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【摘要】本文介绍了微专题教学的特点，并以复合函数零点问题的微专题教学设计为例，介绍如何在日常高中数学教学中开展微专题教学。
【关键词】微专题;复合函数
高中数学的教学，不只是简单地知识讲授和方法介绍，更是一个让学生理解数学知识的本质、经历深度学习、提升数学学科核心素养的过程。
1微专题教学的特点
如何在平时教学中开展深度学习？笔者认为微专题教学是一种非常适合且有效的方式。波利亚曾指出：“良好的组织使得所提供的知识容易用上，这甚至可能比知识的广泛更为重要。”微专题教学以切口小、针对性强、探究深为特点，以核心知识点为节点，灵活、巧妙、有效地组织课堂教学。不求“大而全”，但求“微而深”，旨在加深学生对数学本质的领悟，提高学生的数学核心素养。微专题教学一面能提供深度学习所需的大环境，另一面有助于学生形成清晰的知识网络、获得系统的研究方法。
2复合函数零点问题的教学设计
微专题设计架构大致可以分成两类：第一类是以知识为线索，附以能力培养;第二类是以方法为主，附以知识应用和能力培养[2].本课的教学设计属于前者，以复合函数的零点为节点，以概念和性质为载体，渗透转化化归、数形结合等数学思想，通过一系列的问题层层递进、螺旋上升，帮助学生克服对复合函数零点问题的恐惧，培养学生解决此类问题的能力。
2.1创设情境，建构概念
例1：判断下列方程根的个数
设计意图：通过解决这类方程，让学生掌握基本解法：换元法，同时让学生从函数的角度，去归纳判断这类方程根个数问题的策略。
问题1：这类方程可以抽象统一为怎样的形式？
问题2：处理上面方程的基本方法是什么？
问题3：决定复合函数零点个数有哪些因素？
问题4：从函数角度，分析确定复合函数零点个数的基本流程。
设计意图：通过问题1-4构成的问题串引导学生开展深度学习，帮助学生从函数概念的角度来看待换元求解的过程，为学生自主生成解决复合函数零点的方法做铺垫。
2.2深入探究，建构流程
在前面的基础上，师生共同概括判断复合函数y=f（u（x））零点个数的一般步骤即“流程图”：
（1）设t=u（x），将复合函数y=f（u（x））看成由函数y=f（t）和t=u（x）复合而成;
（2）由f（t）=0，得到零点t1，t2，...;
（3）由t1=u（x），t2=u（x），...得到y=f（u（x））的零点情况。
例2：已知函数 求函数的零点个数.
设计意图：此题由学生自主完成，教师巡视。学生会从两个角度去解决，即代数角度和几何角度。代数角度直接用换元法计算得出零点的具体值，而几何角度则是画出两个函数的图象，再根据图象得出零点个数。就着此题而言，几何角度显然优于代数角度，因为运算量前者明显少于后者。师生通过比较，得出上面归纳的“流程图”中的第（2）、（3）步选择从几何角度来处理更合理些，因为有时方程f（t）=0和ti=u（x）（i=1，2，...，k）的根不一定求解得出来。通过例2对上面“流程图”中的第（2）、（3）步中如何零点的策略增加了个几何角度。
2.3迁移训练，深度理解
例3：已知函数f（x）=x2-2|x|，求函数g（x）=f（f（x））+的零点个数。
设计意图：区别于例2，例3中将y=f（u（x））结构变成y=f（u（x））+a的形式。首先要进行转化化归，将求函数g（x）的零点个数转化成求f（f（x））=-的根的个数。令t=f（x），由f（t）=-，根据y=f（t）的图象得到四个根t1，t2，t3，t4，且估算出它们的取值范围。最后根据t=f（x）的图象，由ti=f（x）（i=1，2，3，4）得出最后的结果。通过例3更是强调了第（2）、（3）步中采用几何角度处理的简洁性。
例4：已知函数f（x）=x2-2x，g（x）=若方程g（f（x））-a=0
的实数根的个数有4个，求a的取值范围。
设计意图：例4是例3的逆过程，已知交点个数求a的取值范围。处理策略仍旧类似，画出y=g（t）和t=f（x）两个图象，数形结合进行分析。此题较前面的例题要求更高，促使学生更深入思考和领悟复合函数零点问题的本质，提高学生数学核心素养的培养。
3.“微专题”教学的一点体会
（1）微专题教学有助于加深学生的参与度
微专题切入口小，涉及面不广，课堂知识点集中，而且在教学设计中往往都是从易往难，便于各层次的学生参与学习，让每个学生在课堂都有不同程度的收获和进步，同时激发学生的学习兴趣，增强学生学习的自信心。
（2）微专题教学有助于加深学生的理解度
微专题的特点是以小见大，见微知著。教师设计问题往往是由浅入深，由表及里，富有梯度感和层次感。学生在解决问题过程不知不觉中深化认知，提升数学学科的核心素养，达到举一反三、融会贯通的目的。
（3）微专题教学有助于提升教师的专业素养
微专题教学不仅对学生进行深度学习大有帮助，同时对教师的深度教学也颇有促进。打铁还需自身硬，教师个人或者教师团队常常进行类似的教学设计，有助于提升自身的专业素养能力，提高教学教育水平。
参考文献：
[1]吴永军. 关于深度学习的再認识[J].课程·教材·教法，2019，39（2）：54.
[2]钱建良，曹钢.微专题“含有|x-a|的一类函数问题”的教学设计[J].中学数学月刊，2016（11）：16-18.
[3]曾荣.“微专题”复习：促进深度学习的有效方式[J].教育研究与评论，2016（4）：28-34.
【关键词】微专题;复合函数
高中数学的教学，不只是简单地知识讲授和方法介绍，更是一个让学生理解数学知识的本质、经历深度学习、提升数学学科核心素养的过程。
1微专题教学的特点
如何在平时教学中开展深度学习？笔者认为微专题教学是一种非常适合且有效的方式。波利亚曾指出：“良好的组织使得所提供的知识容易用上，这甚至可能比知识的广泛更为重要。”微专题教学以切口小、针对性强、探究深为特点，以核心知识点为节点，灵活、巧妙、有效地组织课堂教学。不求“大而全”，但求“微而深”，旨在加深学生对数学本质的领悟，提高学生的数学核心素养。微专题教学一面能提供深度学习所需的大环境，另一面有助于学生形成清晰的知识网络、获得系统的研究方法。
2复合函数零点问题的教学设计
微专题设计架构大致可以分成两类：第一类是以知识为线索，附以能力培养;第二类是以方法为主，附以知识应用和能力培养[2].本课的教学设计属于前者，以复合函数的零点为节点，以概念和性质为载体，渗透转化化归、数形结合等数学思想，通过一系列的问题层层递进、螺旋上升，帮助学生克服对复合函数零点问题的恐惧，培养学生解决此类问题的能力。
2.1创设情境，建构概念
例1：判断下列方程根的个数
设计意图：通过解决这类方程，让学生掌握基本解法：换元法，同时让学生从函数的角度，去归纳判断这类方程根个数问题的策略。
问题1：这类方程可以抽象统一为怎样的形式？
问题2：处理上面方程的基本方法是什么？
问题3：决定复合函数零点个数有哪些因素？
问题4：从函数角度，分析确定复合函数零点个数的基本流程。
设计意图：通过问题1-4构成的问题串引导学生开展深度学习，帮助学生从函数概念的角度来看待换元求解的过程，为学生自主生成解决复合函数零点的方法做铺垫。
2.2深入探究，建构流程
在前面的基础上，师生共同概括判断复合函数y=f（u（x））零点个数的一般步骤即“流程图”：
（1）设t=u（x），将复合函数y=f（u（x））看成由函数y=f（t）和t=u（x）复合而成;
（2）由f（t）=0，得到零点t1，t2，...;
（3）由t1=u（x），t2=u（x），...得到y=f（u（x））的零点情况。
例2：已知函数 求函数的零点个数.
设计意图：此题由学生自主完成，教师巡视。学生会从两个角度去解决，即代数角度和几何角度。代数角度直接用换元法计算得出零点的具体值，而几何角度则是画出两个函数的图象，再根据图象得出零点个数。就着此题而言，几何角度显然优于代数角度，因为运算量前者明显少于后者。师生通过比较，得出上面归纳的“流程图”中的第（2）、（3）步选择从几何角度来处理更合理些，因为有时方程f（t）=0和ti=u（x）（i=1，2，...，k）的根不一定求解得出来。通过例2对上面“流程图”中的第（2）、（3）步中如何零点的策略增加了个几何角度。
2.3迁移训练，深度理解
例3：已知函数f（x）=x2-2|x|，求函数g（x）=f（f（x））+的零点个数。
设计意图：区别于例2，例3中将y=f（u（x））结构变成y=f（u（x））+a的形式。首先要进行转化化归，将求函数g（x）的零点个数转化成求f（f（x））=-的根的个数。令t=f（x），由f（t）=-，根据y=f（t）的图象得到四个根t1，t2，t3，t4，且估算出它们的取值范围。最后根据t=f（x）的图象，由ti=f（x）（i=1，2，3，4）得出最后的结果。通过例3更是强调了第（2）、（3）步中采用几何角度处理的简洁性。
例4：已知函数f（x）=x2-2x，g（x）=若方程g（f（x））-a=0
的实数根的个数有4个，求a的取值范围。
设计意图：例4是例3的逆过程，已知交点个数求a的取值范围。处理策略仍旧类似，画出y=g（t）和t=f（x）两个图象，数形结合进行分析。此题较前面的例题要求更高，促使学生更深入思考和领悟复合函数零点问题的本质，提高学生数学核心素养的培养。
3.“微专题”教学的一点体会
（1）微专题教学有助于加深学生的参与度
微专题切入口小，涉及面不广，课堂知识点集中，而且在教学设计中往往都是从易往难，便于各层次的学生参与学习，让每个学生在课堂都有不同程度的收获和进步，同时激发学生的学习兴趣，增强学生学习的自信心。
（2）微专题教学有助于加深学生的理解度
微专题的特点是以小见大，见微知著。教师设计问题往往是由浅入深，由表及里，富有梯度感和层次感。学生在解决问题过程不知不觉中深化认知，提升数学学科的核心素养，达到举一反三、融会贯通的目的。
（3）微专题教学有助于提升教师的专业素养
微专题教学不仅对学生进行深度学习大有帮助，同时对教师的深度教学也颇有促进。打铁还需自身硬，教师个人或者教师团队常常进行类似的教学设计，有助于提升自身的专业素养能力，提高教学教育水平。
参考文献：
[1]吴永军. 关于深度学习的再認识[J].课程·教材·教法，2019，39（2）：54.
[2]钱建良，曹钢.微专题“含有|x-a|的一类函数问题”的教学设计[J].中学数学月刊，2016（11）：16-18.
[3]曾荣.“微专题”复习：促进深度学习的有效方式[J].教育研究与评论，2016（4）：28-34.