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【摘要】几何直观是2011版义务教育数学课程标准提出的十个核心概念之一。小学生的思维特点决定了他们在理解抽象概念、进行逻辑思维时，需要借助几何直观。本文针对调查研究发现的问题，从教学的角度提出了培养小学生几何直观能力的策略：第一建立数与形的联系；第二借助图形描述问题；第三利用图形揭示数量关系，感悟数学思想。
【关键词】几何直观 图形
【中图分类号】G623.5 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2016）03-0137-02
TIMSS 2007四年级数学测试中的一道题目引起了我的兴趣。在对小学四年级近100名学生进行测试后，发现这道题的正确率明显低于相同考点的其他类型题目（题目如下）。
使用下面的信息，在地图上加上公园、图书馆和学校。
（1）公园离湖200米，这样人们就可以钓鱼和游泳了。在地图上用“×”标记你设计的公园的位置，并在“×”下面标记“公园”。
（2）图书馆离市政厅至少300米但又不能超过400米。在地图上用“×”标记你设计的图书馆的位置，并在“×”下面标记“图书馆”。
（3）学校要在公园和图书馆中间。在地图上用“×”标记你设计的学校的位置，并在“×”下面标记“学校”。
（注：学校、公园、图书馆不必在一条直线上。）
按照传统的观点，这道题目正确率低会被归结为：阅读能力差不理解题目的意思或者开放性题目的解题技巧欠缺。这道题目主要考查学生对“距离和位置”相关知识的理解以及在实际中的应用。学生完成这道题目至少需要经历以下几个过程：首先学生要能够理解题目中“公园离湖200米”、“图书馆离市政厅至少300米但又不能超过400米”以及“学校要在公园和图书馆中间”的意思，清楚“图上1cm表示100m”的含义。其次要能够根据这些信息提取相关的知识，最后再利用这些知识解决问题。这些与2011版课标中提出的核心词几何直观不谋而合。
一、搭建抽象与具象的桥梁
对题目中已知数据的直观感知是解题的基础。如何建立起数与形的联系，这是概念教学时首先要考虑的问题。当学生把数的认识与图形建立起了联系的时候，他们的认识就不再孤立，而是连结在一起的。以认数的教学为例，这样的联系就无处不在（如图1）。通过丰富的表象来加强学生对数的认识和理解。不仅在认数的时候借助小棒、计数器、图形等建立数与形的联系，甚至在计算的教学中也可以看到。例如加法運算的意义、减法运算的意义，分数加法运算方法以及分数乘法运算方法都可以借助图形来进行表征（如图2）。
当我们把数与形建立起了联系之后，复杂的问题瞬间变得直观明了。乘法分配率用图3的方式表示出来之后，他就变成了计算小正方形个数的两种不同的计算方法。三角形的分类用图4来表示显得一目了然，学生对三角形的分类也有了更加直观的认识。其实，这样的例子在概念教学中随处可见。在TIMSS测试中也经常出现类似的题目（如图5）。由此可见，建立数与形的联系，丰富学生对知识的直观感知是几何直观能力培养的有效途径。加强数学概念几何意义的阐释，有利于学生形成概念表象，促进对数学知识的理解和记忆，积累表象构建的经验同时也为问题解决过程中的表象迁移提供了潜在的可能。
二、做一场数形转换的游戏
题目中隐藏的“图上1cm表示100m”是解题的关键。这正与上面提到的数的多样表征方式相联系。100既可以用计数器百位上的一颗算珠来表示，也可以是1大捆小棒，或者100个（10×10）小正方体组成的长方体，当然也可以是题中的1cm的线段。只有学生积累了丰富的数的直观感知，才有可能做到直观洞察并借助图形来描述问题。“公园离湖200米”可以用2cm的线段来表示公园与湖之间的距离，“图书馆离市政厅至少300米但又不能超过400米”就可以用比3cm长比4cm短的线段来表示。借助图形来描述问题是我们解决问题的第一步。如果说这里借助图形来描述问题的作用还不太明显的话，我们尝试再举下面两个例子来进行说明。
苏教版五年级上册解决问题策略的例题2，题目如下：南山中心小学举行小学生足球赛，有4支球队参加，分别是红队、黄队、绿队和蓝队。如果每两支球队比赛一场，一共要比赛多少场？这道题目我们如果把文字转译为图形，答案就会呼之欲出。我们用点表示4支足球队，用线表示两支球队进行一场比赛，然后每两个点用一条线连起来，一共要比赛6场就跃然图上了（如图6）。人教版六年级上册的数学广角，题目如下：小林、小强、小芳、小兵和小刚5人进行象棋比赛，每2人之间都要下一盘。小林已经下了4盘，小强下了3盘，小芳下了2盘，小兵下了1盘。请问：小刚一共下了几盘？分别和谁下的？这道题目的信息比较多，借助图形来描述一下题目（如图7）“小刚一共下了几盘？分别和谁下的？”答案一目了然。借助几何图形描述数学问题，能加强学生对问题情境信息及其关系的理解，帮助学生从整体上把握问题，提示问题的转化方法从而获得正确的解题思路。
三、走进数学模型的宫殿
“学校要在公园和图书馆中间”，解决这个问题需要借助图形来描述位置关系。因为“学校、公园、图书馆不必在一条直线上”，所以这种关系是灵活多样的。借助恰当的图形、直观的模型，思维更容易向更高级、更抽象的形式转换。只有具备把抽象的数学问题转化成可借用的几何直观问题，学生才有可能展开想象和创造性的探求活动，使学生能够创造性的解决问题。
例如，苏教版教材五年级下册《解决问题的策略》单元的例2：“计算1/2+1/4+1/8+1/16”和练习十九第7题：“有16支足球队参加比赛，比赛以单场淘汰制进行。一共要进行多少场比赛后才能产生冠军？”看起来并没有什么直接的联系，而实际上它们是可以用相同的几何模型来表达的。
根据例2中算式的特点，可以用一个正方形表示“1”，在正方形中可以分别表示出 1/2、1/4、1/8和1/16（如图8），容易看出，求“1/2+1/4+1/8+1/16”的和可以直接用“1-1/16”来计算。而且足球比赛问题中比赛是以单场淘汰制进行的，每一轮比赛要淘汰掉 1/2 的球队，如果用一个正方形来表示参加比赛的 16 支球队，再分别表示出每轮比赛淘汰掉的球队，直至剩下 1 支球队（如图 9），进而得到，求一共要进行多少场比赛可以用 16-1 来计算。这两个问题如果没有图形直观，学生很难体会到它们之间的联系的。可见，几何直观在提示解题思路、激发学生创新意识等方面，都有着十分重要的作用。
四、结语
数学学科的高度抽象性成为阻碍学生数学思维发展的樊篱，几何直观思维能力的培养是突破这道难关的利剑。通过对学生识图和画题能力的培养，借助几何直观联想找到数学概念、结论背后的具体形象或模型，使学生对数学问题的理解变得简单，从而提高学生探索、分析、思考、解决数学问题的能力。
参考文献：
[1]鲍建生.追求卓越——从 TIMSS 看影响学生数学成就的因素[M].上海教育出版社，2003，1-38.
[2]江苏省中小学教学研究室.义务教育教科书数学五年级（上册）（下册）[M].南京：江苏教育出版社，2014.
[3]曹培英.“数学课程标准”核心词的实践解读之四——几何直观（下）[J].小学数学教师，2013，（7、8）：12-18.
[4]吴正宪.吴正宪给小学数学教师的建议[M].华东师范大学出版社，2012，166-175.
【关键词】几何直观 图形
【中图分类号】G623.5 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2016）03-0137-02
TIMSS 2007四年级数学测试中的一道题目引起了我的兴趣。在对小学四年级近100名学生进行测试后，发现这道题的正确率明显低于相同考点的其他类型题目（题目如下）。
使用下面的信息，在地图上加上公园、图书馆和学校。
（1）公园离湖200米，这样人们就可以钓鱼和游泳了。在地图上用“×”标记你设计的公园的位置，并在“×”下面标记“公园”。
（2）图书馆离市政厅至少300米但又不能超过400米。在地图上用“×”标记你设计的图书馆的位置，并在“×”下面标记“图书馆”。
（3）学校要在公园和图书馆中间。在地图上用“×”标记你设计的学校的位置，并在“×”下面标记“学校”。
（注：学校、公园、图书馆不必在一条直线上。）
按照传统的观点，这道题目正确率低会被归结为：阅读能力差不理解题目的意思或者开放性题目的解题技巧欠缺。这道题目主要考查学生对“距离和位置”相关知识的理解以及在实际中的应用。学生完成这道题目至少需要经历以下几个过程：首先学生要能够理解题目中“公园离湖200米”、“图书馆离市政厅至少300米但又不能超过400米”以及“学校要在公园和图书馆中间”的意思，清楚“图上1cm表示100m”的含义。其次要能够根据这些信息提取相关的知识，最后再利用这些知识解决问题。这些与2011版课标中提出的核心词几何直观不谋而合。
一、搭建抽象与具象的桥梁
对题目中已知数据的直观感知是解题的基础。如何建立起数与形的联系，这是概念教学时首先要考虑的问题。当学生把数的认识与图形建立起了联系的时候，他们的认识就不再孤立，而是连结在一起的。以认数的教学为例，这样的联系就无处不在（如图1）。通过丰富的表象来加强学生对数的认识和理解。不仅在认数的时候借助小棒、计数器、图形等建立数与形的联系，甚至在计算的教学中也可以看到。例如加法運算的意义、减法运算的意义，分数加法运算方法以及分数乘法运算方法都可以借助图形来进行表征（如图2）。
当我们把数与形建立起了联系之后，复杂的问题瞬间变得直观明了。乘法分配率用图3的方式表示出来之后，他就变成了计算小正方形个数的两种不同的计算方法。三角形的分类用图4来表示显得一目了然，学生对三角形的分类也有了更加直观的认识。其实，这样的例子在概念教学中随处可见。在TIMSS测试中也经常出现类似的题目（如图5）。由此可见，建立数与形的联系，丰富学生对知识的直观感知是几何直观能力培养的有效途径。加强数学概念几何意义的阐释，有利于学生形成概念表象，促进对数学知识的理解和记忆，积累表象构建的经验同时也为问题解决过程中的表象迁移提供了潜在的可能。
二、做一场数形转换的游戏
题目中隐藏的“图上1cm表示100m”是解题的关键。这正与上面提到的数的多样表征方式相联系。100既可以用计数器百位上的一颗算珠来表示，也可以是1大捆小棒，或者100个（10×10）小正方体组成的长方体，当然也可以是题中的1cm的线段。只有学生积累了丰富的数的直观感知，才有可能做到直观洞察并借助图形来描述问题。“公园离湖200米”可以用2cm的线段来表示公园与湖之间的距离，“图书馆离市政厅至少300米但又不能超过400米”就可以用比3cm长比4cm短的线段来表示。借助图形来描述问题是我们解决问题的第一步。如果说这里借助图形来描述问题的作用还不太明显的话，我们尝试再举下面两个例子来进行说明。
苏教版五年级上册解决问题策略的例题2，题目如下：南山中心小学举行小学生足球赛，有4支球队参加，分别是红队、黄队、绿队和蓝队。如果每两支球队比赛一场，一共要比赛多少场？这道题目我们如果把文字转译为图形，答案就会呼之欲出。我们用点表示4支足球队，用线表示两支球队进行一场比赛，然后每两个点用一条线连起来，一共要比赛6场就跃然图上了（如图6）。人教版六年级上册的数学广角，题目如下：小林、小强、小芳、小兵和小刚5人进行象棋比赛，每2人之间都要下一盘。小林已经下了4盘，小强下了3盘，小芳下了2盘，小兵下了1盘。请问：小刚一共下了几盘？分别和谁下的？这道题目的信息比较多，借助图形来描述一下题目（如图7）“小刚一共下了几盘？分别和谁下的？”答案一目了然。借助几何图形描述数学问题，能加强学生对问题情境信息及其关系的理解，帮助学生从整体上把握问题，提示问题的转化方法从而获得正确的解题思路。
三、走进数学模型的宫殿
“学校要在公园和图书馆中间”，解决这个问题需要借助图形来描述位置关系。因为“学校、公园、图书馆不必在一条直线上”，所以这种关系是灵活多样的。借助恰当的图形、直观的模型，思维更容易向更高级、更抽象的形式转换。只有具备把抽象的数学问题转化成可借用的几何直观问题，学生才有可能展开想象和创造性的探求活动，使学生能够创造性的解决问题。
例如，苏教版教材五年级下册《解决问题的策略》单元的例2：“计算1/2+1/4+1/8+1/16”和练习十九第7题：“有16支足球队参加比赛，比赛以单场淘汰制进行。一共要进行多少场比赛后才能产生冠军？”看起来并没有什么直接的联系，而实际上它们是可以用相同的几何模型来表达的。
根据例2中算式的特点，可以用一个正方形表示“1”，在正方形中可以分别表示出 1/2、1/4、1/8和1/16（如图8），容易看出，求“1/2+1/4+1/8+1/16”的和可以直接用“1-1/16”来计算。而且足球比赛问题中比赛是以单场淘汰制进行的，每一轮比赛要淘汰掉 1/2 的球队，如果用一个正方形来表示参加比赛的 16 支球队，再分别表示出每轮比赛淘汰掉的球队，直至剩下 1 支球队（如图 9），进而得到，求一共要进行多少场比赛可以用 16-1 来计算。这两个问题如果没有图形直观，学生很难体会到它们之间的联系的。可见，几何直观在提示解题思路、激发学生创新意识等方面，都有着十分重要的作用。
四、结语
数学学科的高度抽象性成为阻碍学生数学思维发展的樊篱，几何直观思维能力的培养是突破这道难关的利剑。通过对学生识图和画题能力的培养，借助几何直观联想找到数学概念、结论背后的具体形象或模型，使学生对数学问题的理解变得简单，从而提高学生探索、分析、思考、解决数学问题的能力。
参考文献：
[1]鲍建生.追求卓越——从 TIMSS 看影响学生数学成就的因素[M].上海教育出版社，2003，1-38.
[2]江苏省中小学教学研究室.义务教育教科书数学五年级（上册）（下册）[M].南京：江苏教育出版社，2014.
[3]曹培英.“数学课程标准”核心词的实践解读之四——几何直观（下）[J].小学数学教师，2013，（7、8）：12-18.
[4]吴正宪.吴正宪给小学数学教师的建议[M].华东师范大学出版社，2012，166-175.