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近年来，分数阶微积分在建立物理模型和工程计算中得到广泛应用，由于大多数分数阶微分方程式不存在解析解的，对于分数阶微分方程的求解数值解就显得尤为重要。本文在Caputo分数阶微分定义下，利用切比雪夫多项式给出了求解一类分数阶微分方程的矩阵算子，将求解分数阶微分方程初值问题化为代数方程求解，并将新矩阵算子应用在线性分数阶微分方程中，数值算例说明了本矩阵算子的有效性和可行性。