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定积分的概念这一节的重点有两个：一是“以直代曲”“以不变代变”的思想方法；二是定积分的概念、几何意义.对本节的考查集中体现在以下几个方面：
类型1 求曲边梯形的面积及汽车行驶路程
例1 如图1所示，由直线[x=0,x=2,y=0]与曲线[f(x)=-x2+x+2]所围成的曲边梯形的面积.
[图1]
分析 要求这个曲边梯形的面积，可以按分割、近似代替、求和、取极限四个步骤进行.
解 将区间[0，2]等分成[n]个小区间，则第[i]个小区间为[[2(i-1)n,2in]][（i=1，2，…n）]，第[i]个小区间的面积为[△Si=f(2in)⋅2n=[-(2in)2+2in+2]⋅2n]
所以[Sn=i=1n ][△Si=i=1n [-(2in)2+2in+2]⋅2n]
[=-8n3⋅(12+22+…+n2)+4n2⋅(1+2+3+…+n)+4]
=[-8n3⋅n(n+1)(2n+1)6+4n2⋅n(n+1)2+4]
=[-43(1+1n)(2+1n)+2(1+1n)+4.]
[S=limn→∞Sn=limn→∞[-43(1+1n)(2+1n)+2(1+1n)+4]]
[=103.]
所以所求的曲边梯形的面积为[103].
点拨 求曲边梯形的面积体现下面规律方法：
①思想——以直代曲；
②步骤——分割→近似代替→求和→取极限；
③关键——近似代替，可以是每个小区间的左端点的函数值，也可以是右端点的函数值，还可以是小区间的任意一点的函数值；
④结果——分割越细，面积越精确.
例2 已知汽车做变速直线运动，在时刻[t]的速度为[v(t)=t2+2t]（单位：km/h），求它在[1≤t≤2]这段时间行驶的路程是多少？
解析 将时间区间[1，2]等分成[n]个小区间，则第[i]个小区间为[1+[i-1n,1+in]]，在第[i]个时间段的路程近似为[△Si=v(1+in)][△t=[(1+in)2]+2（1+[in]）][1n][（i=1，2，…，n）].
所以[Sn]=[i=1n ][△Si=i=1n ]（[3+i2n2+4in]）[1n]
=3+[1n3⋅n(n+1)(2n+1)6]+[4n2n(n+1)2]
=3+[16(1+1n)(2+1n)+2(1+1n)].
[S=limn→∞Sn=limn→∞[3+16(1+1n)(2+1n)+2(1+1n)]]
[=163].
所以这段时间汽车行驶的路程为[163]km.
点拨 求汽车行驶的路程转化为求时间—速度坐标系中的曲边梯形的面积，思想方法和解题方法与例1都是相同的，只是背景不同.
类型2 定积分的几何意义及应用
当函数[f(x)]在[[a，b]]上恒为正时，定积分[abf(x) dx]的几何意义是由直线[x=a，x=b(a≠b)，][y=0]和曲线[y=f(x)]所围成的曲边梯形的面积（图2中阴影部分）.
[图2]
一般情况下，定积分[abf(x) dx]的几何意义是介于[x]轴，曲线[f(x)]以及直线[x=a，x=b]之间的曲边梯形面积的代数和（图3中阴影部分），其中在[x]轴上的面积等于该区间上的积分值，在[x]轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数.
[图3]
例3 用定积分的意义求下列各式的值：
（1）[-13(2x+1) dx]； （2）[-12121-x2 dx.]
分析 根据定积分的几何意义作出由直线、曲线所围成的图形，利用几何知识求面积，从而得出定积分的值.
解 （1）由直线[x=-1,x=3,y=0]以及[y=2x+1]，所围成的图形，如图4所示.
[图4]
[-13(2x+1)dx]表示由直线[x=-1，x=3，y=0]以及[y=2x+1]所围成的图形在[x]轴上方的面积减去在[x]轴下方的面积.
所以[-13(2x+1) dx]=[12]×（3+[12]）×（2×3+1）-[12]×（-[12]+1）×1=12.5.
（2）由[y=1-x2]可知，[x2+y2=1(y≥0)]，图象如图5所示. 由定积分的几何意义知[-12121-x2 dx]等于圆心角为[π3]的弓形[CED]的面积与矩形[ABCD]的面积之和.
[图5]
[S弓形=12×π3×12-12×1×1×sinπ3=π6-34,]
[S矩形=|AB|⋅|BC|=1×32]=[32,]
所以[-12121-x2dx]=[π6+34.]
点拨 利用几何意义求定积分，关键是确定被积函数的图象以及积分区间，正确利用相关的几何知识求面积，不规则的图形常用分割法求面积，注意分割点的确定.
例4 已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线（假定为直线）行驶，甲车、乙车的速度曲线分别为[v甲]和[v乙]，如图6所示，那么对于图中给定的[t0]和[t1]时刻，下列判断中一定正确的是（ ）
[图6]
A. [t1]时刻，甲车在乙车前面
B. [t1]时刻后，甲车在乙车后面
C. [t0]时刻，两车的位置相同
D. [t0]时刻后，乙车在甲车前面
解析 判断甲、乙两车谁在前，谁在后的问题，实质上是判断在[t0]，[t1]时刻，甲乙两车行驶路程的大小问题.根据定积分的几何意义知，车在某段时间内行驶的路程就是该时间段内速度函数的定积分，即速度函数[v(t)]的图象与[t]轴以及时间段围成区域的面积，从图象知：在[t0]时刻，[v甲]的图象与[t]轴和[t=0，t=][t0]围成区域的面积大于[v乙]的图象与[t]轴和[t=0，t=][t0]围成区域的面积，因此，在[t0]时刻，甲车在乙车的前面，而且此时乙车的速度刚刚赶上甲车的速度，所以C、D错误；同时，在[t1]时刻，[v甲]的图象与[t]轴和[t=0]，[t=t1]围成区域的面积仍然大于[v乙]的图象与[t]轴和[t=0]，[t=t1]围成区域的面积，所以可以断定，在[t1]时刻，甲车还是在乙车的前面，故选A.
类型3 定积分的性质及应用
例5 已知[f(x)=9-x2,x∈[-3，0）3-x, x∈[0，2)2-12x,x∈[2，4]]，
求[f(x)]在区间[-3，4]上的定积分.
[图7]
分析 解答本题可先根据定积分的几何意义求出相应函数的定积分，再根据定积分的性质进行加减运算.
解 如图7所示，由定积分的几何意义得：
[-309-x2dx=14π×32=9π4]；
[02(3-x)dx=12×(1+3)×2=4]；
[24(2-12x)dx=12×1×2=1].
[∴-34f(x)dx=-309-x2dx+02 (3-x)dx+]
[24 (2-12x)dx]
[=9π4+4+1=5+9π4].
点拨 求定积分时，应注意利用定积分的性质及几何意义，利用定积分的性质还可以简化运算. 定积分的性质还可推广为：
①[ab[f1(x)±f2(x)±…±fn(x)]dx]
[=ab[f1(x)dx±ab f2(x)dx±…±ab fn(x)dx].
②[abf(x)dx=ac1 f(x)dx±c1c2 f(x)dx+]
[…+cnb f(x)dx(n∈N+)].
例6 已知[f(x)=sin5x+1，]根据函数的性质，积分的性质和积分的几何意义计算：[-π2π2f(x)dx]= .
解析 [-π2π2f(x)dx]=[-π2π2(sin5x+1)dx]
[=-π2π2sin5xdx+-π2π2dx=0+π=π]，
故答案填π.
点拨 此题运用了积分的性质以及奇、偶函数在区间[[-a，a]]上的定积分的性质：
若奇函数[y=f(x)]在[[-a，a]]上连续不断，则[-aaf(x)dx=0].
如：[-11x3dx=0].
若偶函数[y=g(x)]在[[-a，a]]上连续不断，则[-aag(x)dx=20ag(x)dx].
如：[-11x2dx=201x2dx].
类型1 求曲边梯形的面积及汽车行驶路程
例1 如图1所示，由直线[x=0,x=2,y=0]与曲线[f(x)=-x2+x+2]所围成的曲边梯形的面积.
[图1]
分析 要求这个曲边梯形的面积，可以按分割、近似代替、求和、取极限四个步骤进行.
解 将区间[0，2]等分成[n]个小区间，则第[i]个小区间为[[2(i-1)n,2in]][（i=1，2，…n）]，第[i]个小区间的面积为[△Si=f(2in)⋅2n=[-(2in)2+2in+2]⋅2n]
所以[Sn=i=1n ][△Si=i=1n [-(2in)2+2in+2]⋅2n]
[=-8n3⋅(12+22+…+n2)+4n2⋅(1+2+3+…+n)+4]
=[-8n3⋅n(n+1)(2n+1)6+4n2⋅n(n+1)2+4]
=[-43(1+1n)(2+1n)+2(1+1n)+4.]
[S=limn→∞Sn=limn→∞[-43(1+1n)(2+1n)+2(1+1n)+4]]
[=103.]
所以所求的曲边梯形的面积为[103].
点拨 求曲边梯形的面积体现下面规律方法：
①思想——以直代曲；
②步骤——分割→近似代替→求和→取极限；
③关键——近似代替，可以是每个小区间的左端点的函数值，也可以是右端点的函数值，还可以是小区间的任意一点的函数值；
④结果——分割越细，面积越精确.
例2 已知汽车做变速直线运动，在时刻[t]的速度为[v(t)=t2+2t]（单位：km/h），求它在[1≤t≤2]这段时间行驶的路程是多少？
解析 将时间区间[1，2]等分成[n]个小区间，则第[i]个小区间为[1+[i-1n,1+in]]，在第[i]个时间段的路程近似为[△Si=v(1+in)][△t=[(1+in)2]+2（1+[in]）][1n][（i=1，2，…，n）].
所以[Sn]=[i=1n ][△Si=i=1n ]（[3+i2n2+4in]）[1n]
=3+[1n3⋅n(n+1)(2n+1)6]+[4n2n(n+1)2]
=3+[16(1+1n)(2+1n)+2(1+1n)].
[S=limn→∞Sn=limn→∞[3+16(1+1n)(2+1n)+2(1+1n)]]
[=163].
所以这段时间汽车行驶的路程为[163]km.
点拨 求汽车行驶的路程转化为求时间—速度坐标系中的曲边梯形的面积，思想方法和解题方法与例1都是相同的，只是背景不同.
类型2 定积分的几何意义及应用
当函数[f(x)]在[[a，b]]上恒为正时，定积分[abf(x) dx]的几何意义是由直线[x=a，x=b(a≠b)，][y=0]和曲线[y=f(x)]所围成的曲边梯形的面积（图2中阴影部分）.
[图2]
一般情况下，定积分[abf(x) dx]的几何意义是介于[x]轴，曲线[f(x)]以及直线[x=a，x=b]之间的曲边梯形面积的代数和（图3中阴影部分），其中在[x]轴上的面积等于该区间上的积分值，在[x]轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数.
[图3]
例3 用定积分的意义求下列各式的值：
（1）[-13(2x+1) dx]； （2）[-12121-x2 dx.]
分析 根据定积分的几何意义作出由直线、曲线所围成的图形，利用几何知识求面积，从而得出定积分的值.
解 （1）由直线[x=-1,x=3,y=0]以及[y=2x+1]，所围成的图形，如图4所示.
[图4]
[-13(2x+1)dx]表示由直线[x=-1，x=3，y=0]以及[y=2x+1]所围成的图形在[x]轴上方的面积减去在[x]轴下方的面积.
所以[-13(2x+1) dx]=[12]×（3+[12]）×（2×3+1）-[12]×（-[12]+1）×1=12.5.
（2）由[y=1-x2]可知，[x2+y2=1(y≥0)]，图象如图5所示. 由定积分的几何意义知[-12121-x2 dx]等于圆心角为[π3]的弓形[CED]的面积与矩形[ABCD]的面积之和.
[图5]
[S弓形=12×π3×12-12×1×1×sinπ3=π6-34,]
[S矩形=|AB|⋅|BC|=1×32]=[32,]
所以[-12121-x2dx]=[π6+34.]
点拨 利用几何意义求定积分，关键是确定被积函数的图象以及积分区间，正确利用相关的几何知识求面积，不规则的图形常用分割法求面积，注意分割点的确定.
例4 已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线（假定为直线）行驶，甲车、乙车的速度曲线分别为[v甲]和[v乙]，如图6所示，那么对于图中给定的[t0]和[t1]时刻，下列判断中一定正确的是（ ）
[图6]
A. [t1]时刻，甲车在乙车前面
B. [t1]时刻后，甲车在乙车后面
C. [t0]时刻，两车的位置相同
D. [t0]时刻后，乙车在甲车前面
解析 判断甲、乙两车谁在前，谁在后的问题，实质上是判断在[t0]，[t1]时刻，甲乙两车行驶路程的大小问题.根据定积分的几何意义知，车在某段时间内行驶的路程就是该时间段内速度函数的定积分，即速度函数[v(t)]的图象与[t]轴以及时间段围成区域的面积，从图象知：在[t0]时刻，[v甲]的图象与[t]轴和[t=0，t=][t0]围成区域的面积大于[v乙]的图象与[t]轴和[t=0，t=][t0]围成区域的面积，因此，在[t0]时刻，甲车在乙车的前面，而且此时乙车的速度刚刚赶上甲车的速度，所以C、D错误；同时，在[t1]时刻，[v甲]的图象与[t]轴和[t=0]，[t=t1]围成区域的面积仍然大于[v乙]的图象与[t]轴和[t=0]，[t=t1]围成区域的面积，所以可以断定，在[t1]时刻，甲车还是在乙车的前面，故选A.
类型3 定积分的性质及应用
例5 已知[f(x)=9-x2,x∈[-3，0）3-x, x∈[0，2)2-12x,x∈[2，4]]，
求[f(x)]在区间[-3，4]上的定积分.
[图7]
分析 解答本题可先根据定积分的几何意义求出相应函数的定积分，再根据定积分的性质进行加减运算.
解 如图7所示，由定积分的几何意义得：
[-309-x2dx=14π×32=9π4]；
[02(3-x)dx=12×(1+3)×2=4]；
[24(2-12x)dx=12×1×2=1].
[∴-34f(x)dx=-309-x2dx+02 (3-x)dx+]
[24 (2-12x)dx]
[=9π4+4+1=5+9π4].
点拨 求定积分时，应注意利用定积分的性质及几何意义，利用定积分的性质还可以简化运算. 定积分的性质还可推广为：
①[ab[f1(x)±f2(x)±…±fn(x)]dx]
[=ab[f1(x)dx±ab f2(x)dx±…±ab fn(x)dx].
②[abf(x)dx=ac1 f(x)dx±c1c2 f(x)dx+]
[…+cnb f(x)dx(n∈N+)].
例6 已知[f(x)=sin5x+1，]根据函数的性质，积分的性质和积分的几何意义计算：[-π2π2f(x)dx]= .
解析 [-π2π2f(x)dx]=[-π2π2(sin5x+1)dx]
[=-π2π2sin5xdx+-π2π2dx=0+π=π]，
故答案填π.
点拨 此题运用了积分的性质以及奇、偶函数在区间[[-a，a]]上的定积分的性质：
若奇函数[y=f(x)]在[[-a，a]]上连续不断，则[-aaf(x)dx=0].
如：[-11x3dx=0].
若偶函数[y=g(x)]在[[-a，a]]上连续不断，则[-aag(x)dx=20ag(x)dx].
如：[-11x2dx=201x2dx].