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【摘 要】[HT5K]认知负荷理论是基于人类认知结构与外界信息结构交换作用而决定教学设计的理论，包括内在认知负荷、外在认知负荷和有效认知负荷。“不等式的性质3”历来是“不等式的性质”教学的难点，以“加法、平均分”促进对不等式的性质3中乘法、除法的理解，基于认知负荷理论，以“减负增效”为基本原则，优化“不等式的性质”教学设计。
【关键词】[HT5K]认知负荷理论；不等式的性质3；教学设计
一、认知负荷理论
认知负荷理论由澳大利亚教育心理学家斯威勒于20世纪80年代提出，是基于人类认知结构与外界信息结构交换作用而决定教学设计的理论。它包括内在认知负荷、外在认知负荷和有效认知负荷。
1内在认知负荷
所谓内在认知负荷是指学习材料本身对学习者提出的认知要求。学习材料本身包含的信息元素（如概念、规则的基本成分）的数量越多、元素间交互性越强，内在认知负荷就越高，因此内在认知负荷反映了学习材料的复杂性与难度[1]。它既与学习材料有关，也与学习者原有的学习经验、认知情况有关。另外，对学习材料的学习要求很大程度上影响着学生的内在认知负荷，譬如函数概念的学习，初中阶段要求学生理解一个变量对另一个变量的依赖关系，高中阶段要求学生从集合间的对应角度来理解函数概念。显然，这两者的认知负荷不同。一般而言，对学习材料的学习要求较固定。因此，教学设计可充分考虑学生原有的认知情况，在保证数学知识科学性的前提下降低知识结构难度，从而降低学习者的内在认知负荷。譬如在初中“不等式的性质2”的验证中，将 a乘以c表述为c个a相加 ，这既保留了知识的科学性，又降低了知识结构难度，进而降低了内在认知负荷。
2外在认知负荷
外在认知负荷指学习材料的组织和呈现方式所带来的额外认知要求。由于学习材料的不同组织、呈现方式带来的外在认知负荷不同，教学设计显得尤为重要。外在认知负荷好比误差，存在且无法消除，但可以通过一定的方法降低。一个好的教学设计应明确教学重难点，选择合适的教学方法突出重点，突破难点，最大限度地降低外在认知负荷。譬如教师在教学中采用类比学习的方式组织活动，用以前学过的学习材料来促进学生对新材料的理解与认识，在教学设计中应尽量避免有高外在认知负荷的教学活动。譬如教师在导入课中播放过长的视频或背景音乐，其中无关的信息极易分散学生的注意力，占用一定的工作记忆空间，从而给学生带来额外的认知负荷。
3有效认知负荷
有效认知负荷是指学习者在学习过程中为促进图式形成、知识结构化所投入的心理努力[1]。譬如学生在听课时记笔记，虽然这不是学习过程中必需的，但有助于学生对学习材料的学习[2]。再比如默读，也不是学习过程必需的，但投入后往往能加深学生对学习材料的理解。好的教学设计能增加学生的有效认知负荷。教学设计中恰当的活动，简洁而有效的教师引导语等都有助于学生对新知识的理解，以及对新旧知识联系的认识，使知识系统化、结构化。
工作记忆是制约人类认知有限性的瓶颈，主要原因有二，一是容量有限，二是保持的时间和持续加工的时间有限[3]58。工作记忆容量有限，而三种负荷具有可加性，因此三种负荷总量必须在工作记忆容量范围内[1]。有效教学设计的基本原则是“减负增效”，即尽量降低内外在认知负荷，增加有效认知负荷，促进有意义的学习与建构，从而提高教学效率[3]99。
二、课例基本背景及性质3的认知负荷分析
1课例基本背景
“不等式的性质”是人教版《义务教育课程标准实验教科书·数学》七年级下册第九章“不等式与不等式组”的重点内容，是不等式及其解集的后续内容，也是进一步学习一元一次不等式（组）以及与不等式有关问题的基础和依据。本节课教学重点是不等式的三条基本性质，难点是性质3的证明。
2性质3的内在认知负荷及教材设计所产生的外在认知负荷分析
性质3中的基本元素为字母 a、b、c。a>b表明a、b之间有不等关系。c<0，即c 为负数。初一学生抽象逻辑思维开始发展，但还要依赖一定的感性材料，对于较好地理解负数概念所需要的抽象思维还比较欠缺，对负数意义的理解也有限。例如宋素嵐通过对测试卷的统计和个别学生的访谈，在其硕士论文中指出，在七年级学生中，近三分之一的学生不能正确理解负数的概念，认为“带负号的数就是负数”，约25[WTXT]% 的学生混淆正数、负数的有序性，在比较负数大小时又运用了正数比较大小的法则[4]。
之间又有实数大小的比较关系。元素间的交互作用强，信息结构较复杂，内在认知负荷就较高。
性质3和性质2在条件形式和结论形式上均较相似，本质却不一样，因此学生学习时容易发生负迁移。教材中性质3的呈现紧接性质2，且性质2和性质3所用的字母一致，表现在性质2中的 c为正数，而性质3中的c 为负数。相同的字母，不同的含义，会占用学生一定的工作记忆空间，造成额外认知负荷。
三、教学过程
1新课导入
首先，教师指出对于简单的不等式，可以直接得出它们的解集，比如 x+3>6。但对于复杂的不等式，比如〖SX（〗5x+1〖〗6〖SX）〗-2>〖SX（〗x-5〖〗4〖SX）〗 则不行。然后，学生讨论怎样解不等式。最后，学生类比解方程需要依据的等式性质，并提出解不等式需要依据的不等式性质。
【设计意图】教师用简洁的语言和例子陈述事实导入新课，以尽可能少的认知负荷，引起学生的认知冲突，进而感知学习的必要性。
2性质探索
教师引导学生回顾等式的基本性质，给出例子，让学生用“>”或“<”填空，并总结其中的规律。
学生类比等式性质提出以下猜想：（教师提示学生用文字语言和符号语言两种方式表达）
文字语言：
① 当不等式两边加或减同一个数（正数或负数）时，不等号的方向不变； ② 当不等式两边同乘以或除以一个正数时，不等号的方向不变；
③ 当不等式两边同乘以或除以一个负数时，不等号的方向改变。
符号语言：
【设计意图】学生在解题活动中，经历观察、分析、归纳等过程，最终类比等式性质，推测不等式的性质。教师提供具体实例，并用熟悉的学习材料来促进学生对新材料的学习，充分考虑学生已有的知识经验，降低不等式性质的发现难度，降低内外在认知负荷。
3性质验证
性质1： 若a>b，则a±c>b±c 。
不等式两边同时加（或减）同一个数，转化为数轴上两点向右移（或向左移）相同的距离后，点的相对位置关系不变[5]。因为 a>b，所以点a在点b的右边，如图1所示；向右移c个单位距离后，点的相对位置依然不变，即 a+c>b+c，如图2所示。同理可演示a-c>b-c。
教师指出乘法的定义是求几个相同加数的和的简便运算，a乘以c可表述为c个a相加，即ac=a+a+…+a；同理，b乘以c可表述为c个b相加，即bc=b+b+…+b。此时，学生就很容易得出：因为a>b，所以ac>bc。
教师提示除法的本质是平均分，把a平均分成c等分，每一份即为 a c ；把b平均分成c等分，每一份即为 b c 。凭借生活经验，学生就很容易得出：因为a>b，所以 a c > b c 。
性质3：若a>b，c<0，则ac 同性质2，又因为c<0，所以ac=-a c ，可表述为 c 个a相加的相反数，bc可表述为 c 个b相加的相反数，即ac=-[DK]（a+a+…+a），bc=-[DK]（b+b+…+b）。因为a>b，所以a c >b c ，因此a c 的相反数小于b c 的相反数，即ac 同性质2，又因为c<0，所以 a c =- a c 。把a平均分成 c 等分，每一份的相反数即为 a c ；把b平均分成 c 等分，每一份的相反数即为 b c ， 因此 a c < b c 。
教师归纳总结：一般地，不等式有以下性质。
性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变。
若a>b，则a±c>b±c。
性质2：不等式两边乘以（或除以）一个正数，不等号的方向不变。
若a>b，c>0，则ac>bc[XC括1.TIF，JZ]或 a c > b c
性质3：不等式两边乘以（或除以）一个负数，不等号的方向改变。
若a>b，c<0，则ac 【设计意图】不等式的性质必须经过验证后才能应用于解不等式。这是从学生的认知特点进行考虑，要知其然，更要知其所以然，才能对知识有更好的理解与应用。性质1中加或减同一个数，通过数轴上的点向右移或左移后的位置来表达，直观形象，学生易于理解与接受。乘法的定义是求几个相同加数的和的简便运算，学生在小学时已学过。性质2 将a乘以c表述为c个a相加，将 a c 表述为把a平均分成c等分，每一份即为 a c 。 这样就使学生对一个数乘以（或除以）一个正数有了直观的理解，既有效降低了学习材料的结构难度，降低了内、外在认知负荷，又加深了学生对乘法、除法的理解，有助于促进学生进行有意义的学习与建构。性质3有较高的内在认知负荷，通过前文的分析我们可知主要有两点原因，一是包含有负数这一信息，二是元素间的交互作用强。数学来源于生活，负数也来源于生活，但学生对负数的接触与了解很有限。教师将负数转化为其绝对值的相反数，以绝对值来促进学生对负数的理解，从而降低了性质3的内在认知负荷。乘法是求几个相同加数的和的简便运算，抽象程度比加法高一级。学生几乎从接触数学开始便接触了加法，因此其对加法的理解有丰富的数学经验、生活经验作为基础。在性质3的验证过程中，教师将 a乘以c表述为 c 个a相加，在考虑学生已有的学习生活经验的基础上降解了元素间的交互作用，从而进一步降低了内在认知负荷（将除法转化为平均分，同理）。在性质2的验证中，因为c>0，将ac表述为c个a相加，即ac=a+a+…+a。在性质3的验证中，因为c<0，将ac转化为-a c ，表述为 c 个a相加的相反数，即ac=-[DK]（a+a+…+a）。采用这样的方法来验证性质2和性质3，对比强烈，区分度大，有效降低了两者学习之间的负迁移，从而降低了外在认知负荷。
4性质应用
问题1可以让学生填空，问题2可以作为教师的例题讲解，问题3可以让学生解答，并在数轴上表示不等式的解集。
【设计意图】设置习题是为了应用不等式的性质解不等式，也是为了加深学生对不等式的性质的理解。问题1较简单，是不等式性質的直接应用；问题2难度稍增，需去分母、移项、合并同类项、系数化为1等步骤；问题3是导课中提到的复杂不等式，需经历解不等式的所有步骤。问题的设置由浅到深，符合学生的认知规律。在数轴上表示解集，使数形结合，可以加深学生对解集的理解。另外，问题3是对导课环节的呼应，能让学生感知学习的作用，从而增加数学学习的兴趣。
四、小结反思
不等式模型是刻画现实世界不等关系的有效模型，“不等式的性质”是解不等式的依据，也是进一步学习一元一次不等式（组）的基础。在传统教学中，教师大多将“不等式的性质”的学习重点放在了解不等式上，而对解不等式的依据——不等式的性质教学不够重视，一般要求学生死记硬背。究其原因，一是功利心态，二是基于学生现有的知识水平，教师难以对不等式的性质进行恰当表征，使之直观形象，使学生易于理解与接受。教师以“加法”“平均分”促进学生对性质2和性质3中乘法、除法的理解，将性质2和性质3中的内容进行了较为直观形象的表述，在性[KG（0.15mm]质3中 将ac表述为 c 个a 相加的相反数，
具体化了一个数与一个负数相乘的意义。在性质2和性质3的解读中，教师采用的是言语表征，若能找到一种直观形象的视觉化表征，那么这对不等式性质的教学也许会有更大的帮助。
参考文献：
[1]唐剑岚，周莹.认知负荷理论及其研究的进展与思考[J].广西师范大学学报（哲学社会科学版），2008（2）：75-83.
[2]庞维国.认知负荷理论及其教学涵义[J].当代教育科学，2011（12）：23-28.
[3]唐剑岚.数学多元表征学习及教学[M].南京：南京师范大学出版社，2009.
[4]宋素岚.七年级学生关于负数知识理解的研究[D].石家庄：河北师范大学，2015.
[5]杨烨.支持学习视角下，活力数学课堂的方法探析：以“不等式的性质”教学为例[J].数学学习与研究，2016（18）：130.
【关键词】[HT5K]认知负荷理论；不等式的性质3；教学设计
一、认知负荷理论
认知负荷理论由澳大利亚教育心理学家斯威勒于20世纪80年代提出，是基于人类认知结构与外界信息结构交换作用而决定教学设计的理论。它包括内在认知负荷、外在认知负荷和有效认知负荷。
1内在认知负荷
所谓内在认知负荷是指学习材料本身对学习者提出的认知要求。学习材料本身包含的信息元素（如概念、规则的基本成分）的数量越多、元素间交互性越强，内在认知负荷就越高，因此内在认知负荷反映了学习材料的复杂性与难度[1]。它既与学习材料有关，也与学习者原有的学习经验、认知情况有关。另外，对学习材料的学习要求很大程度上影响着学生的内在认知负荷，譬如函数概念的学习，初中阶段要求学生理解一个变量对另一个变量的依赖关系，高中阶段要求学生从集合间的对应角度来理解函数概念。显然，这两者的认知负荷不同。一般而言，对学习材料的学习要求较固定。因此，教学设计可充分考虑学生原有的认知情况，在保证数学知识科学性的前提下降低知识结构难度，从而降低学习者的内在认知负荷。譬如在初中“不等式的性质2”的验证中，将 a乘以c表述为c个a相加 ，这既保留了知识的科学性，又降低了知识结构难度，进而降低了内在认知负荷。
2外在认知负荷
外在认知负荷指学习材料的组织和呈现方式所带来的额外认知要求。由于学习材料的不同组织、呈现方式带来的外在认知负荷不同，教学设计显得尤为重要。外在认知负荷好比误差，存在且无法消除，但可以通过一定的方法降低。一个好的教学设计应明确教学重难点，选择合适的教学方法突出重点，突破难点，最大限度地降低外在认知负荷。譬如教师在教学中采用类比学习的方式组织活动，用以前学过的学习材料来促进学生对新材料的理解与认识，在教学设计中应尽量避免有高外在认知负荷的教学活动。譬如教师在导入课中播放过长的视频或背景音乐，其中无关的信息极易分散学生的注意力，占用一定的工作记忆空间，从而给学生带来额外的认知负荷。
3有效认知负荷
有效认知负荷是指学习者在学习过程中为促进图式形成、知识结构化所投入的心理努力[1]。譬如学生在听课时记笔记，虽然这不是学习过程中必需的，但有助于学生对学习材料的学习[2]。再比如默读，也不是学习过程必需的，但投入后往往能加深学生对学习材料的理解。好的教学设计能增加学生的有效认知负荷。教学设计中恰当的活动，简洁而有效的教师引导语等都有助于学生对新知识的理解，以及对新旧知识联系的认识，使知识系统化、结构化。
工作记忆是制约人类认知有限性的瓶颈，主要原因有二，一是容量有限，二是保持的时间和持续加工的时间有限[3]58。工作记忆容量有限，而三种负荷具有可加性，因此三种负荷总量必须在工作记忆容量范围内[1]。有效教学设计的基本原则是“减负增效”，即尽量降低内外在认知负荷，增加有效认知负荷，促进有意义的学习与建构，从而提高教学效率[3]99。
二、课例基本背景及性质3的认知负荷分析
1课例基本背景
“不等式的性质”是人教版《义务教育课程标准实验教科书·数学》七年级下册第九章“不等式与不等式组”的重点内容，是不等式及其解集的后续内容，也是进一步学习一元一次不等式（组）以及与不等式有关问题的基础和依据。本节课教学重点是不等式的三条基本性质，难点是性质3的证明。
2性质3的内在认知负荷及教材设计所产生的外在认知负荷分析
性质3中的基本元素为字母 a、b、c。a>b表明a、b之间有不等关系。c<0，即c 为负数。初一学生抽象逻辑思维开始发展，但还要依赖一定的感性材料，对于较好地理解负数概念所需要的抽象思维还比较欠缺，对负数意义的理解也有限。例如宋素嵐通过对测试卷的统计和个别学生的访谈，在其硕士论文中指出，在七年级学生中，近三分之一的学生不能正确理解负数的概念，认为“带负号的数就是负数”，约25[WTXT]% 的学生混淆正数、负数的有序性，在比较负数大小时又运用了正数比较大小的法则[4]。
之间又有实数大小的比较关系。元素间的交互作用强，信息结构较复杂，内在认知负荷就较高。
性质3和性质2在条件形式和结论形式上均较相似，本质却不一样，因此学生学习时容易发生负迁移。教材中性质3的呈现紧接性质2，且性质2和性质3所用的字母一致，表现在性质2中的 c为正数，而性质3中的c 为负数。相同的字母，不同的含义，会占用学生一定的工作记忆空间，造成额外认知负荷。
三、教学过程
1新课导入
首先，教师指出对于简单的不等式，可以直接得出它们的解集，比如 x+3>6。但对于复杂的不等式，比如〖SX（〗5x+1〖〗6〖SX）〗-2>〖SX（〗x-5〖〗4〖SX）〗 则不行。然后，学生讨论怎样解不等式。最后，学生类比解方程需要依据的等式性质，并提出解不等式需要依据的不等式性质。
【设计意图】教师用简洁的语言和例子陈述事实导入新课，以尽可能少的认知负荷，引起学生的认知冲突，进而感知学习的必要性。
2性质探索
教师引导学生回顾等式的基本性质，给出例子，让学生用“>”或“<”填空，并总结其中的规律。
学生类比等式性质提出以下猜想：（教师提示学生用文字语言和符号语言两种方式表达）
文字语言：
① 当不等式两边加或减同一个数（正数或负数）时，不等号的方向不变； ② 当不等式两边同乘以或除以一个正数时，不等号的方向不变；
③ 当不等式两边同乘以或除以一个负数时，不等号的方向改变。
符号语言：
【设计意图】学生在解题活动中，经历观察、分析、归纳等过程，最终类比等式性质，推测不等式的性质。教师提供具体实例，并用熟悉的学习材料来促进学生对新材料的学习，充分考虑学生已有的知识经验，降低不等式性质的发现难度，降低内外在认知负荷。
3性质验证
性质1： 若a>b，则a±c>b±c 。
不等式两边同时加（或减）同一个数，转化为数轴上两点向右移（或向左移）相同的距离后，点的相对位置关系不变[5]。因为 a>b，所以点a在点b的右边，如图1所示；向右移c个单位距离后，点的相对位置依然不变，即 a+c>b+c，如图2所示。同理可演示a-c>b-c。
教师指出乘法的定义是求几个相同加数的和的简便运算，a乘以c可表述为c个a相加，即ac=a+a+…+a；同理，b乘以c可表述为c个b相加，即bc=b+b+…+b。此时，学生就很容易得出：因为a>b，所以ac>bc。
教师提示除法的本质是平均分，把a平均分成c等分，每一份即为 a c ；把b平均分成c等分，每一份即为 b c 。凭借生活经验，学生就很容易得出：因为a>b，所以 a c > b c 。
性质3：若a>b，c<0，则ac
教师归纳总结：一般地，不等式有以下性质。
性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变。
若a>b，则a±c>b±c。
性质2：不等式两边乘以（或除以）一个正数，不等号的方向不变。
若a>b，c>0，则ac>bc[XC括1.TIF，JZ]或 a c > b c
性质3：不等式两边乘以（或除以）一个负数，不等号的方向改变。
若a>b，c<0，则ac
4性质应用
问题1可以让学生填空，问题2可以作为教师的例题讲解，问题3可以让学生解答，并在数轴上表示不等式的解集。
【设计意图】设置习题是为了应用不等式的性质解不等式，也是为了加深学生对不等式的性质的理解。问题1较简单，是不等式性質的直接应用；问题2难度稍增，需去分母、移项、合并同类项、系数化为1等步骤；问题3是导课中提到的复杂不等式，需经历解不等式的所有步骤。问题的设置由浅到深，符合学生的认知规律。在数轴上表示解集，使数形结合，可以加深学生对解集的理解。另外，问题3是对导课环节的呼应，能让学生感知学习的作用，从而增加数学学习的兴趣。
四、小结反思
不等式模型是刻画现实世界不等关系的有效模型，“不等式的性质”是解不等式的依据，也是进一步学习一元一次不等式（组）的基础。在传统教学中，教师大多将“不等式的性质”的学习重点放在了解不等式上，而对解不等式的依据——不等式的性质教学不够重视，一般要求学生死记硬背。究其原因，一是功利心态，二是基于学生现有的知识水平，教师难以对不等式的性质进行恰当表征，使之直观形象，使学生易于理解与接受。教师以“加法”“平均分”促进学生对性质2和性质3中乘法、除法的理解，将性质2和性质3中的内容进行了较为直观形象的表述，在性[KG（0.15mm]质3中 将ac表述为 c 个a 相加的相反数，
具体化了一个数与一个负数相乘的意义。在性质2和性质3的解读中，教师采用的是言语表征，若能找到一种直观形象的视觉化表征，那么这对不等式性质的教学也许会有更大的帮助。
参考文献：
[1]唐剑岚，周莹.认知负荷理论及其研究的进展与思考[J].广西师范大学学报（哲学社会科学版），2008（2）：75-83.
[2]庞维国.认知负荷理论及其教学涵义[J].当代教育科学，2011（12）：23-28.
[3]唐剑岚.数学多元表征学习及教学[M].南京：南京师范大学出版社，2009.
[4]宋素岚.七年级学生关于负数知识理解的研究[D].石家庄：河北师范大学，2015.
[5]杨烨.支持学习视角下，活力数学课堂的方法探析：以“不等式的性质”教学为例[J].数学学习与研究，2016（18）：130.