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摘要：布尔巴基学派的主要思想是用数学结构这一概念来统一划分数学，并用公理化方法演绎整个数学体系，其本质是认为数学理论统一于结构。这是典型的现代性思维范式，也正是后现代主义者所批判的基础主义、本质主义在数学中的具体表现。由于结构主义观点不重视特殊的数学技巧和具体的计算，其理论体系也就难以涉及需要大量特殊证明方法和计算技术的领域，不符合当代数学发展的实际。
关键词：布尔巴基学派；结构主义；后现代主义
中图分类号：N031 文献标识码： A DOI：10.3963／j.issn.1671-6477.2011.04.025
在现代性的思维范式之下，人们认为数学理论应该具有统一、总体的基础，数学的发展也应在这个基础上以公理化的形式展开。从克莱因的《爱尔朗根纲领》到分析的算术化运动，从上世纪初的数学基础运动再到稍后的布尔巴基学派编写的《数学原理》，数学家寻求数学统一基础的努力从来就没有停止过，这也构成了19世纪以来数学工作的主流。其中布尔巴基学派将数学统一于结构的结构主义观点对于20世纪以后的数学发展产生了不可估量的重大的影响，而该学派在随后的逐渐式微乃至销声匿迹也引起了后现代主义者对数学基础主义、本质主义等现代性观点的批判和质疑。
一、布尔巴基学派的结构主义
布尔巴基学派是一个对现代数学有着极大影响的数学家集体。其中大部分是法国数学家，主要的代表人物有嘉当(H.Cartan)、韦伊(A.Weil)、让·迪多涅(J，Dieudonne)、夏尔·埃雷斯曼(c，Ehresmann)等人。从20世纪30年代中期开始，他们先后发表大量文章，并致力于编写多卷集的《数学原理》，主要工作是引进数学结构的概念，并尝试用这个概念来统一划分数学。这里的数学结构是指满足一定条件(公理)的关系集合，其中关系是各种运算的抽象，是构成一个结构的出发点。通过以下程序可以“建造”一个结构：首先通过公理在集合的元素(可以是抽象的元素)间定义一个或几个二元合成运算，然后由这些公理出发推导出相应理论。因为不考虑元素的具体特征，这些结构的理论具有极大的一般性并能演绎出无比丰富的内容。
布尔巴基学派认为，数学研究的基本结构有三种：一种叫做代数结构，由集合以及集合元素之间的一个或几个二元合成运算组成。如实数的加法和乘法在实数集上定义一个域的结构，群、环、体、向量空间等都是代数结构；一种叫做序结构，它是将最为古典的实数大小关系推广到一般集合中，用来表征集合中任意两个元素的一种“次序”关系，如数的大小关系，类的包含关系，都是序结构；还有一种叫拓扑结构，它由集合及其幂集的所有子集构成，这是对邻域、开闭集、极限、连通性这些欧几里得空间所具有的特征的一般化和抽象化的表述。以上所述的三种结构都是现实世界的关系与形式在人们头脑中的反映，由此，布尔巴基学派把数学中所有可能的关系对应于三个结构：代数结构——运算——数量关系；序结构——先后——时间关系；拓扑结构——连续性——空间经验。这些东西被抽象成了数学概念，就脱离了具体内容，可以被用于所有有类似性质的系统中，不再是我们普通意义的时间、空间和连续性了。
这三类结构称为母结构，它们就像神经网络，渗透到各种理论，贯穿全部数学，整个数学大厦就是由各类数学结构所构成。门类万千的数学分支可以统一于一个结构之中，例如，整数集具有加法群结构，有理数集具有乘法群结构，几何学中有许多变换群，线性代数中有矩阵群，分析数学中的许多函数组成连续群等。同时一个数学学科可能由几种结构混合而成，如实数集是由三种结构复合而成：一种是由算术运算定义的代数结构，一种是具有大小关系的顺序结构，另一种是根据极限概念抽象而成的拓扑结构，三种结构是有机结合在一起的。李群是一种特殊的拓扑群，由拓扑结构和群(代数)结构相互结合而成。另外，每一类型结构中又有着不同的层次，数学家可以从具有较少公理的最简单、最一般的结构出发，通过改变其中的一个或几个公理，也可以增加一些新的运算或公理，从而“构造”出各种具有特殊性质的结构。比如在一般群的概念基础上，限定群的元素是有限的，就得到有限群；在群的基本运算中加上满足交换率这一条件就可以形成阿贝尔群或交换群；再将阿贝尔群的元素规定为有限即可得到有限的阿贝尔群。从以上例子我们可以看出，其实布尔巴基学派的方法就是用组成同型性的办法，抽象出最普遍的结构，使各种不同门类的数学成分都能服从于这些最普遍的结构，而不管这些成分来自哪个领域，也不管它们各自有什么样的特殊性质。布尔巴基学派发现，利用这些联系和公理化方法可以从规定的几条公理及其相关的一套演绎推理中提炼出数学结构，如代数结构、拓扑结构、测度结构与序结构，等等。数学的不同分支是由这些不同的结构组成的，而这些结构之间的错综复杂的联系又把所有的分支连成一个有机整体，反映了数学的统一性。
布尔巴基学派认为，整个现代数学都可以用结构这一概念统一起来，由三种基本结构以及由此派生的各种不同类型、不同层次的结构编织成一张庞大的数学之网，形成一个完整而严密的数学总体结构。由此，数学的分类不能再像过去那样划分成代数、数论、几何、分析等部门，而是应该依据结构的相同与否来分类。比如线性代数和初等几何研究的就是同样一种结构，即它们是“同构”的，于是它们便可以一起处理。这样，他们从一开始就打乱了经典数学世界的秩序，以全新的观点来统一整个数学。他们认为，数学，至少纯粹数学，就是研究抽象结构的理论。基于这种划分数学世界的方法，他们将数学划分为集合论、代数、一般拓扑、单实变函数、拓扑向量空间、积分、交换代数、线性拓扑空间、黎曼几何、微分拓扑、调和分析、微分流形等不同的内容。数学因为具有了几大类型的结构理论所提供的强有力的工具，便可以用单一的观点支配更广大的领域，原先处于完全杂乱无章的数学现在已经由公理方法统一起来了。由这种新观点出发，数学结构就构成数学的唯一对象，数学就表现为数学结构的“仓库”。布尔巴基学派把一些理论的基本概念仔细加以解剖，分析其中的内在关联，然后加以整理归纳，再将其划分到相应结构的类中，从而开始了改造传统数学的伟大壮举。
二、对结构主义的质疑与解构
布尔巴基学派“结构”说的本质有二：一是用结构的概念来统摄所有数学；二是用公理化方法演绎整个数学体系。而这两者都是现代主义者一厢情愿的幻想，是无法真正实现的。
布尔巴基学派认为全部数学都应纳入结构的轨道，按结构性质重新分类组合，甚至认为数学的发展只是各种结构的合成和演变。虽然布尔巴基學派利用数学结构来统一整个数学的出发点十分美好，并且也获得了巨大的成功，像函数论、代数学、拓扑学、几何学等数学分支都可以在三种结构 的基础上利用公理化方法得到严格系统的整理。对于有些结构特征不十分明显的分支，也可以通过“接纳变换”统一到已知结构中来。例如把张量微积分改名成多重线性代数，从而创建了独立于消元理论之上的交换代数。但事实上，由于结构主义观点不重视特殊的数学技巧和实际的具体计算，也就难以涉及数论、变分法、计算数学等需要大量特殊证明方法和计算技术的领域。那些与实际关系密切，与古典数学的具体对象有关的学科及分支，也很难利用结构观念一一加以分析，更不用说公理化了。最具讽刺意味的是，本学派重要成员塞缪尔·艾伦伯格(s，Ellenberger)创立的现代数学理论——范畴论，因与“结构”理论相抵触，也没有被容纳。
自上个世纪中叶以来，数学发生了许多重大的变化。其一是数学研究对象的多元化趋势。18世纪的数学专心致力于解决力学和天文学问题，19世纪的数学主要是基于自身问题抽象化的发展，即纯粹数学的发展阶段。而20世纪的数学则是纯粹数学和应用数学共同繁荣的时代，特别是20世纪40年代以来，数学以前所未有的速度向科技、人文甚至人类实践领域扩展和渗透。在这个过程中，形成了生物数学、数理气象学、数学地质学、数理心理学、数学考古学等一连串交叉学科，成为数学发展不同于以往时代的新特征。而像“数论”这样的纯粹数学应用于密码技术、卫星信号传输等前沿领域的例子也频频出现，说明数学应用已经达到相当的深度。其二是由于计算机的影响而使数学研究方法多样化。由计算机证明四色定理机而引发的机器证明、数学实验、不完全归纳法等方法在当代数学中已经占有了一席之地并有逐步扩展的趋势。由于计算机的使用也出现了诸如计算数论、计算几何学等新的数学分支。其三是数学研究领域的非标准化。像模糊数学、突变理论、分形与混沌理论等20世纪以来数学发展过程中出现的重大理论突破都反映出数学研究从基础的、总体的、不变的宏大目标转向对现象的、局部的、相对的、奇异和不连续目标的追求。以往数学研究只关注简单化、线性化、机械化的标准系统，而今像生命系统、生态系统、社会系统和人类思维这样的复杂化、非线性、有机化，无法用经典数学和二值逻辑刻画和描述其演化发展过程的非标准系统也逐渐进入数学研究的视野。当代数学所表现出来的这些新特点、新趋势和新方法都无法用“数学结构”这一概念得到合理的解释和说明，许多难以公理化、结构化的数学分支发展越来越快。当代数学的发展已经从布尔巴基学派所指引的抽象化、结构化、整体化的道路转向具体的、多变的、零散的技术型道路，数学已不再是分门别类、结构清楚、层次分明的传统数学。事实上，布尔巴基学派眼中的数学主要是19世纪的数学，但即便是这样，也不是用结构就可以完全统一了的。
结构主义的要义有二：一是结构，二是公理化方法。结构不是数学的全部，公理化方法也不是万能的。首先，公理化方法主要是证明而不是发现的方法。在数学发展的一定阶段，公理化方法能够将经验的零散的数学知识系统化、条理化、逻辑化，从而达到严格化的目的。同时公理化方法的应用也孕育了像泛函、拓扑、抽象代数、实变等现代数学的核心知识。但理论思维仅仅是一种重要的数学思维，当然不是唯一的一种，如果没有经验或科学思想的启发，没有数学直觉和数学家个人的灵感，数学就不可能发展。其次，公理化方法有其适用范围。康德指出，理性只在处理经验知识时有效，不能用于思维超验的对象，否则就会导致关于事物的“二律背反”。19世纪以来在公理化方法的推动下，分析概念严格化，几何对象普遍化，代数结构一般化，数学已经逐渐脱离了实在且渐行渐远。在此基础上，如果数学家一味地抽象，无限地推理，就会出现许许多多的矛盾和数学怪物，事实上，这也成为现代数学发展的最大困惑。最后，也是最重要的，就连严格化这个最初的目标也是公理化方法可望而不可及的幻想。因为公理系统特别是形式化系统本身有着先天的无法克服的局限性。正如哥德尔所指出的那样，一个形式化的公理系统如果具备了无矛盾性，则在其中就一定存在不可判定的命题，即该系统就不具有完备性。在此基础上，哥德尔还进一步说明，形式系统的相容性在本系统无法得到证明。可见，公理化的演绎系统并不能保证数学知识的严格性和普遍必然性，即便是纯逻辑的要求也达不到。
用结构和公理化方法构建的数学是一个僵化而缺乏生机的系统。布尔巴基学派认为，有了结构，有了公理化方法，可以使数学思维大大简化。也就是说，以前的数学家为了解决一个具体的数学问题，必须根据该问题的具体属性，为自己锻造适合的工具，而这种工具锤炼的好坏，完全取决于数学家个人的天才。而现在只需要判断问题所属的结构类型，而这个结构中就可以提供所有解决这个问题所需要的定理和知识。换句话说，以前是一个方法解决一个问题，现在是一种方法解决一类问题。可以说公理方法把数学工具标准化了，在数学上实现了马赫的“经济思维”原则。数学活动本来是一个个鲜活的数学家的活动，而“结构说”却否定了在数学活动中数学家的创造性，将数学看成是在既定基础上按业已设计好的样式建造起来的标准的建筑物，这种齐一化的标准“生产方式”在一定程度上束縛和限制了数学的发展。后现代主义者认为，数学活动中人的创造性是建立在语言、共同体与历史的基础上的，所有的真理都包含着解释的目的，而这其中就必然包含了个体的意志、共同体的信念和其它主观的因素。人的意志也就是人的自由和创造性活动，是人的内心对时间连续统的直觉，是最原始的直观，不能用我们通常处理空间的方式来把握。换句话说，数学思维是不能用原子方式枚举的，它总是破碎为消逝的部分和生成的部分，是不连续的片断。数学文本是对这种直觉的解释活动，它遵守语言法则的规范，也可以后天地被公理化，但不能被还原为原子点的集合。直觉构造是一个自发的，自由的，真正个人的选择，具有个体性和不可通约性，而且是一个持续的，不断生成的，具有开放性和不确定性的过程，那么也就不可能预设一个既有的终极的、总体的同时也是虚幻的数学基础。社会建构论者大卫·布鲁尔(David，Bloor)以社会学纬度探讨数学，提出在数学知识的形成过程中，不仅是像直觉这样的心理学过程，社会学过程也发挥着重要作用，数学在本质上是一个开放的系统。这些认识在很大程度上是与当前数学发生发展的实际相符的。
当然，后期的布尔巴基学派也认识到了“结构说”的局限性，认为它是对数学的不全面的比拟和解释，数学家的工作不应该被严格限制在结构和公理化的框架内。同时他们也认为，数学家的工作不是机器般的机械重复，直觉在数学研究中也起着重要的作用。但他们所说的直觉不是普通的感性直觉，而是一种特殊的在某种结构框架下的直觉，是对数学符号的直觉，直觉的结果也是某种新的突然发现的结构。可见，在本质上布尔巴基学派并没有冲破结构主义的藩篱，从而这种形式主义(笔者认为，布尔巴基学派的结构主义在本质上是形式主义的“变种”)的最后挣扎也就注定要走向失败。
[参考文献]
[1]吴丹怀，邓玫，数学模式建构方法论[M]，北京：学苑出版社，2005：178，
[2]高隆昌，数学及其认识[M]，北京：高等教育出版社，2001：48-52，
[3]李文林，数学史概论[M]，北京：高等教育出版社，2002：284，
[4]陈志云，程敬荣，布尔巴基学派、结构主义及其对中学数学教育的影响[J]，高等函授学报，2000(3)：4—7，
[5]吕乃基，论后现代科学[J]，自然辩证法研究，2000(7)：26-30，
[6]黄秦安，论数学真理观的后现代转向[J]，自然辩证法研究，2003(5)：69-77，
[7]张俊青，陈旭清，论数学的经验性本质[J]，数学教育学报，2010(1)：67-70，
[8]塔西奇，后现代思想的数学根源[M]，蔡仲，戴建平，译，上海：复旦大学出版社，2005：45-74，
[9]陈群，万小龙，社会建构论视角下的数学哲学——大卫·布鲁尔的数学社会建构论研究[J]，科学技术与辩证法，2009(3)：22-26，
(责任编辑 文格)
关键词：布尔巴基学派；结构主义；后现代主义
中图分类号：N031 文献标识码： A DOI：10.3963／j.issn.1671-6477.2011.04.025
在现代性的思维范式之下，人们认为数学理论应该具有统一、总体的基础，数学的发展也应在这个基础上以公理化的形式展开。从克莱因的《爱尔朗根纲领》到分析的算术化运动，从上世纪初的数学基础运动再到稍后的布尔巴基学派编写的《数学原理》，数学家寻求数学统一基础的努力从来就没有停止过，这也构成了19世纪以来数学工作的主流。其中布尔巴基学派将数学统一于结构的结构主义观点对于20世纪以后的数学发展产生了不可估量的重大的影响，而该学派在随后的逐渐式微乃至销声匿迹也引起了后现代主义者对数学基础主义、本质主义等现代性观点的批判和质疑。
一、布尔巴基学派的结构主义
布尔巴基学派是一个对现代数学有着极大影响的数学家集体。其中大部分是法国数学家，主要的代表人物有嘉当(H.Cartan)、韦伊(A.Weil)、让·迪多涅(J，Dieudonne)、夏尔·埃雷斯曼(c，Ehresmann)等人。从20世纪30年代中期开始，他们先后发表大量文章，并致力于编写多卷集的《数学原理》，主要工作是引进数学结构的概念，并尝试用这个概念来统一划分数学。这里的数学结构是指满足一定条件(公理)的关系集合，其中关系是各种运算的抽象，是构成一个结构的出发点。通过以下程序可以“建造”一个结构：首先通过公理在集合的元素(可以是抽象的元素)间定义一个或几个二元合成运算，然后由这些公理出发推导出相应理论。因为不考虑元素的具体特征，这些结构的理论具有极大的一般性并能演绎出无比丰富的内容。
布尔巴基学派认为，数学研究的基本结构有三种：一种叫做代数结构，由集合以及集合元素之间的一个或几个二元合成运算组成。如实数的加法和乘法在实数集上定义一个域的结构，群、环、体、向量空间等都是代数结构；一种叫做序结构，它是将最为古典的实数大小关系推广到一般集合中，用来表征集合中任意两个元素的一种“次序”关系，如数的大小关系，类的包含关系，都是序结构；还有一种叫拓扑结构，它由集合及其幂集的所有子集构成，这是对邻域、开闭集、极限、连通性这些欧几里得空间所具有的特征的一般化和抽象化的表述。以上所述的三种结构都是现实世界的关系与形式在人们头脑中的反映，由此，布尔巴基学派把数学中所有可能的关系对应于三个结构：代数结构——运算——数量关系；序结构——先后——时间关系；拓扑结构——连续性——空间经验。这些东西被抽象成了数学概念，就脱离了具体内容，可以被用于所有有类似性质的系统中，不再是我们普通意义的时间、空间和连续性了。
这三类结构称为母结构，它们就像神经网络，渗透到各种理论，贯穿全部数学，整个数学大厦就是由各类数学结构所构成。门类万千的数学分支可以统一于一个结构之中，例如，整数集具有加法群结构，有理数集具有乘法群结构，几何学中有许多变换群，线性代数中有矩阵群，分析数学中的许多函数组成连续群等。同时一个数学学科可能由几种结构混合而成，如实数集是由三种结构复合而成：一种是由算术运算定义的代数结构，一种是具有大小关系的顺序结构，另一种是根据极限概念抽象而成的拓扑结构，三种结构是有机结合在一起的。李群是一种特殊的拓扑群，由拓扑结构和群(代数)结构相互结合而成。另外，每一类型结构中又有着不同的层次，数学家可以从具有较少公理的最简单、最一般的结构出发，通过改变其中的一个或几个公理，也可以增加一些新的运算或公理，从而“构造”出各种具有特殊性质的结构。比如在一般群的概念基础上，限定群的元素是有限的，就得到有限群；在群的基本运算中加上满足交换率这一条件就可以形成阿贝尔群或交换群；再将阿贝尔群的元素规定为有限即可得到有限的阿贝尔群。从以上例子我们可以看出，其实布尔巴基学派的方法就是用组成同型性的办法，抽象出最普遍的结构，使各种不同门类的数学成分都能服从于这些最普遍的结构，而不管这些成分来自哪个领域，也不管它们各自有什么样的特殊性质。布尔巴基学派发现，利用这些联系和公理化方法可以从规定的几条公理及其相关的一套演绎推理中提炼出数学结构，如代数结构、拓扑结构、测度结构与序结构，等等。数学的不同分支是由这些不同的结构组成的，而这些结构之间的错综复杂的联系又把所有的分支连成一个有机整体，反映了数学的统一性。
布尔巴基学派认为，整个现代数学都可以用结构这一概念统一起来，由三种基本结构以及由此派生的各种不同类型、不同层次的结构编织成一张庞大的数学之网，形成一个完整而严密的数学总体结构。由此，数学的分类不能再像过去那样划分成代数、数论、几何、分析等部门，而是应该依据结构的相同与否来分类。比如线性代数和初等几何研究的就是同样一种结构，即它们是“同构”的，于是它们便可以一起处理。这样，他们从一开始就打乱了经典数学世界的秩序，以全新的观点来统一整个数学。他们认为，数学，至少纯粹数学，就是研究抽象结构的理论。基于这种划分数学世界的方法，他们将数学划分为集合论、代数、一般拓扑、单实变函数、拓扑向量空间、积分、交换代数、线性拓扑空间、黎曼几何、微分拓扑、调和分析、微分流形等不同的内容。数学因为具有了几大类型的结构理论所提供的强有力的工具，便可以用单一的观点支配更广大的领域，原先处于完全杂乱无章的数学现在已经由公理方法统一起来了。由这种新观点出发，数学结构就构成数学的唯一对象，数学就表现为数学结构的“仓库”。布尔巴基学派把一些理论的基本概念仔细加以解剖，分析其中的内在关联，然后加以整理归纳，再将其划分到相应结构的类中，从而开始了改造传统数学的伟大壮举。
二、对结构主义的质疑与解构
布尔巴基学派“结构”说的本质有二：一是用结构的概念来统摄所有数学；二是用公理化方法演绎整个数学体系。而这两者都是现代主义者一厢情愿的幻想，是无法真正实现的。
布尔巴基学派认为全部数学都应纳入结构的轨道，按结构性质重新分类组合，甚至认为数学的发展只是各种结构的合成和演变。虽然布尔巴基學派利用数学结构来统一整个数学的出发点十分美好，并且也获得了巨大的成功，像函数论、代数学、拓扑学、几何学等数学分支都可以在三种结构 的基础上利用公理化方法得到严格系统的整理。对于有些结构特征不十分明显的分支，也可以通过“接纳变换”统一到已知结构中来。例如把张量微积分改名成多重线性代数，从而创建了独立于消元理论之上的交换代数。但事实上，由于结构主义观点不重视特殊的数学技巧和实际的具体计算，也就难以涉及数论、变分法、计算数学等需要大量特殊证明方法和计算技术的领域。那些与实际关系密切，与古典数学的具体对象有关的学科及分支，也很难利用结构观念一一加以分析，更不用说公理化了。最具讽刺意味的是，本学派重要成员塞缪尔·艾伦伯格(s，Ellenberger)创立的现代数学理论——范畴论，因与“结构”理论相抵触，也没有被容纳。
自上个世纪中叶以来，数学发生了许多重大的变化。其一是数学研究对象的多元化趋势。18世纪的数学专心致力于解决力学和天文学问题，19世纪的数学主要是基于自身问题抽象化的发展，即纯粹数学的发展阶段。而20世纪的数学则是纯粹数学和应用数学共同繁荣的时代，特别是20世纪40年代以来，数学以前所未有的速度向科技、人文甚至人类实践领域扩展和渗透。在这个过程中，形成了生物数学、数理气象学、数学地质学、数理心理学、数学考古学等一连串交叉学科，成为数学发展不同于以往时代的新特征。而像“数论”这样的纯粹数学应用于密码技术、卫星信号传输等前沿领域的例子也频频出现，说明数学应用已经达到相当的深度。其二是由于计算机的影响而使数学研究方法多样化。由计算机证明四色定理机而引发的机器证明、数学实验、不完全归纳法等方法在当代数学中已经占有了一席之地并有逐步扩展的趋势。由于计算机的使用也出现了诸如计算数论、计算几何学等新的数学分支。其三是数学研究领域的非标准化。像模糊数学、突变理论、分形与混沌理论等20世纪以来数学发展过程中出现的重大理论突破都反映出数学研究从基础的、总体的、不变的宏大目标转向对现象的、局部的、相对的、奇异和不连续目标的追求。以往数学研究只关注简单化、线性化、机械化的标准系统，而今像生命系统、生态系统、社会系统和人类思维这样的复杂化、非线性、有机化，无法用经典数学和二值逻辑刻画和描述其演化发展过程的非标准系统也逐渐进入数学研究的视野。当代数学所表现出来的这些新特点、新趋势和新方法都无法用“数学结构”这一概念得到合理的解释和说明，许多难以公理化、结构化的数学分支发展越来越快。当代数学的发展已经从布尔巴基学派所指引的抽象化、结构化、整体化的道路转向具体的、多变的、零散的技术型道路，数学已不再是分门别类、结构清楚、层次分明的传统数学。事实上，布尔巴基学派眼中的数学主要是19世纪的数学，但即便是这样，也不是用结构就可以完全统一了的。
结构主义的要义有二：一是结构，二是公理化方法。结构不是数学的全部，公理化方法也不是万能的。首先，公理化方法主要是证明而不是发现的方法。在数学发展的一定阶段，公理化方法能够将经验的零散的数学知识系统化、条理化、逻辑化，从而达到严格化的目的。同时公理化方法的应用也孕育了像泛函、拓扑、抽象代数、实变等现代数学的核心知识。但理论思维仅仅是一种重要的数学思维，当然不是唯一的一种，如果没有经验或科学思想的启发，没有数学直觉和数学家个人的灵感，数学就不可能发展。其次，公理化方法有其适用范围。康德指出，理性只在处理经验知识时有效，不能用于思维超验的对象，否则就会导致关于事物的“二律背反”。19世纪以来在公理化方法的推动下，分析概念严格化，几何对象普遍化，代数结构一般化，数学已经逐渐脱离了实在且渐行渐远。在此基础上，如果数学家一味地抽象，无限地推理，就会出现许许多多的矛盾和数学怪物，事实上，这也成为现代数学发展的最大困惑。最后，也是最重要的，就连严格化这个最初的目标也是公理化方法可望而不可及的幻想。因为公理系统特别是形式化系统本身有着先天的无法克服的局限性。正如哥德尔所指出的那样，一个形式化的公理系统如果具备了无矛盾性，则在其中就一定存在不可判定的命题，即该系统就不具有完备性。在此基础上，哥德尔还进一步说明，形式系统的相容性在本系统无法得到证明。可见，公理化的演绎系统并不能保证数学知识的严格性和普遍必然性，即便是纯逻辑的要求也达不到。
用结构和公理化方法构建的数学是一个僵化而缺乏生机的系统。布尔巴基学派认为，有了结构，有了公理化方法，可以使数学思维大大简化。也就是说，以前的数学家为了解决一个具体的数学问题，必须根据该问题的具体属性，为自己锻造适合的工具，而这种工具锤炼的好坏，完全取决于数学家个人的天才。而现在只需要判断问题所属的结构类型，而这个结构中就可以提供所有解决这个问题所需要的定理和知识。换句话说，以前是一个方法解决一个问题，现在是一种方法解决一类问题。可以说公理方法把数学工具标准化了，在数学上实现了马赫的“经济思维”原则。数学活动本来是一个个鲜活的数学家的活动，而“结构说”却否定了在数学活动中数学家的创造性，将数学看成是在既定基础上按业已设计好的样式建造起来的标准的建筑物，这种齐一化的标准“生产方式”在一定程度上束縛和限制了数学的发展。后现代主义者认为，数学活动中人的创造性是建立在语言、共同体与历史的基础上的，所有的真理都包含着解释的目的，而这其中就必然包含了个体的意志、共同体的信念和其它主观的因素。人的意志也就是人的自由和创造性活动，是人的内心对时间连续统的直觉，是最原始的直观，不能用我们通常处理空间的方式来把握。换句话说，数学思维是不能用原子方式枚举的，它总是破碎为消逝的部分和生成的部分，是不连续的片断。数学文本是对这种直觉的解释活动，它遵守语言法则的规范，也可以后天地被公理化，但不能被还原为原子点的集合。直觉构造是一个自发的，自由的，真正个人的选择，具有个体性和不可通约性，而且是一个持续的，不断生成的，具有开放性和不确定性的过程，那么也就不可能预设一个既有的终极的、总体的同时也是虚幻的数学基础。社会建构论者大卫·布鲁尔(David，Bloor)以社会学纬度探讨数学，提出在数学知识的形成过程中，不仅是像直觉这样的心理学过程，社会学过程也发挥着重要作用，数学在本质上是一个开放的系统。这些认识在很大程度上是与当前数学发生发展的实际相符的。
当然，后期的布尔巴基学派也认识到了“结构说”的局限性，认为它是对数学的不全面的比拟和解释，数学家的工作不应该被严格限制在结构和公理化的框架内。同时他们也认为，数学家的工作不是机器般的机械重复，直觉在数学研究中也起着重要的作用。但他们所说的直觉不是普通的感性直觉，而是一种特殊的在某种结构框架下的直觉，是对数学符号的直觉，直觉的结果也是某种新的突然发现的结构。可见，在本质上布尔巴基学派并没有冲破结构主义的藩篱，从而这种形式主义(笔者认为，布尔巴基学派的结构主义在本质上是形式主义的“变种”)的最后挣扎也就注定要走向失败。
[参考文献]
[1]吴丹怀，邓玫，数学模式建构方法论[M]，北京：学苑出版社，2005：178，
[2]高隆昌，数学及其认识[M]，北京：高等教育出版社，2001：48-52，
[3]李文林，数学史概论[M]，北京：高等教育出版社，2002：284，
[4]陈志云，程敬荣，布尔巴基学派、结构主义及其对中学数学教育的影响[J]，高等函授学报，2000(3)：4—7，
[5]吕乃基，论后现代科学[J]，自然辩证法研究，2000(7)：26-30，
[6]黄秦安，论数学真理观的后现代转向[J]，自然辩证法研究，2003(5)：69-77，
[7]张俊青，陈旭清，论数学的经验性本质[J]，数学教育学报，2010(1)：67-70，
[8]塔西奇，后现代思想的数学根源[M]，蔡仲，戴建平，译，上海：复旦大学出版社，2005：45-74，
[9]陈群，万小龙，社会建构论视角下的数学哲学——大卫·布鲁尔的数学社会建构论研究[J]，科学技术与辩证法，2009(3)：22-26，
(责任编辑 文格)