[4]Hull J, White A. One factor interest rate models and the valuation of interest rate derivative securities[J]. Journal of Financial and Quantitative Analysis, 1993, 28(7): 235 254.
[5]Heath D, Jarrow R, Morton A. Bond pricing and the term structure of interest rates: a new methodology for contingent claims valuation[J]. Econometrica, 1992, 60(1): 77 105.
[6]Duffee G. Term premia and interest rate forecasts in affine models[J]. Journal of Finance, 2002, 57(1): 405443.
[7]Diebold F X, Li C. Forecasting the term structure of government bond yields[J]. Journal of Econometrics, 2006, 130: 337 364.
[8]Nelson C R, Siegel A F. Parsimonious modeling of yield curve[J]. Journal of Business, 1987, 60(4): 473489.
[9]Ramsay J O, Silverman. Functional data analysis[M]. New York: Springer Verlag, 1997. 363420.
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”