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【摘 要】结合实变函数与数学分析的教学实践，利用比较教学法，将数学分析作为实变函数的参照物，形象地解读实变函数理论，加深了学生对实变函数的理解，培养学生的分析及理解问题的能力。
【关键词】实变函数；数学分析；比较教学法；教學改革
自从20世纪初，Lebesgue在Borel测度基础上建立了Lebesgue测度和Lebesgue积分以来，实变函数在数学的许多领域中，如在实分析、复分析、调和分析、泛函分析、微分方程与积分方程论中，都产生了极大影响，它还有助于现代概率理论的建立，对于上世纪末才发展的分形几何也起着引导作用。实变函数的研究内容、研究方法均为现代分析的基础，并渗透到数学各分支，它的基础内容已成为理工科很多专业的必修课程。然而，实变函数课程的内容非常抽象且理论性和逻辑性较强，其中的许多重要概念都是用严密的数学语言描述，导致了学生们感觉该门课程高深莫测，“实变”学“十遍”才能懂，是“天书”等，它一直是被国内外大学认为是数学教学与学习中的重点和难点课程。如何将该课程化抽象为具体，化难为易并理解和掌握其构造性的思路是实变函数教学的最高目标。我们欲从实变函数课程与数学分析课程的密切关系出发，帮助学生借助于已熟知的Riemann积分体系理论，来学习Lebesgue积分理论及其特点。
1.实变函数课程与比较教学法简介
实变函数课程的中心任务是：建立n维欧几里得空间中点集的测度理论和Lebesgue积分理论。通过学习这门课程，学生应掌握近代抽象分析的基本思想、思维方式，以及系统掌握Lebesgue测度和Lebesgue 积分理论，且学生应具有新角度思维能力、独立思考能力、推理能力和逻辑判断能力，为进一步学习现代数学理论打下夯实基础。
在实变函数教学中，要选择恰当的教学方法，促进学生完成对该课程由表及里的层进认知并理清脉络。若只偏重知识的灌输却忽略对学生构造性思维的启发和引导，就不能为学生提供一个发现、比较、分析和辨别的思维空间，会导致学生的认知模糊，徒增学习该门课程的难度。鉴于实变函数与数学分析课程的密切关系，启发任课教师通过比较法来讲解该课程。比较，就是运用对照的手段确定事物异同关系的思维过程的方法。比较教学法有利于引导学生透过现象认识实质，比如通过新知与旧知的对比来促进知识迁移，通过实变函数与数学分析内容的比较，由知识的熟悉性来增加学生的学习信心，并启发学生对新知识的思考等。比较教学法也是组织学生学习理论知识与实际操作、培养逻辑思维能力的重要手段之一，它有利于激发学生探究新知识的兴趣，并可使学生在面对新知识学习时，有效地摆脱陌生感，迅速找到轻松入门的途径，增加学习主动性，优化学习效果，提高学习效率。具体地，我们从以下几方面来阐述利用比较教学法对传统的实变函数课程教学进行改革。
2.实变函数与数学分析课程的关系
实变函数是大学数学专业的最为重要的基础课之一，作为数学分析的后续课程，它是数学分析课程的延续和发展。再者，学好实变函数课程对于数学分析知识的深入理解有着非常重要的作用，数学分析作为数学专业最为重要的基础课，同时也是数学专业考研、考博的必考课程，可见其地位之重。实变函数课程是其拔高课程，因此要以扎实的数学分析知识为基础，采用比较的教学方式更容易为学生所接受，这种教学方法的实施事实上也是对数学分析知识的回顾和更深层次的解释。
一般来说，实变函数课程开设于大学三年级上学期，采用联系数学分析知识进行教学，也更容易让学生在思想上重视（因为数学分析是考研的必考课程），学习积极性更高。由于实变函数课程的极抽象性和难学难教的现状，我们认为一种高效的教学方法，一定要首先能激发学生的学习兴趣，让学生充分发挥主体作用。只有这样，理论上高效的教学方法方能达到真正的高效。
2.1比较教学法的引入
我们注意到实变函数课程是数学分析课程的后续课程，如果能充分利用二者之间的关联性，采用比较教学法，让学生由熟知的数学分析理论知识自然过渡到较为抽象难学的实变函数知识是一种行之有效的教学方法。针对实变函数的“难教难学”，抓住它的本质—基于传统分析理论的积分体系与空间理论。从问题的根部出发，以我们熟知的传统分析理论去比对实函中Lebesgue积分理论和泛函空间理论，比较它们理论思想上的异同，找到传统分析理论拓广到实分析与泛函分析的原始思路，以便由易到难、由具体到抽象地进行学习，充分发挥比较教学法在实变函数教学中的优势，注重调动学生的学习积极性和热情。
2.2对课程整体脉络的把握及分析
在讲解该课程之初就要让学生明白以下三点：（1）这门课程的重要性；（2）这门课程的主要内容和学习目标；（3）怎样联系数学分析的知识学好这门课程？借助于这三点，让学生认识到Riemann积分理论的局限性，比如狄利克雷函数不可积，如何让它“可积”？进而，如何扩大可积函数的范围，使积分更具普遍性？Riemann积分意义下，积分与极限可交换需要什么条件？带领学生回顾之后，启发学生思考如何去建立新的积分体系让诸如狄利克雷函数等一些原本不可积的函数有积分意义？减弱积分与极限可交换的条件等。简单讨论之后列举实变函数课程要介绍的“新积分”—Lebesgue积分的一些优势，并分析它与传统积分理论的异同，通过比较，让学生更深刻也更容易地理解实变函数中定义的“新积分”的价值和意义。通过介绍基于Cantor三分集理论的美妙的分形图形、无限集的看似很不可思议的性质（如：比较两个同心圆周上点的多少，是大圆的点多，还是小圆上的点多？全体正整数多，还是正奇（偶）数多？）等一些比较直观的例子，引导学生意识到实变函数的重要性，在激发他们学习兴趣的同时，引起他们的重视。最后，如何让学生能主动地联系数学分析的相关知识去切入到实变函数的学习中呢？一定要提醒学生注意：数学分析的核心内容就是Riemann积分理论，而实变函数的中心任务是建立一种较之这种已学习过的Riemann积分理论更加完美的微积分理论体系，并且它完全承认之前的所有理论，只是为了克服之前理论的局限，才从新的角度出发，重新建立了能覆盖传统微积分理论的一个新理论体系。所以，实变函数课程中的内容可以跟数学分析课程已介绍过的相应知识进行比对，从“熟”知识自然切入到“生”知识进行学习。 我们以文献[1]作为教材为例，来介绍基于数学分析中Riemann积分理论，如何引导学生对教材内容的安排和思想深入了解，从而对课程整体脉络有较好的把握。先来看教材的目錄：第一章 集合；第二章 点集；第三章 测度论；第四章 可测函数；第五章 积分论；第六章 微分与不定积分。教材为什么这样安排内容呢？我们已经介绍了，实变函数的中心任务是建立起一种新的积分体系，而且要兼容原来学过的Riemann积分。那么Riemann积分形式上是“ ”，由此可见，确定一个积分值，有两个决定因素：一是被积函数“f”；二是积分区域“ ”。这时候，启发学生思考，既然要新建的Lebesgue积分兼容Riemann积分，那么它的“模样”应该“长得”跟Riemann积分相似，所以，首先研究Lebesgue积分意义下的积分区域和被积函数的性质，而后，再引入Lebesgue积分的定义及相关性质定理。Riemann积分的积分区域一般为实直线上的有界闭区间或 的闭连通区域；而Lebesgue积分的积分区域可以是离散的点构成的点集（例如：以建立狄利克雷函数的Lebesgue积分时，需要分别在[0，1]区间上所有有理数组成的集合和所有无理数组成的集合上进行积分），所以我们应审视集合的性质，尤其是点集的性质。则教材第一和第二章就集合和点集上的运算及性质做了介绍，目的就是把积分区域将出现的一些情形讲清楚。既然要在一些点集上进行积分运算，自然我们要衡量点集的“大小”，这时，启发学生思考：[0，1]区间上，所有无（有）理数组成的集合的“长度”是多少呢？在第三章中将重点介绍诸如这样乃至更多的点集的“长度” ，也就是集合的测度。前三章，把积分区域的相关知识介绍完了，接下来，第四章来处理被积函数。在Riemann积分体系中，要求被积函数是连续函数，至多允许有限个间断点。这类函数其实是较少的，实际中，有大量的函数都不满足Riemann积分的要求。既然，Lebesgue积分的被积函数范围扩大，那么扩大到什么程度呢？这些被积函数跟连续函数之间有什么样的关系呢？这就是第四章要重点介绍的内容。决定积分的两大要素都介绍完了，那么第五章就该正式介绍Lebesgue积分的定义及性质了。第六章，是要把数学分析中的牛顿-莱布尼茨公式推广到Lebesgue积分情形。综上，借助于这个在数学分析中常见的积分符号“ ”，可以粗略地把实变函数课程的结构展示给学生，让学生首先了解每一章要学习的内容，并且为什么会这样安排课程内容。如此一来，有利于增加学生的学习信心，通过联系数学分析中Riemann积分的相关内容，可以更清晰地掌握实变函数中Lebesgue积分知识体系的脉络。
2.3检验课堂教学效果
任何教学方法的改革都是为了学生能更好地掌握知识，那么比较教学法在实际的实变函数课堂教学中是否能达到预期的效果？我们一定要对课堂教学效果进行检验，看学生是否真正掌握了关键的知识点，以及学生对教学内容本质的把握，对构造性证明题有无思路？对哪些知识掌握的不够好？为什么？哪些知识点对比起来进行教学的效果较好？哪些并没有想象的那么好？原因是什么？怎么改进？ 诸如以上所涉及到的课堂教学实际中可能出现的问题，我们都要通过与学生交流，批改作业等看到问题的所在，进行反思，从而更好地改进细节，进一步提升教学效果。
3.总结
利用比较教学法进行实变函数课程教学的目标是：对传统的实变函数课程教学法进行改革，基于学生熟知的数学分析理论，借助于比较教学法，引导学生开启思路，轻松学习。其中的关键点是：将实变函数课程与熟知的数学分析课程相关知识（尤其是Lebesgue积分体系与Riemann积分体系的建立过程、相关性质等）相对照和比较，充分发挥比较教学法的优势，从而增强学生学习信心，培养学生构造性思维能力，为后续学习泛函分析等课程打下良好基础。
【参考文献】
[1]程其襄，张奠宙，魏国强等.实变函数与泛函分析基础[M].北京：高等教育出版社，2003.
[2]周民强.实变函数论[M].北京：北京大学出版社，2008.
[3]那汤松，陈建功.实变函数论[M].北京：高等教育出版社，2010.
[4]华中师范大学数学系.数学分析[M].北京：高等教育出版社，2010.
【关键词】实变函数；数学分析；比较教学法；教學改革
自从20世纪初，Lebesgue在Borel测度基础上建立了Lebesgue测度和Lebesgue积分以来，实变函数在数学的许多领域中，如在实分析、复分析、调和分析、泛函分析、微分方程与积分方程论中，都产生了极大影响，它还有助于现代概率理论的建立，对于上世纪末才发展的分形几何也起着引导作用。实变函数的研究内容、研究方法均为现代分析的基础，并渗透到数学各分支，它的基础内容已成为理工科很多专业的必修课程。然而，实变函数课程的内容非常抽象且理论性和逻辑性较强，其中的许多重要概念都是用严密的数学语言描述，导致了学生们感觉该门课程高深莫测，“实变”学“十遍”才能懂，是“天书”等，它一直是被国内外大学认为是数学教学与学习中的重点和难点课程。如何将该课程化抽象为具体，化难为易并理解和掌握其构造性的思路是实变函数教学的最高目标。我们欲从实变函数课程与数学分析课程的密切关系出发，帮助学生借助于已熟知的Riemann积分体系理论，来学习Lebesgue积分理论及其特点。
1.实变函数课程与比较教学法简介
实变函数课程的中心任务是：建立n维欧几里得空间中点集的测度理论和Lebesgue积分理论。通过学习这门课程，学生应掌握近代抽象分析的基本思想、思维方式，以及系统掌握Lebesgue测度和Lebesgue 积分理论，且学生应具有新角度思维能力、独立思考能力、推理能力和逻辑判断能力，为进一步学习现代数学理论打下夯实基础。
在实变函数教学中，要选择恰当的教学方法，促进学生完成对该课程由表及里的层进认知并理清脉络。若只偏重知识的灌输却忽略对学生构造性思维的启发和引导，就不能为学生提供一个发现、比较、分析和辨别的思维空间，会导致学生的认知模糊，徒增学习该门课程的难度。鉴于实变函数与数学分析课程的密切关系，启发任课教师通过比较法来讲解该课程。比较，就是运用对照的手段确定事物异同关系的思维过程的方法。比较教学法有利于引导学生透过现象认识实质，比如通过新知与旧知的对比来促进知识迁移，通过实变函数与数学分析内容的比较，由知识的熟悉性来增加学生的学习信心，并启发学生对新知识的思考等。比较教学法也是组织学生学习理论知识与实际操作、培养逻辑思维能力的重要手段之一，它有利于激发学生探究新知识的兴趣，并可使学生在面对新知识学习时，有效地摆脱陌生感，迅速找到轻松入门的途径，增加学习主动性，优化学习效果，提高学习效率。具体地，我们从以下几方面来阐述利用比较教学法对传统的实变函数课程教学进行改革。
2.实变函数与数学分析课程的关系
实变函数是大学数学专业的最为重要的基础课之一，作为数学分析的后续课程，它是数学分析课程的延续和发展。再者，学好实变函数课程对于数学分析知识的深入理解有着非常重要的作用，数学分析作为数学专业最为重要的基础课，同时也是数学专业考研、考博的必考课程，可见其地位之重。实变函数课程是其拔高课程，因此要以扎实的数学分析知识为基础，采用比较的教学方式更容易为学生所接受，这种教学方法的实施事实上也是对数学分析知识的回顾和更深层次的解释。
一般来说，实变函数课程开设于大学三年级上学期，采用联系数学分析知识进行教学，也更容易让学生在思想上重视（因为数学分析是考研的必考课程），学习积极性更高。由于实变函数课程的极抽象性和难学难教的现状，我们认为一种高效的教学方法，一定要首先能激发学生的学习兴趣，让学生充分发挥主体作用。只有这样，理论上高效的教学方法方能达到真正的高效。
2.1比较教学法的引入
我们注意到实变函数课程是数学分析课程的后续课程，如果能充分利用二者之间的关联性，采用比较教学法，让学生由熟知的数学分析理论知识自然过渡到较为抽象难学的实变函数知识是一种行之有效的教学方法。针对实变函数的“难教难学”，抓住它的本质—基于传统分析理论的积分体系与空间理论。从问题的根部出发，以我们熟知的传统分析理论去比对实函中Lebesgue积分理论和泛函空间理论，比较它们理论思想上的异同，找到传统分析理论拓广到实分析与泛函分析的原始思路，以便由易到难、由具体到抽象地进行学习，充分发挥比较教学法在实变函数教学中的优势，注重调动学生的学习积极性和热情。
2.2对课程整体脉络的把握及分析
在讲解该课程之初就要让学生明白以下三点：（1）这门课程的重要性；（2）这门课程的主要内容和学习目标；（3）怎样联系数学分析的知识学好这门课程？借助于这三点，让学生认识到Riemann积分理论的局限性，比如狄利克雷函数不可积，如何让它“可积”？进而，如何扩大可积函数的范围，使积分更具普遍性？Riemann积分意义下，积分与极限可交换需要什么条件？带领学生回顾之后，启发学生思考如何去建立新的积分体系让诸如狄利克雷函数等一些原本不可积的函数有积分意义？减弱积分与极限可交换的条件等。简单讨论之后列举实变函数课程要介绍的“新积分”—Lebesgue积分的一些优势，并分析它与传统积分理论的异同，通过比较，让学生更深刻也更容易地理解实变函数中定义的“新积分”的价值和意义。通过介绍基于Cantor三分集理论的美妙的分形图形、无限集的看似很不可思议的性质（如：比较两个同心圆周上点的多少，是大圆的点多，还是小圆上的点多？全体正整数多，还是正奇（偶）数多？）等一些比较直观的例子，引导学生意识到实变函数的重要性，在激发他们学习兴趣的同时，引起他们的重视。最后，如何让学生能主动地联系数学分析的相关知识去切入到实变函数的学习中呢？一定要提醒学生注意：数学分析的核心内容就是Riemann积分理论，而实变函数的中心任务是建立一种较之这种已学习过的Riemann积分理论更加完美的微积分理论体系，并且它完全承认之前的所有理论，只是为了克服之前理论的局限，才从新的角度出发，重新建立了能覆盖传统微积分理论的一个新理论体系。所以，实变函数课程中的内容可以跟数学分析课程已介绍过的相应知识进行比对，从“熟”知识自然切入到“生”知识进行学习。 我们以文献[1]作为教材为例，来介绍基于数学分析中Riemann积分理论，如何引导学生对教材内容的安排和思想深入了解，从而对课程整体脉络有较好的把握。先来看教材的目錄：第一章 集合；第二章 点集；第三章 测度论；第四章 可测函数；第五章 积分论；第六章 微分与不定积分。教材为什么这样安排内容呢？我们已经介绍了，实变函数的中心任务是建立起一种新的积分体系，而且要兼容原来学过的Riemann积分。那么Riemann积分形式上是“ ”，由此可见，确定一个积分值，有两个决定因素：一是被积函数“f”；二是积分区域“ ”。这时候，启发学生思考，既然要新建的Lebesgue积分兼容Riemann积分，那么它的“模样”应该“长得”跟Riemann积分相似，所以，首先研究Lebesgue积分意义下的积分区域和被积函数的性质，而后，再引入Lebesgue积分的定义及相关性质定理。Riemann积分的积分区域一般为实直线上的有界闭区间或 的闭连通区域；而Lebesgue积分的积分区域可以是离散的点构成的点集（例如：以建立狄利克雷函数的Lebesgue积分时，需要分别在[0，1]区间上所有有理数组成的集合和所有无理数组成的集合上进行积分），所以我们应审视集合的性质，尤其是点集的性质。则教材第一和第二章就集合和点集上的运算及性质做了介绍，目的就是把积分区域将出现的一些情形讲清楚。既然要在一些点集上进行积分运算，自然我们要衡量点集的“大小”，这时，启发学生思考：[0，1]区间上，所有无（有）理数组成的集合的“长度”是多少呢？在第三章中将重点介绍诸如这样乃至更多的点集的“长度” ，也就是集合的测度。前三章，把积分区域的相关知识介绍完了，接下来，第四章来处理被积函数。在Riemann积分体系中，要求被积函数是连续函数，至多允许有限个间断点。这类函数其实是较少的，实际中，有大量的函数都不满足Riemann积分的要求。既然，Lebesgue积分的被积函数范围扩大，那么扩大到什么程度呢？这些被积函数跟连续函数之间有什么样的关系呢？这就是第四章要重点介绍的内容。决定积分的两大要素都介绍完了，那么第五章就该正式介绍Lebesgue积分的定义及性质了。第六章，是要把数学分析中的牛顿-莱布尼茨公式推广到Lebesgue积分情形。综上，借助于这个在数学分析中常见的积分符号“ ”，可以粗略地把实变函数课程的结构展示给学生，让学生首先了解每一章要学习的内容，并且为什么会这样安排课程内容。如此一来，有利于增加学生的学习信心，通过联系数学分析中Riemann积分的相关内容，可以更清晰地掌握实变函数中Lebesgue积分知识体系的脉络。
2.3检验课堂教学效果
任何教学方法的改革都是为了学生能更好地掌握知识，那么比较教学法在实际的实变函数课堂教学中是否能达到预期的效果？我们一定要对课堂教学效果进行检验，看学生是否真正掌握了关键的知识点，以及学生对教学内容本质的把握，对构造性证明题有无思路？对哪些知识掌握的不够好？为什么？哪些知识点对比起来进行教学的效果较好？哪些并没有想象的那么好？原因是什么？怎么改进？ 诸如以上所涉及到的课堂教学实际中可能出现的问题，我们都要通过与学生交流，批改作业等看到问题的所在，进行反思，从而更好地改进细节，进一步提升教学效果。
3.总结
利用比较教学法进行实变函数课程教学的目标是：对传统的实变函数课程教学法进行改革，基于学生熟知的数学分析理论，借助于比较教学法，引导学生开启思路，轻松学习。其中的关键点是：将实变函数课程与熟知的数学分析课程相关知识（尤其是Lebesgue积分体系与Riemann积分体系的建立过程、相关性质等）相对照和比较，充分发挥比较教学法的优势，从而增强学生学习信心，培养学生构造性思维能力，为后续学习泛函分析等课程打下良好基础。
【参考文献】
[1]程其襄，张奠宙，魏国强等.实变函数与泛函分析基础[M].北京：高等教育出版社，2003.
[2]周民强.实变函数论[M].北京：北京大学出版社，2008.
[3]那汤松，陈建功.实变函数论[M].北京：高等教育出版社，2010.
[4]华中师范大学数学系.数学分析[M].北京：高等教育出版社，2010.