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摘要：研究了2个谐波激励作用下含分数阶微分项的Duffing振子的一类组合共振，利用多尺度法得到了2ω1+ω2型组合共振的一次近似解析解，分析了定常解的稳定性。应用奇异性理论研究了幅频响应分岔方程，得到了开折参数平面的转迁集和所有区间上分岔曲线的拓扑结构。最后通过数值仿真分析了系统参数对组合共振幅频响应的影响。研究表明：分数阶微分项即具有阻尼特性又具有刚度特性，选择合理的分数阶微分项参数可以有效改善系统的响应特性。
关键词：Duffing振子；分數阶微分；组合共振；多尺度法；奇异性理论
中图分类号：0322；0313
文献标志码：A
文章编号：1004-4523（2017）01-0028-05
DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2017.01.004
引言
分数阶微积分发展至今已有超过300年的历史，近些年来，基于众多学者在其定义、性质、计算方法等方面的不懈努力，分数阶微积分正逐步由抽象的数学概念走向工程应用，尤其在描述黏弹性材料本构关系方面和控制工程领域深受关注。
在动力学方面，目前主要集中于含分数阶微积分项的动力系统振动特性的研究，wahi应用平均法研究了含分数阶阻尼项的非线性时滞系统的响应特征，发现了一些分数阶系统的特有现象。shen提出了等效线性阻尼和等效线性刚度的概念，分析了含分数阶微分项的线性、非线性振子的动力学响应。Rossikhin基于R-L定义，应用多尺度法推导了Duffing振子的二阶近似解，并指出了一些学者的错误观点。Du研究了一类分数阶微分方程的初值问题及其求解方法。GUO提出一种改进的谐波平衡法得到了分数阶Van der Pol振子的近似解析解。杨建华应用谐波平衡法分析了一类分数阶线性系统在周期信号激励下系统响应的近似解。chen、孙春燕研究了随机激励作用下分数阶Duffing振子的幅频特性。廖少锴结合Newmark法和Zhang-Shimizu法推导了分数阶微分项的数值计算方法，并研究了含平方非线性分数阶振子的动力学行为。cao采用数值积分法，结合相图、庞加莱截面图、分岔图等分析了分数阶阻尼对系统动力学性能的影响。
通过以上分析可发现，现有文献大多针对单频激励或随机激励展开讨论，而在实际问题中，许多工程结构或部件会受多频激励作用的影响，多频激励作用下的系统具有更复杂的动力学特性。
4.系统参数的影响
在上述分析中，开折参数落在不同的区域内，系统有不同的动力学行为，可以为系数设计提供理论指导。然而开折参数并不是独立的系统参数，而是系统参数的组合，下面通过分析系统的幅频响应研究系统参数的影响。
选取一组基本参数u=1，ωo=1，α=1，β=2，p=0.5，B1=1，B2=2。根据式（13）可以得到系统响应的幅频曲线如图3中L2所示，其中实线为稳定解，虚线为不稳定解，点线为骨架曲线。无分数阶微分项（即β=0时）的整数阶系统响应的幅频曲线如图3中L1所示。通过对比可以发现，分数阶微分项既影响了系统的刚度特性，使骨架曲线右移，共振频率增大，又影响了系统的阻尼特性，使共振峰值减小，即分数阶微分项既具有刚度特性又具有阻尼特性，对系统的幅频响应有重要影响。
图4给出了分数阶微分项阶次对系统幅频响应的影响。通过对比可以发现，p=0时，系统具有最大的共振频率和共振峰值，即系统的等效刚度最大，等效阻尼最小；而p=1时，系统具有最小的共振频率和共振峰值，即系统的等效刚度最小，等效阻尼最大。说明当分数阶阶次p→0时，分数阶微分项几乎等同于线性刚度的作用；当p→1时，分数阶微分项几乎等同于线性阻尼的作用，这与分数阶微分项的本质保持一致。
图5和6给出了线性阻尼系数和非线性项系数对系统幅频响应的影响。从图中可以看出，与整数阶系统类似，线性阻尼系数并不影响幅频曲线的弯曲程度，只影响共振峰值的大小，阻尼越大，峰值越小。而非线性项系数既影响共振频率又影响共振峰值，非线性项系数越大，幅频曲线越弯曲。与分数阶项系数不同的是，通过加大非线性项系数，不会改善系统的响应特性。
5.结论
本文应用多尺度法和奇异性理论分析了2个谐波激励作用下含分数阶微分项的Duffing振子的一类组合共振，得到了系统的一次近似解，分析了定常解的稳定性。基于幅频响应，得到了系统稳态响应分岔方程的转迁集和对应的分岔图。通过数值仿真分析了系统参数对幅频特性曲线的影响，研究表明：分数阶微分项即具有阻尼特性又具有刚度特性，选择合理的分数阶微分项参数可以有效改善系统的响应特性。
关键词：Duffing振子；分數阶微分；组合共振；多尺度法；奇异性理论
中图分类号：0322；0313
文献标志码：A
文章编号：1004-4523（2017）01-0028-05
DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2017.01.004
引言
分数阶微积分发展至今已有超过300年的历史，近些年来，基于众多学者在其定义、性质、计算方法等方面的不懈努力，分数阶微积分正逐步由抽象的数学概念走向工程应用，尤其在描述黏弹性材料本构关系方面和控制工程领域深受关注。
在动力学方面，目前主要集中于含分数阶微积分项的动力系统振动特性的研究，wahi应用平均法研究了含分数阶阻尼项的非线性时滞系统的响应特征，发现了一些分数阶系统的特有现象。shen提出了等效线性阻尼和等效线性刚度的概念，分析了含分数阶微分项的线性、非线性振子的动力学响应。Rossikhin基于R-L定义，应用多尺度法推导了Duffing振子的二阶近似解，并指出了一些学者的错误观点。Du研究了一类分数阶微分方程的初值问题及其求解方法。GUO提出一种改进的谐波平衡法得到了分数阶Van der Pol振子的近似解析解。杨建华应用谐波平衡法分析了一类分数阶线性系统在周期信号激励下系统响应的近似解。chen、孙春燕研究了随机激励作用下分数阶Duffing振子的幅频特性。廖少锴结合Newmark法和Zhang-Shimizu法推导了分数阶微分项的数值计算方法，并研究了含平方非线性分数阶振子的动力学行为。cao采用数值积分法，结合相图、庞加莱截面图、分岔图等分析了分数阶阻尼对系统动力学性能的影响。
通过以上分析可发现，现有文献大多针对单频激励或随机激励展开讨论，而在实际问题中，许多工程结构或部件会受多频激励作用的影响，多频激励作用下的系统具有更复杂的动力学特性。
4.系统参数的影响
在上述分析中，开折参数落在不同的区域内，系统有不同的动力学行为，可以为系数设计提供理论指导。然而开折参数并不是独立的系统参数，而是系统参数的组合，下面通过分析系统的幅频响应研究系统参数的影响。
选取一组基本参数u=1，ωo=1，α=1，β=2，p=0.5，B1=1，B2=2。根据式（13）可以得到系统响应的幅频曲线如图3中L2所示，其中实线为稳定解，虚线为不稳定解，点线为骨架曲线。无分数阶微分项（即β=0时）的整数阶系统响应的幅频曲线如图3中L1所示。通过对比可以发现，分数阶微分项既影响了系统的刚度特性，使骨架曲线右移，共振频率增大，又影响了系统的阻尼特性，使共振峰值减小，即分数阶微分项既具有刚度特性又具有阻尼特性，对系统的幅频响应有重要影响。
图4给出了分数阶微分项阶次对系统幅频响应的影响。通过对比可以发现，p=0时，系统具有最大的共振频率和共振峰值，即系统的等效刚度最大，等效阻尼最小；而p=1时，系统具有最小的共振频率和共振峰值，即系统的等效刚度最小，等效阻尼最大。说明当分数阶阶次p→0时，分数阶微分项几乎等同于线性刚度的作用；当p→1时，分数阶微分项几乎等同于线性阻尼的作用，这与分数阶微分项的本质保持一致。
图5和6给出了线性阻尼系数和非线性项系数对系统幅频响应的影响。从图中可以看出，与整数阶系统类似，线性阻尼系数并不影响幅频曲线的弯曲程度，只影响共振峰值的大小，阻尼越大，峰值越小。而非线性项系数既影响共振频率又影响共振峰值，非线性项系数越大，幅频曲线越弯曲。与分数阶项系数不同的是，通过加大非线性项系数，不会改善系统的响应特性。
5.结论
本文应用多尺度法和奇异性理论分析了2个谐波激励作用下含分数阶微分项的Duffing振子的一类组合共振，得到了系统的一次近似解，分析了定常解的稳定性。基于幅频响应，得到了系统稳态响应分岔方程的转迁集和对应的分岔图。通过数值仿真分析了系统参数对幅频特性曲线的影响，研究表明：分数阶微分项即具有阻尼特性又具有刚度特性，选择合理的分数阶微分项参数可以有效改善系统的响应特性。